用函數(shù)觀點(diǎn)看方程與不等式

1、用函數(shù)觀點(diǎn)看方程與不等式知識(shí)梳理1一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)的關(guān)系一次函數(shù)及其圖像與一元一次方程及一元一次不等式有著密切的關(guān)系，函數(shù)y=ax+b （ a0 ， a， b 為常數(shù)）中，函b數(shù)的值等于0 時(shí)自變量x 的值就是一元一次方程ax+?b=0（ a0 ）的解，所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)（， 0）是直線y=ax+b 與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，反過(guò)來(lái)也成立；?直線y=ax+b 在 x 軸的上方，也就是函數(shù)的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（ a0 ）的解；在x 軸的下方也就是函數(shù)的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0（ a0 ）的解2坐標(biāo)軸的函數(shù)表達(dá)式函數(shù)關(guān)系式x=0 的圖像是y

2、軸，反之，y 軸可以用函數(shù)關(guān)系式x=0 表示； ?函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=0 的圖像是x 軸，反之，x 軸可以用函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=0 表示3一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系一般地，每個(gè)二元一次方程組，都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)一次函數(shù)，于是也就是對(duì)應(yīng)著兩條直線，從“數(shù) ”的角度看，解方程相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這兩函數(shù)值是何值；從形的角度考慮，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，所以一次函數(shù)及其圖像與二元一次方程組有著密切的聯(lián)系4兩條直線的位置關(guān)系與二元一次方程組的解y k1 x b11 ）二元一次方程組11 有唯一的解y k2x b2直線 y=k 1x+b 1 不平行于直線y=k 2x+b 2k1

3、k22）二元一次方程組y k1 x b111 無(wú)解y k2x b2直線y=k1x+b 1直線y=k 2x+b 2k1=k2， b1b 23）二元一次方程組yk1 x b1 有無(wú)數(shù)多個(gè)解yk2x b2直線y=k 1x+b 1 與 y=k 2x+b 2 重合k1=k2， b1=b25、二次函數(shù)與一元二次方程組的關(guān)系x01） 如果拋物線y ax2 bx c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0， 那么當(dāng) x x0時(shí)， 函數(shù)的值是0， 因此 x就是方程ax2 bx c 0的一個(gè)根。（ 2）二次函數(shù)的圖象與x 軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)

4、有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。（ 3）在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。【解題方法指導(dǎo)】1例 1 如圖 1 所示， 直線 y=kx+b 經(jīng)過(guò)A（2， 1 ） 和 B（3， 0） 兩點(diǎn)， 則不等式組x<kx+b<0 的解集為 3<x<2 2 例2如圖2，直線y=kx（k>0） 與雙曲線y= 4 交于A（x 1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)， 則2x1y27x2y1 的值等于_20x例 3如圖3 所示， L 甲 ， L 乙 分別表示甲走路與乙騎自行車（在同一條路上）行走的路程s

5、 與時(shí)間 t的關(guān)系，觀察圖像并回答下列問(wèn)題：（ 1）乙出發(fā)時(shí)，與甲相距_10km ；（ 2）走了一段路后，乙的自行車發(fā)生故障，停下來(lái)修理，修車為_1_h；（ 3）乙從出發(fā)起，經(jīng)過(guò)_3_h 與甲相遇；（ 4）甲行走的路程s 與時(shí)間 t 之間的函數(shù)關(guān)系式_s=10+ 20 t ；3（ 5） 如果乙自行車不出現(xiàn)故障，那么乙出發(fā)后經(jīng)過(guò)_1.2h 與甲相遇，相遇處離乙的出發(fā)點(diǎn)_18_km 并在圖中標(biāo)出其相遇點(diǎn)例 4 已知二次函數(shù)y ax2 bx c，且 a 0， a b c 0，則一定有（）A. b24ac0B. b24ac022C. b4ac0D. b4ac0分析： 由 a 0 ，可知拋物線開口向下，

