武漢理工控制工程第四章習(xí)題解答

1、習(xí)題解答:4-1負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G sF s =Kgs s 1 s 2試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：根軌跡有3個(gè)分支，分別起始于0, -1, -2,終止于無窮遠(yuǎn)。仃a =-1,售=180：±60葭實(shí)軸上的根軌跡是(-8, -2及-1,0。d(s33s22s).二0ds可得，s =0.422, s2 =1.578; s1 =-0.422 是分離點(diǎn)。根軌跡見圖4-28。4-2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為跡上，并求出相應(yīng)的根軌跡增益Kg和開環(huán)增益K o解：若點(diǎn)Si在根軌跡上，則點(diǎn) Si應(yīng)滿足相角條件 /G(s)H (s)=±(2k + 1)n ,如圖4-29所對(duì)于& = _

2、1 + j J3,由相角條件.G(s)H(S1) -0 - . (-1j ,3 1)(-1 j ,3 2)(-1 j . 3 4)ji ji ji=-JT3 6滿足相角條件，因此S1 = -1 + j J3在根軌跡上。將S1代入幅值條件:4-3G(si)H(si)=所以，Kg =12已知開環(huán)零點(diǎn)極點(diǎn)Kg-1 + j V3 + 2， 1 + j 73 + 4二1Kg3V - 2p，試概略畫出相應(yīng)的閉環(huán)根軌跡圖。(1)=0, 3;(2)-2,Z1,2 - -4- j45432=1莓;= 2±j1；Pi - -1(3)6;p =0(4)解:實(shí)軸實(shí)釉實(shí)軸0.40.20 .0.2-0.4 -0

3、.6-0.8 -1.0-25, z = 4，p2,3圖 4-30 (3)圖 4-30 (4)圖 4-30 ( 1)實(shí)軸圖 4-30 (2)4-4設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為Kgs s 1 s 3.5 s 3 2j s 3-j2試概略繪出其閉環(huán)根軌跡圖（要求確定根軌跡的分離點(diǎn)，起始角和與虛軸的交點(diǎn)）解：系統(tǒng)有五個(gè)開環(huán)極點(diǎn):pl - 0, p2 - - 1, p3 = -3.5, p4 - -3j 2, p5 - -3 - j 21.實(shí)軸上的根軌跡：I- :',-3.5|1-1,0 12.漸近線:-1 - 3. 5 -( 3j 2卜 « j35(2k1) 二73二-,一，二5

4、552)=-2： 13.分離點(diǎn):1二0d 3.5 d 3- j2 d 3 j2d1=-0.45 , d2 -2.4 (舍去), d型 =3.25± j1.904.與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為D(s) =s(s 1)(s 3.5)(s 3 j2)(s 3- j2) K =0把$ =上與代入上方程，整理，令實(shí)虛部分別為零得：r_# , _4_2_Re(jo)=K +10.5& 79.5 切 =0=Jm(j6)=切5 43.5® 3 +45.56 =0可得，他=0各=±1.023=±6.52，(舍去;K* =0 K* = 71.90 K115546.3

5、、 _5.根軌跡的起始角為：%=180 ,-75.96 :-901135 ,-1463 79274由對(duì)稱性得，另一起始角為92.74 1根軌跡如圖習(xí)題 4-31所示。4-5圖 4-31已知單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)4-7系統(tǒng)的框圖如圖 4-26所示，試?yán)L制以為7變量的根軌跡圖。Gs=3試作出以b為參量的根軌跡圖。解:作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G (s)=30 bs(s 40)1.實(shí)軸上的根軌跡:1-40,-011=0d 4012.分離點(diǎn)：一，d解得：d=-20根軌跡如圖4-32所示。10SO -io0 CT-1O圖 4-324-6單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為2_Kg(s -2s 5)G(s):(

6、s 2)(s -0.5)試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡，確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的KG值范圍。解：根軌跡繪制如下：圖 4-331 .實(shí)軸上的根軌跡：1-2,0.5 12 .分離點(diǎn)：1111+ = +d -0.5 d 2 d -1 j2 d -1 - j2可得：d1 = -0.413 .與虛軸交點(diǎn)：D(s) =(s 2)(s -0.5) KG(s2 2s 5) =0把s=j©代入上方程，令he(D(j6) =-(1 +KG)切2 +5Kg-1 = 0=Jm( D( jo) =(1.5 2Kg)0 =0解得:0 0 0Kg =0.2&=±1.25、Kg =0.75根軌跡如圖4-6所示。由圖可知

