引人入勝的SSA

1、引人入勝的SSA在全等三角形教學(xué)時(shí)，常常會(huì)碰到兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的條件。而滿足這樣條件的兩個(gè)三角形往往具備一些很重要的性質(zhì)，如果不加以利用，就會(huì)使問(wèn)題的解決發(fā)生一定困難。我們知道，兩個(gè)三角形如果滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等是不能判定這兩個(gè)三角形全等的。但不能錯(cuò)誤地認(rèn)為滿足這樣條件的兩個(gè)三角形一定不全等。下面就以下六個(gè)方面談?wù)勎覍?duì)這個(gè)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。亠、問(wèn)題的引入在進(jìn)行全等三角形“邊角邊公理教學(xué)時(shí)，我常喜歡問(wèn)學(xué)生這么一個(gè)問(wèn)題:想一想，能否把邊角邊公理說(shuō)成“有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等？結(jié)合圖形答復(fù)這是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，在這里包括了兩個(gè)命題，其一就是SAS公理

2、，它是真命題。其二就是“有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，這顯然是一個(gè)假命題。例如在上面的圖1中，AB=Ai Bi,/ B= /Bi, AC=A iCi，那么可以使 ABCA 1B1C1,也可以使這兩個(gè)三角形不全等如 ABC與厶A1B1C2 。二、定義我們把兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的現(xiàn)象叫做“SSA三、SSA的教學(xué)的片段等學(xué)生們學(xué)完了前面的內(nèi)容之后，我問(wèn)學(xué)生：“同學(xué)們，前面我們每個(gè)同學(xué)都畫了 ABC，使AB=8cm , BC=5cm，/ B=30。，結(jié)果每人得到的三角形都全 等?，F(xiàn)在我們將條件 BC=5cm '改為 AC=5cm '，使兩邊一夾角

3、變?yōu)閮蛇呉粚?duì)角，你再畫出ABC。話音剛落，大家就動(dòng)手畫了起來(lái)。片刻，大家根本上畫好了，我布置了合作交流的任務(wù)：“請(qǐng)大家在四人小組里進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，用重疊法來(lái)判別一下你們所畫的三角形是否全等。因?yàn)樵谘惨晻r(shí)我發(fā)現(xiàn)同學(xué) A所在的小組四人中，所畫的三角形都彼此全等，所以請(qǐng)A先上來(lái)陳述。A說(shuō)：“我們四個(gè)人所畫的三角形是全等的，這說(shuō)明有兩邊和其中一邊上的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等。我說(shuō)：“同意A的人舉手 哇！有一半以上的同學(xué)舉手了我叫了沒(méi)舉手的B來(lái)陳述B說(shuō)：“我們四人所畫的三角形有兩種，其中三人畫的是圖甲，只有我畫的是圖乙，我所畫的三角形與他們不全等，這說(shuō)明有兩邊和其中一邊上的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不全等。從同學(xué)們

4、的眼光中我知道第一次舉手的學(xué)生有一個(gè)共同的想法：我怎么沒(méi)想到畫圖乙呢？我說(shuō)：“同意B的請(qǐng)舉手。這時(shí)幾乎全班同學(xué)都舉手了。我接著又問(wèn)：“難道你們就沒(méi)聽(tīng)出來(lái) B說(shuō)話的破綻？哪個(gè)同學(xué)能完整的表達(dá)一下？C說(shuō)：“有兩邊和其中一邊上的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形可能全等可能不全等。我說(shuō)：“同意C的請(qǐng)舉手這時(shí)全班同學(xué)都舉手了，我肯定了同學(xué) C所說(shuō)的話是非常正確的。 接著我引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“ SSA 的兩條性 質(zhì)。四、SSA的根本性質(zhì)從上面的圖1我們發(fā)現(xiàn)SSA有以下兩條性質(zhì)：1. 有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形可能全等，可能不全等。所以不能利用“ SSA 判定兩個(gè)三角形全等2. 有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相

5、等的兩個(gè)三角形如果不全等，那么這兩個(gè)三角形一定相差一個(gè)等腰三角形。例 1 ABC 和厶 A，B，C，中，使 AB= A B，=8cm , BC= B，C，=5cm , / A= ZA =30 ° ,如果 ABC 和厶 AB，C，不 全等，求它們的面積之差是多少平方厘米。解:此題沒(méi)有圖形,首先畫出圖3。由上面性質(zhì)2可知，如果把這兩個(gè)三角形重疊起來(lái)，就相差一個(gè)等腰三角形如圖3 其中A與A，重合，B與B，重合，設(shè) C落在BC上，作高BD，那么由幾何性質(zhì)知 BD=4，CD=3，S abc=12， 此即為問(wèn)題的解。五、SSA的三種類型SSA在不同的情景、不同的問(wèn)題中有三種根本類型：1、滿足SS