6、又當(dāng)x 1 時(shí)， y a b c 0，所以拋物線有在x軸上方的圖象，必與2x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，b 4ac 0，故選（A） 。解： y ax2 bx c中 a 0 ，拋物線的開口向下又當(dāng) x 1 時(shí)， y a b c 0 ， 拋物線有在第二象限的點(diǎn)。它的示意圖如圖。拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)。2令 y 0 ，得 ax bx c 0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2 4ac 0故選A。評(píng)析： 此題由二次函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程，關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的圖象與x 軸有無(wú)交點(diǎn)，有幾個(gè)交點(diǎn)。由a 0， a b c 0， 加以確定拋物線的開口方向及圖象的位置，其中當(dāng) x 1 時(shí)， y a b c 0

7、， 這里要會(huì)找到x的值為多少時(shí)，得到a b c 。例 5. 已知二次函數(shù)y (m 2)x2 2mx m 1 ，其中 m為常數(shù)，且滿足1 m 2。試判斷此拋物線的開口方向，與x 軸有無(wú)交點(diǎn)，與y 軸的交點(diǎn)在x 軸上方，還是在x 軸下方。分析： 欲確定拋物線的開口方向，要看m 2 0 ，還是m 2 0 ，由 1 m 2 ，可知 m 2 0，得知拋物線開口向下；又c m 1 0，得知拋物線與y 軸交點(diǎn)在x 軸上方；再由b2 4ac 0，得知拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)。解： 1 m 2 am20拋物線開口向下；又 c m 1 0，拋物線與y 軸的交點(diǎn)在x 軸上方；2令 y 0 ，得 (m 2)x 2mx

8、 m 1 022b 4ac 4m 4(m 2)(m 1)4m 84(m 1) 4 0拋物線與x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。評(píng)析： 此題的難點(diǎn)是給出了m 的范圍， 即 1 m 2， 要確定m與 2 的大小關(guān)系，及 m 與 1 的大小關(guān)系。必要時(shí)，可畫出示意圖判斷。m-2-1012m例 6. 關(guān)于二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象有下列命題：當(dāng) c 0 時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)2當(dāng) c 0 ，且函數(shù)圖象開口向下時(shí)，方程ax2 bx c 0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根函數(shù)圖象的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4ac b24a當(dāng) b 0時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）D. 4 個(gè)A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C.

9、3 個(gè)分析： 4 個(gè)命題要一一加以判斷，正確；正確；正確；但無(wú)最高點(diǎn)，是錯(cuò)誤的，故選（C） 。解： 對(duì)于，當(dāng)c 0 時(shí)，得 yax2 bx，若 x 0，得 y 0，拋物線必過(guò)原點(diǎn)，正確；對(duì)于，當(dāng)c 0 ，且圖象開口向下時(shí)，拋物線與x 軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，2方程 ax bx c 0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，正確；對(duì)于，當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，無(wú)最高點(diǎn)，不正確；對(duì)于，當(dāng)b 0時(shí)，得 y ax2 c，關(guān)于 y 軸對(duì)稱，正確。一共有 3 個(gè)正確，選（ C）評(píng)析： 對(duì)于，很容易誤解成是正確的命題，由于不知道a 0 ，還是 a 0 ，因此舉出一個(gè)反例即可。例 7、 我市某鄉(xiāng)A， B 兩村盛產(chǎn)柑橘，A?村有柑

10、橘200t， ?B?村有柑橘300t現(xiàn)將這些柑橘運(yùn)到C， D 兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，?已知C?倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240t， ?D?倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260t；從A 村運(yùn)往C， D 兩處的費(fèi)用分別為每噸20 元和 25元，從 B 村運(yùn)往 C， D 兩處的費(fèi)用分別為每噸15 元和 18 元，設(shè)從A 村運(yùn)往 C 倉(cāng)庫(kù)的柑橘重量為xt， A， B?兩村運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑橘運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA 元和yB 元（ 1 ）請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，并求出yB， yA 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；CD總計(jì)Axt200tB300t總計(jì)240t260t500t（ 2）試討論A， B 兩村中，哪個(gè)村的運(yùn)費(fèi)較少；（ 3）考慮到B 村的經(jīng)濟(jì)承受能力，B 村的柑橘運(yùn)費(fèi)