7、系統(tǒng)穩(wěn)定的KG值范圍為0.2<Kg <0.75;又 K=5Kg,所以系統(tǒng)穩(wěn)定的 K值范圍為1 < K <3.75。解:系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)丫包u(s)圖 4-26G(s)=G(s)s(s 1)21 G(s) s (1.)s 1系統(tǒng)閉環(huán)特征方程1 +G(s) = 0,即2s (1 )s 1 = 0除以(s2 +s+1)得得等效開環(huán)傳遞函數(shù)sML令 s2s 1 = 0得等效開環(huán)極點(diǎn)s1,21_ _一一 j 3/2，一、，,.2 j 2，為E =0時(shí)原系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。按常規(guī)根軌跡繪制方法作根軌跡。(1)根軌跡起點(diǎn)：一2± 1*3/2,終點(diǎn)：0,-8；

8、一 S2 s 1=s2.1 = 0(2)實(shí)軸上根軌跡：(-8, 0區(qū)段；(3)分離點(diǎn)：s , ds s 1 0，d=±1，取d一,分離角二90畫出根軌跡如圖4-34所小圖 4-34324-8 實(shí)系數(shù)特征萬程 A(s) =s +5s +(6+a)s+a = 0要使其根全為實(shí)數(shù)，試確定參數(shù) a的范圍。解：作等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=a(s 1)a(s 1)32s 5s6s s(s 2)(s 3)當(dāng)a>0時(shí)，需繪制常規(guī)根軌跡。1.實(shí)軸上的根軌跡:1 - 3,-2 1,1-1,0 12 .漸近線:3 .分離點(diǎn):解得根據(jù)以上計(jì)算,-2-3 13-1(2k 1)二3 -1d =-2.47-

9、2可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖4-35(1)所示。當(dāng)a <0時(shí)，需繪制0根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為：(丈,3】，2, 1 10產(chǎn))。由圖4-35(2)可以看出，當(dāng)a<0時(shí)，多項(xiàng)式的根全為實(shí)數(shù)。因此所求參數(shù)a的范圍為0 Wa W0.4147或a <0。因此所求參數(shù) a < 0的范圍為0 W a W 0.41474-9已知負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程圖 4-36(2)K1 (s 14)(s22s 2) = 01.繪制系統(tǒng)根軌跡圖(0<K<8)；2.確定使復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼系數(shù)0 =0.5 的 Ki值。G(s)=2(s 14)(s2 2s 2)(1)根軌跡的起點(diǎn)為：5

10、,2 = 一1 ± j , P3=-14 ,終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處(無有限零點(diǎn))解：1.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)K1(2)分支數(shù)n =3。(3)實(shí)軸上根軌跡為(-8, -14區(qū)段。(4)漸近線為n - m =3條。'' Pj -、Zi j a i mn 一 m16二一 一 -5.33 3a_ (2k 1)二 _ (2k 1)180 _60 (k = 0)«180 口(k =1)300 °(k = 2)(5)根軌跡離開復(fù)極點(diǎn)的出射角m由公式 k =180°：i 'i 1j 1i -kk1 -1800 -(904 )=86：k2 = -86根軌跡如

11、圖4-37所示圖 4-37為所求之閉環(huán)極點(diǎn)2. P=arccos：匕.5 =60°,按此角過（0,0）點(diǎn)作直線與根軌跡交點(diǎn)與，用幅值條件可得（s, ： -1jl.6）：Ki1G(Si)H(Si)=si - Pi si - P2Gp3 =0.63.213.1:25.12_4-10系統(tǒng)的特征方程為 s (s+a) + k(s+1) =01 .畫出 a = 2，a=i，a = 6，a=9，a=i0時(shí)的根軌跡。2 .求出根軌跡在實(shí)軸上沒有非零分離會(huì)合點(diǎn)時(shí)a值的范圍。解：i） a=i時(shí)，特征方程為（s+1）（s2+k） = 0根軌跡是-1及整個(gè)虛軸，見圖 4-38（a）。 a - i ,特征方