6、A的兩個(gè)三角形可以全等可以不全等;2、滿足SSA的兩個(gè)三角形一定全等；3、滿足SSA的兩個(gè)三角形雖然不全等，但可以通過(guò)割去或補(bǔ)上一個(gè)等腰三角形來(lái)構(gòu)造全等。I* c 丿*Dot穴 f/1/ >< f/- /j?J*h/UP(圖4it CTP<S)B1DcA< TF面通過(guò)例子分別來(lái)說(shuō)明這三種類型如圖4 , AD=BC ,Z CAB= / DBA，問(wèn) ABC與厶DBA是否一定全等？假設(shè)一定全等請(qǐng)給出證 明：zlABC 一定全等請(qǐng)滿足的反例件是 AD=BC，/ CAB= / DBA , AB=BA，是屬于SSA，但它們不一定全等。反例如圖5,只要在直線 AC上找到一點(diǎn)Ci，使B

7、Ci=BC，那么 ABC和厶ABC i總有一個(gè)與 DBA不全等。此例屬于SSA的第一類型 例3 如圖6, E是梯形ABCD的腰BC中點(diǎn)，AE平分/ BAD，在AD上取AF=AB，連EF ,問(wèn)厶 ABE是 否與 AFE全等？ DFE是否與 DCE全等？錯(cuò)解：由可得 ABEAFE。而在 DFE與厶DCE中，所滿足的條件是FE=EC , / AFE= / C , DE=DE ,屬于SSA，所以無(wú)法判定厶 DFE是否與 DCE全等。分析：其實(shí)以上第二對(duì)三角形雖然屬于SSA，但卻可以判定全等。方法是延長(zhǎng) AE與DC交于G,即可利用等腰三角形“三線合一定理來(lái)證/3= / 4。AC 平分/ DAB，/ AB

8、C+ / ADC=18 ° 0 , DC=BC：7.雹；二；.求證：。C分析：在 ABC與厶ADC中，滿足的條件是/ BAC= / DAC , AC=AC。另外，要求證的是 DC=BC，這樣 三個(gè)結(jié) 論就構(gòu)成了 SSA?，F(xiàn)在這兩個(gè)三角形之所以不全等是因?yàn)樗麄兿嗖钜粋€(gè)等腰三角形。利用這個(gè)性質(zhì)，可以用三種方法構(gòu)造全等三角形 方法一：在AD延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使得CE=CD。補(bǔ)上一個(gè)等腰三角形方法二：在AB上取一點(diǎn)E,使得CE=CB。割去一個(gè)等腰三角形方法三：作CF丄AB于F , CE丄AD于E。割去半個(gè)等腰三角形，同時(shí)又補(bǔ)上半個(gè)等腰三角形證明略。此例屬于 SSA的第三類型六、SSA的困惑有

9、時(shí)我自己也會(huì)被 SSA問(wèn)題難住，即無(wú)法判斷是三種類型中的哪一種。一天，一位學(xué)生拿著?同步練習(xí)?中的一道習(xí)題來(lái)問(wèn)我：“黃老師，這道題是邊邊角'問(wèn)題，我雖然知 道不能判定三角形全等，但找不到不全等的反例。這道題是這樣的：“如圖11，在四邊形ABCD中，AB=CD，/ B= / D，問(wèn)四邊形ABCD 定是平行四邊形我想了許久，答復(fù)學(xué)生說(shuō)：“一定!學(xué)生感到不解。我自信地說(shuō)：“我證明給你看，不過(guò)要用到你沒(méi)學(xué)過(guò)的一條定理。證明：如圖，將 ABC 沿 AC 翻折得 AB ' C ,v/ B= / D ,B '二/D ,/.A、 C、 D、B '四點(diǎn)共圓，T AB=C , D

10、/.AB ' =CD，二/ DAC / = B ' CA ,即/ DAC / = ACB，二 ABC CDA，二四邊形 ABCD是平行四邊形。待學(xué)生帶著滿臉疑惑走了之后，我靜下心來(lái)思索，真的沒(méi)有反例了嗎？于是我就用幾何畫板做了一個(gè)課 件。如圖，在幾何畫板中先任意畫一個(gè)厶 ABC，然后以C為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫圓，在圓C上任取一點(diǎn)D，再 作射線DE，使/ EDC / = ABC。我們可以讓點(diǎn)D在圓C上移動(dòng)而題設(shè)的條件不變，從而就會(huì)產(chǎn)生各種位置 關(guān)系如圖12-1至12-4 ，其中使射線經(jīng)過(guò)點(diǎn) A的位置就有兩種。這說(shuō)明滿足條件的四邊形有兩個(gè)，反例找 到了。所以這是一個(gè)假命題，上面的證明