11、不得超過(guò)480 元在這種情況下，?請(qǐng)問(wèn)怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最??？求出這個(gè)最小值（ 1）根據(jù)運(yùn)輸?shù)膰崝?shù)及運(yùn)費(fèi)單價(jià)可寫出y， y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系2）欲比較yA與 yB的大小，應(yīng)先討論yA=yB 的大小，應(yīng)先討論yA=yB或 yA>yB或 yA<yB時(shí)求出x 的取值范圍（ 3）根據(jù)已知條件求出x 的取值范圍根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知在此范圍內(nèi)，兩村運(yùn)費(fèi)之和是如何變化的，進(jìn)而可求出相應(yīng)的值（ 1）CD總計(jì)Axt（ 200 x） t200tB（ 240 x） t（ 60+x） t300t總計(jì)240t260t500tyA= 5x+5000（ 0 x 2）0，0 yB=3x+4680

12、（ 0 x 2）00（ 2）當(dāng)yA=yB時(shí)，5x+5000=3x+4680 ， x=40；當(dāng) yA>yB時(shí)，5x+5000>3x+4680 ， x<40；當(dāng) yA<yB時(shí)，5x+5000<3x+4680 ， x>40當(dāng) x=40 時(shí)，yA=yB 即兩村運(yùn)費(fèi)相等；當(dāng)0 x<40時(shí)，yA>yB即B 村運(yùn)費(fèi)較少；當(dāng)40<x 200時(shí)，yA<yB即 A 村費(fèi)用較少（ 3）由yB 4830得3x+4580 4830 x 50設(shè)兩村運(yùn)費(fèi)之和為y，y=yA+yB，即：y= 2x+9680又0 x 5時(shí)， 0 y 隨 x 增大而減小，當(dāng) x=50 時(shí)

13、， y 有最小值，y 最小值=9580（元）答：當(dāng) A 村調(diào)往 C 倉(cāng)庫(kù)的柑橘重為50t，調(diào)運(yùn)D 倉(cāng)庫(kù)為 150t， B 村調(diào)往 C 倉(cāng)庫(kù)為 190t，調(diào)往 D 倉(cāng)庫(kù) 110t 的時(shí)候，兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小，最小費(fèi)用為9580 元23例 8 已知拋物線y=x2 mx+ 與拋物線y=x2+mxm2 在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖26 2 1,其中一條與x 軸24交于 A、 B 兩點(diǎn)26 2 11）試判斷哪一條拋物線經(jīng)過(guò)A、 B 兩點(diǎn)？并說(shuō)明理由112（ 2）若A、 B 兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離OA、 OB 滿足 112 ，求經(jīng)過(guò)A、 B 兩點(diǎn)的拋物線的關(guān)系式OB OA 3解析：（1）經(jīng)過(guò)A、 B 兩點(diǎn)的拋物

14、線的>： （ 2）可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來(lái)解.解法一： （ 1） y=x 2 mx+ m ,中 1=m 2 2m2= m22拋物線不過(guò)原點(diǎn)，m 0.m2<0. 1<02y=x 2 mx+ m 與 x 軸無(wú)交點(diǎn)2y=x2+mx 3m2經(jīng)過(guò)A、B 兩點(diǎn)42）設(shè) A（ x1，0） ，B（x2，0） ，則x1<0，x2>0，OA= x 1， OB=x 2112112,，OB OA 3 x2 x13即 3（ x1 +x2） =2x1x2又 x1、 x2 是方程x2 +mxm2=0 的兩根，x1+x2= m， x1x2=m2443m= 3 m2m1=0（不符合題意，舍

15、去）， m2=22經(jīng)過(guò) A、 B 兩點(diǎn)的拋物線為y=x 2+2x 3解法二： （ 1）兩條拋物線都不過(guò)原點(diǎn)，m0 拋物線2y=x2 mx+ m 與 y 軸交于 （0，22m2 ）2>0，拋物線 22y=x 2 mx+ 不經(jīng)過(guò) A、 B 點(diǎn)2拋物線y x2+mxm2與 y 軸交于（0，m2） ，m2<0，444拋物線y=x 2+mx m2經(jīng)過(guò)A、 B 兩點(diǎn)4（ 2）同解法一中的（2） 例 9 已知拋物線y=2x 2和直線y=ax+5 （ 1）求證：拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；xx2) 設(shè) A( x1， y1) 、 B( x2， y2) 是拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn) P 是線段

16、AB 的中點(diǎn)，且點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為12 ，試用含 a 的代數(shù)式表示點(diǎn)P 的縱坐標(biāo)；(3)設(shè)A,B 兩點(diǎn)的距離d= 1 a2 · x1 x2 ,試用含a的代數(shù)式表示d.解： ( 1 )將 y=ax+5 代入y=2x2,消去y得 2x2 ax 5=0, =( a)2 4×2×( 5)=a2+40>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根不論 a 取何值，拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(2)x1、x2 是方程2x2ax5=0 的兩個(gè)根,x1+x 2=,x1x2=22y1 y2 ax1 5 ax25 aa a a 2點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)為(x1+x2)+5=·+5=+5

17、222224a3)x1+x 2=,x1x2=2x1 x2 = (x1 x2 )(x1 x2 ) 2 4x1 x2a2 402d= 1241a2 40.a2 40 14=a22例 10 有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天.如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長(zhǎng)存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去.假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體質(zhì)量基本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場(chǎng)價(jià)收購(gòu)這種活蟹1000 kg 放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場(chǎng)價(jià)為每千克30 元，據(jù)測(cè)算，此后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)每天可上升1 元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)用為 400 元，且平均每天還有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價(jià)都是每千克20 元

18、 .(1)設(shè)x 天后每千克活蟹的市場(chǎng)價(jià)為p元，寫出p 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果放養(yǎng)x 天后將活蟹一次性出售，并記1000 kg 蟹的銷售總額為Q 元，寫出Q 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式.(3)該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(rùn)(利潤(rùn) =Q收購(gòu)總額)？解：(1)由題意知：p=30+x,(2)由題意知活蟹的銷售額為(1000 10x)(30+x) 元 ,死蟹的銷售額為200x 元 . Q=(1000 10x)(30+x)+200x= 10x2+900x+30000.(3)設(shè)總利潤(rùn)為L(zhǎng)=Q 30000 400x= 10x2+500x= 10（x2 50x） = 10（x 25）2+6

19、250.當(dāng) x=25 時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6250 元 .例 11 圖中 a 是棱長(zhǎng)為a 的小正方體，圖b、圖c 由這樣的小正方體擺放而成，按照這樣的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別叫第一層，第二層，第n 層，第 n 層的小正方形的個(gè)數(shù)記為S，解答下列問(wèn)題：abc（1） 按照要求填表：n1234S136（2）寫出當(dāng) n=10 時(shí)， S=;（3）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把S 作為縱坐標(biāo)，n 作為橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的各點(diǎn);（4）請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一個(gè)函數(shù)圖象上嗎？如果在某一函數(shù)的圖象上，求出該函數(shù)的表達(dá)式；若不在，說(shuō).SOn(1)10 (2)55 (3)(略 ).(4)經(jīng)猜想，所描

20、各點(diǎn)均在某二次函數(shù)的圖象上.設(shè)函數(shù)的解析式為S=an2+bn+c.由題意知1a 2,a b c 1,21114a 2b c 3,解得b , S= n n.2229a 3b c 6, c 0.例 12 如圖，設(shè)直線y-xb（b>0）與開口向上的拋物線yax2相交于點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），與 x 軸相交于Cx1x2x3x3，0） ，與y 軸相交手點(diǎn)D （1）求證：1 + 1 = 1 ，y1y2b2； （2）當(dāng)B 為DC的中點(diǎn)時(shí)，求ab 的值； （3）取a1，當(dāng)AD DB 2 1 時(shí)，求 b 的值解 （ 1 ）證明：A、 B 是直線 y=-x+b 與拋物線的交點(diǎn)，y x b,（x

21、 1， y 1） ， （ x2， y2）是方程組2 的解，y ax故 x 1， x2是方程ax2+x-b 0 的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1 +x2= -, x 1 · x2= -,aa又直線y -x b 與 x 軸交于點(diǎn)C（ x3， 0） ， x3 b，11 x1 x21 b 11+= -/-= =；x1 x2 x1 ? x2 a a b x3y1y2=ax12· ax22=a2· （x 1· x2）2=a2· （-）2=b2.a（ 2）作BE x 軸于E，DB=BC, 1 OD=BE,OE=1 OC，22 D（0,b）,C（b,0） B（

22、 1 b, 1 b）. 又點(diǎn)B在拋物線y ax2上，22 b a· （b） 2ab 222（3）過(guò) A點(diǎn)作 AFx 軸于 F，ADDB2： 1， OFOE 21 x1x2-21 ，又x1+x2= -= -1.x1= -2,x2=1,b=-x 1· x2=2。a【解題技巧點(diǎn)撥】此類問(wèn)題常見(jiàn)的形式和解題方法是：用待定系數(shù)法列出關(guān)于函數(shù)解析中待定系數(shù)的方程（組），通過(guò)解方程（組）求出特定系數(shù)的值；將函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)與方程的根對(duì)應(yīng)起來(lái)；利用函數(shù)研究方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系；利用函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解之間的關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題。課堂練習(xí)1、如圖 4 所示，已知函數(shù)y

23、=x+b 和 y=ax+3 的圖像交點(diǎn)為P， ?則不等式x+b>ax+3 的解集為_x>145 所示， ?這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)在2函數(shù)y1=x+1 與 y2=ax+b（ a0 ）的圖像如圖y 軸上，那么使y1， y2的值都大于零3如圖4小亮用作圖像的方法解二元一次方程組時(shí)，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出了相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)的圖像示，他解的這個(gè)方程組是（5已知一次函數(shù)AAACx> 1B x<2C 1<x<2D 1<x<26，一次函數(shù)y=kx+bx>0B x>22x 23x8,y= x+m2A，B 兩點(diǎn)，則kx+b>0? 的解集是（CC x

24、> 3D 3<x<22x 2BD和 y= 1x+n2L 1， L2 如圖所2x 2,1 x12A（2， 0） ，且與x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)，那么 ABC 的面積是（C）6. 在反比例函數(shù)A 2BC 4D 6中，當(dāng) x 0時(shí)， y隨 x的增大而增大，則二次函數(shù)y kx2 2kx的圖象大致是（D ）xyy0x(A)(B)(C)(D)解： y k 中，當(dāng) x 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大， x圖象一支在第四象限k02則 y kx 2kx的圖象，開口向下，排除（A） 、 （ B）b 2k x2a 2k 選(D)7. 已知二次函數(shù)y(2m 1)x2 (5m 3)x 3m 5（

25、 1 ）證明 m 為任何實(shí)數(shù)時(shí)，它的圖象必與x 軸相交于兩點(diǎn)；（ 2） m 為何值時(shí)，它的圖象過(guò)原點(diǎn)；（ 3） m 為何值時(shí)，它的圖象的對(duì)稱軸是y 軸。分析： （ 1）將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由0 進(jìn)行判斷。（2）由c3m5 0 ，求 m（3）由b0，即 5m3 0去解。2解： （ 1）令y 0，得（2m 1）x（5m 3）x 3m 5 02 （5m 3）2 4（2m 1）（3m 5）m2 2m 292（m 1）2 28不論 m 為任何實(shí)數(shù)，都有（m 1）2 0，2（m 1）2 28 00方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，它的圖象必與x 軸相交于兩點(diǎn)。（ 2）當(dāng)c 0時(shí)，二次函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，m

26、505 m35即當(dāng) m 5 時(shí)，它的圖象過(guò)原點(diǎn)。 3（ 3）當(dāng)b 0時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸是y 軸。（5m 3） 03 m5即當(dāng) m 3 時(shí)，它的圖象的對(duì)稱軸為y 軸。5228、已知拋物線y x （1 2a）x a （a 0） 與 x軸交于 A（x1，0），B（x2，0）（ x1x2） 。( 1 )求 a 的取值范圍，并證明A、 B 兩點(diǎn)都在原點(diǎn)O 的左側(cè)；( 2)若拋物線與y 軸交于點(diǎn)C，且 OA OB OC 2，求 a的值。分析： ( 1) 將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由 0， 求出 a 的范圍； 由 x1x2 0， 得出x1,x2同號(hào)； 再由x1 x2 0，得出兩點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)。2( 2)

27、由OA OB OC 2，得出x1 x2 a 2，再由x1 x22a 1 ，求出 a的解。解： ( 1) 拋物線與x 軸交于A(x1 ,0)， B(x2,0) 兩點(diǎn)，且x1 x2，令 y 0，得x2 (1 2a)x a2 0(1 2a)2 4a2 01a4a 的取值范圍是a 1 ，且 a 0 。4又 a02x1x2 a 0x1 , x2 同號(hào)又 x1 x2(1 2a) 2a 1 0x1， x2同為負(fù)數(shù)。點(diǎn) A(x1 ， 0)， B(x2 ,0)都在原點(diǎn)左側(cè)。( 2)x1 ,x2 同為負(fù)數(shù)，由 OA OB OC 2，得x1 x2 a2 2(x1 x2 ) a 2 21 2a a 2 2a2 2a

28、3 0a13， a2 1a 且a04a3評(píng)析： 此題較為復(fù)雜，要完成一元二次方程和二次函數(shù)間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)，還要熟悉一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等關(guān)系，體現(xiàn)了綜合考查知識(shí)的能力。29. 已知：拋物線y x ( k 1)x k。（ 1 ）試求k 為何值時(shí)，拋物線與x 軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；（ 2）如圖，若拋物線與x 軸交于A、 B 兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)B 的左邊），與y 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C。yAO試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k ，使AOC 與 COB 相似？若存在，求出相應(yīng)的分析：（ 1）只要證0即可；（ 2）設(shè)法判定AO角形相似時(shí)，求出k 的值。解： （ 1）令y 0，得x2 （k 1）x k 02（k1）24 1 k

29、k22k14k2k22k1（k 1）2拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，0即 （k 1）2 0k1 k21當(dāng) k 1 時(shí)，拋物線與x 軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。（ 2） 拋物線y x2 （k 1）x k 與 y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)當(dāng) x 0 時(shí)，y k ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0， k ） ， k 0 。當(dāng) y 0時(shí)，得x2 （k 1）x k 0（x 1）（x k） 0x1 1， x2 k點(diǎn) A 在點(diǎn)B 的左邊，A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（k， 0）， （1， 0）A OC |k| kAOC 是等腰直角三角形。要使 Rt BOC 與 Rt AOC 相似，只需OB OCBxCk 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。C 與 BO

30、C 的形狀，求出點(diǎn)A、 B、 C 的坐標(biāo)，再判定當(dāng)兩個(gè)三C，OB 1，C k1k1這樣的 k 值存在，且k 1 。評(píng)析： 欲求兩個(gè)三角形相似時(shí)k 的值，要注意線段的長(zhǎng)為正值，k 的值可能為負(fù)值。10. 某商店如果將進(jìn)價(jià)為每件8 元的某種商品按每件10 元出售，每天可銷售100 件。為了增加利潤(rùn)，該商店決定提高售價(jià)， 但該商品單價(jià)每提高1 元， 銷售量要減少10 件。 問(wèn)當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，才能使每天的利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)。分析： 若每件商品提高x元，那么每件利潤(rùn)為(2 x)元，每天銷售量為(100 10x) 件，每天所得利潤(rùn)為y 元，可列出函數(shù)解析式y(tǒng) (2 x)(100 10x)解： 設(shè)每件

31、提高x 元( 0 x 10 )每件獲得利潤(rùn)為(2 x) 元。每天可銷售(100 10x) 件，設(shè)每天獲利潤(rùn)y 元，則 y (2 x)(100 10x)10x2 80x 20010(x 4)2 360當(dāng) x 4 時(shí)， y 的值最大即當(dāng)定價(jià)為每件14 元時(shí)，獲得利潤(rùn)最大，每天最大利潤(rùn)為360 元11、已知：二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A( 1， 0)和點(diǎn)B( 2， 1) ，且與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m( 1 )若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；( 2)若二次函數(shù)的圖像與x 軸還有異于點(diǎn)A的另一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；( 3)若二次函數(shù)的圖像截直線y -x+1 所得線段的長(zhǎng)為2 2 ，確定 m的值m 1 2

32、3m 11(1)y= x - x+m (2)m ± 1 (3)m= 或 m= -5m< 2課后作業(yè)4、當(dāng)m 為何值時(shí)，拋物線y x22mx m2 m 2與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，有一個(gè)交點(diǎn)，無(wú)交點(diǎn)。1、已知a 2b 3 m，a， b滿足方程組則 a2a b m 4，b 的值為(D )。1 m 10 12、如果x1， x2是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)，且滿足x122x1 1 ，x222x2 1 ，那么x1·x2等于(B ) 。2B 1123、不等式(m-2)x>2-m 的解集為x<-1 ，則 m 的取值范圍是m 2， m 2， m 222解：令 y 0 ，得x 2mx m

33、m 2 04m2 4(m2 m 2)4(m 2)當(dāng) m 2 時(shí)，0 ，拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)；m 2 時(shí)，0，拋物線與x 軸有一個(gè)交點(diǎn)；m 2 時(shí)，0，拋物線與x 軸無(wú)交點(diǎn)。5、已知二次函數(shù)y mx2（2m 2）x m 1 與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m 的取值范圍。1，且 m 03解：令 y 0 ，得mx2 (2m 2)x m 1 0拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，2 （2m 2）2 4m（m 1） 0224m2 8m 4 4m2 4m 012m 4 01m3又m0m 的取值范圍為m 1 ，且 m 0 。36、已知二次函數(shù)y ax2 bx c （ a 0）的圖象經(jīng)過(guò)O（0，0） ，A（1 ，1 ）

34、，B（2 ，14）和C（2，m）四點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式及m 的值。解： 函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)O（0，0），A（1，1 ） ，B（2 ，14）三點(diǎn)，c0abc 14a 2b c 14解得 a 2， b3， c 02它的解析式為y 2x2 3x又 圖象過(guò)C（ 2， m）點(diǎn)，2m 2 22 3 2 2227、已知二次函數(shù)y 2x mx m1 ）求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，該二次函數(shù)圖象與x 軸總有公共點(diǎn)；2）若該二次函數(shù)圖象與x 軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A、 B，且A 點(diǎn)坐標(biāo)為（1， 0） 。求 B 點(diǎn)坐標(biāo)。11）略；（ 2） （ 2， 0）， （ 1 ， 0）2222解： （ 1）（ m） 4 2 （ m ） 9m 0

35、 ，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，該二次函數(shù)圖象與x 軸總有公共點(diǎn)。2（ 2）把（1， 0）代入，得0 2 mm22m m 2 0，m12，m212當(dāng) m 2 時(shí)， y 2 x 2 x 4 2 （ x 2 ）（ x 1）B 點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）當(dāng) m 1 時(shí)， y 2 x2 x 1 （2 x 1）（ x 1）1B 點(diǎn)坐標(biāo)為（,0）21258、已知拋物線y x x 。221 ）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。2）若該拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B ，求線段AB 的長(zhǎng)。1251215解： （ 1 ） y x x （ x 2 x 1）22222頂點(diǎn)（1，3） ，對(duì)稱軸x 1125（ 2）令 y 0 ，得 x x

36、02212（x21）2 3設(shè)它的兩個(gè)根為x1 , x2則 x1x22， x1x25|x1 x2 |（x1 x2 ） 2 4x1 x2（ 2）2 2024 2 69、近階段國(guó)際石油迅速猛漲，中國(guó)也受期影響，為了降低運(yùn)行成本，部分出租車進(jìn)行了改裝，改裝后的出租車可以用液化氣來(lái)代替汽油?假設(shè)一輛出租車日平均行程為300km （ 1）使用汽油的出租車，假設(shè)每升汽油能行駛12km，當(dāng)前的汽油價(jià)格為4.6 元 /L， ?當(dāng)行駛時(shí)間為t 天時(shí)，所耗的汽油費(fèi)用為p 元，試寫出p 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）使用液化氣的出租車，假設(shè)每千克液化氣能行駛15 16km ， ?當(dāng)前的液化氣價(jià)格為4.95 元 /k

37、g，當(dāng)行駛時(shí)間為t 天時(shí)，所耗的液化氣費(fèi)用為w 元，試求w 的取值范圍（用t 表示） ；（ 3） 若出租車要改裝為使用液化氣，每輛需配置成本為8000 元的設(shè)備，?根據(jù)近階段汽油和液化氣的價(jià)位，請(qǐng)?jiān)?（ 1 ）（ 2）的基礎(chǔ)上，計(jì)算出最多幾天就能收回改裝設(shè)備的成本？?并利用你所學(xué)的知識(shí)簡(jiǎn)單說(shuō)明使用哪種燃料的出租車對(duì)城市的健康發(fā)展更有益（用 20 字左右談?wù)劯邢耄?） p=300 × 4.6t ，即p=115t122） 300×4.95t w 3004×.95t16151485t即 w 99t163） 115t 99t 800， 0t 500即最多 500 元能收回

38、改裝設(shè)備的成本液化氣燃料的出租車對(duì)城市健康發(fā)展更有益（感想略）10、 已知關(guān)于x 的二次函數(shù)y=x 2 mx+m2 2與 y=x 2mx2， 這兩個(gè)二次函數(shù)的圖像中的一條與x 軸交于A，2B 兩個(gè)不同的點(diǎn)1）試判斷哪個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A， B 兩點(diǎn)；2）若點(diǎn)A 坐標(biāo)為（1 ， 0） ，試求點(diǎn)B 坐標(biāo)；3）在（2）的條件下，對(duì)于經(jīng)過(guò)A， B 兩點(diǎn)的二次函數(shù)，當(dāng)x取何值時(shí)，y 的值隨 x?值的增大而減??？1）對(duì)于二次函數(shù)y=x 2 mx+2 m1m21= （ m ） 2 4× 1×= m2 2<0x 軸沒(méi)有交點(diǎn)對(duì)于二次函數(shù)y=x 2 mxm2 2= （m ） +4 &#

39、215; 1 ×2 m1=3m2+4>0x 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)故圖像經(jīng)過(guò)A，B 兩點(diǎn)的二次函數(shù)為2 m y=x 2 mx2） B（ 3， 0）3）將A（1， 0）代入y=x 2 mx2得 m2 2m=0， m=0 或 m=22若 m=0，則當(dāng)x<0 時(shí)，y隨 x 增大而減小；若 m=2，則當(dāng)x<1 時(shí)，y隨 x 增大而減小11、學(xué)校書法舉小組準(zhǔn)備到文具店購(gòu)買A ， B 兩種類型的毛筆，文具店的銷售方法是：一次性購(gòu)買A 型毛筆不超過(guò)20支時(shí)，按零售價(jià)銷售；超過(guò)20 支時(shí)，?超過(guò)部分每支比零售價(jià)低0.4 元，其余部分仍按零售價(jià)銷售一次性購(gòu)買B 型毛筆不超過(guò)15 支時(shí)，按

40、零售價(jià)銷售；超過(guò)15 支時(shí)，超過(guò)部分每支比零售價(jià)低0.6 元，?其余部分仍按零售價(jià)銷售（ 1）如果全組共有20 名同學(xué)，若每人各買1 支 A 型毛筆和2 支 B 型毛筆，共支付145 元；若每人各買2 支 A 型毛筆和 1 支 B 型毛筆，共支付129 元這家文具店的A， B?兩種類型毛筆的零售價(jià)各是多少？（ 2）為了促銷，該文具店的A 型毛筆除了原來(lái)的銷售方法外，同時(shí)又推出了一種新的銷售方法：無(wú)論購(gòu)買多少支，一律按原零售價(jià)即（1 ）中所求得的A 型毛筆的零售價(jià)的 90%出售現(xiàn)要購(gòu)買A 型毛筆 a支（a>40） ，在新的銷售方法和原來(lái)的銷售方法中，?應(yīng)選哪種方法購(gòu)買花錢較少？并說(shuō)說(shuō)理由（ 1）設(shè)這家文具店A 型毛筆的零售價(jià)為每支x 元， B 型毛筆的零售價(jià)為每支y 元，則根據(jù)題意得：20x 15y25(y 0.6) 145解之得：x220x 20(x0.4) 15y 5(y 0.6)129y3答：這家文具A 型毛筆的零售價(jià)為每支2 元， B 型毛筆的零售價(jià)為每支3 元（ 2）如果按原來(lái)的銷售方法購(gòu)買a