12、程可寫為k(s 1)s2 (s a)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=k(s 1)s2(s a)士-2，交點(diǎn)為3支根軌跡，起于 0, 0, a ,止于-1和無窮遠(yuǎn)。漸近線與實(shí)軸交角是_ _ _a 1a<1, 3>0; a>1, Ga <0在實(shí)軸上的分離會(huì)合點(diǎn)按下述方法計(jì)算。d(s 1)ds32(s as ) - (s 1)d(s3 as2)= 0ds2=s(2s (a 3)s 2a) = 0解得S1 =0S2,3-(a 3) 、(a - a)(a - 9)a = -2時(shí)，實(shí)軸上根軌跡是-1,22 1=1.52S2,3一(一2 3) 一 .(13)(二 11)電=1.186, S3

13、=1.686(不在根軌跡上，舍去)分離點(diǎn)是1.186,對(duì)應(yīng)的k =0.524根軌跡見圖4-38(b)a =6,實(shí)軸上根軌跡是-6,-1s2,3-(6 3)- (5)(-3)s2 ，S3是復(fù)數(shù)，不是實(shí)軸上的分離會(huì)合點(diǎn)。根軌跡見圖4-38(c)a =9,實(shí)軸上根軌跡是-9,-1s2,3對(duì)應(yīng)的k =27。根軌跡見圖4-38(d) a=10,實(shí)軸上根軌跡是-10,-1-10 1二-4.5s2,3-(10 3) -(9),s2 = -2.5 ,電二一4對(duì)應(yīng)的卜2 =31.25, k3 = 32。根軌跡見圖4-38(e)2）當(dāng)分離會(huì)合點(diǎn)S2,3不是實(shí)數(shù)時(shí)，系統(tǒng)沒有非零分離會(huì)合點(diǎn)(a -1)(a -9) ：

14、 0=1 ： a : 9圖 3-38(e)4-11已知某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=Ks2 (s1)試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡圖，說明其穩(wěn)定性。如果在負(fù)實(shí)軸上增加一個(gè)零點(diǎn)a(0 < a < 1),對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有何影響，試仍以根軌跡圖來說明。解：、 KG(s) = -21. s (s+1)時(shí),(1)根軌跡起始于-1, 0, 0,終止于三個(gè)零點(diǎn)(為無限零點(diǎn));(2)根軌跡分支數(shù)n=3；(3)實(shí)軸上的根軌跡位于(-8, -1區(qū)段；(4)漸近線n - m = 3條。二pj- %乙Aj 4i=41=n- m3a(2k 1)二n - m(2k +1)180° 0°,18

15、0°,300sk =0,1,2由圖4-39 (1)可見，三條根軌跡分支，有兩條位于環(huán)極點(diǎn)中有兩個(gè)位于 s右半平面，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。s右半平面。當(dāng) K從08時(shí)，三個(gè)閉2.增加負(fù)實(shí)零點(diǎn)(0 < a < 1) oK(s a)G(s)二仔(-a)時(shí)，s (s+1)由圖4-39 (2)可見，根軌跡漸近線a.J2k 1)二=.9。由三條變?yōu)槎l。根軌跡向左半s平面變化，閉環(huán)極點(diǎn)全部處于左半s平面，K從08時(shí)，控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。4-12設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s 1)s(s 2)(s 3)1 .繪制系統(tǒng)的根軌跡圖(不要求求出分離點(diǎn))；2 .已知系統(tǒng)的一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為

16、 -0.9,試求出其余的閉環(huán)極點(diǎn)；3 .該系統(tǒng)是否可以用低階系統(tǒng)來近似？若能，則求出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)；若否，則給出理 由。解：1.繪制系統(tǒng)的根軌跡(Kr =0T 8),步驟如下：(1)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn) 0, -2, -3;終止于開環(huán)零點(diǎn)-1和兩個(gè)無限零點(diǎn)8。(2)根軌跡的分支數(shù)n = 3條。(3)實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為 -3,-2 , -1,0。(4)根軌跡的漸近線，有 n-m = 2條，與實(shí)軸的交點(diǎn) ba、交角8a為：nm-2-3 1 八二-2二 pj - % zi_ j工i 1n - m2a(2k 1)二n - m(2k 1)180 二(5)根軌跡的分離點(diǎn)位于4-40所示。卜3,-2區(qū)段

17、內(nèi)。繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖圖 4-404 .已知 P1 =0 , p2 = -2,p3=-3, z = T ； 5 =-0.9 ,設(shè)其余二個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為s2,s3。用幅值條件可以求得Kr =S1 一 dlds - p211s - p30.9 1.1 2.10.1=20.79將其代入系統(tǒng)特征方程 1+G(s)=0,即s(s 2)(s 3) 20.79(s 1)-0(s 0.9)(s2 4.1s 23.1) =0解得s2,3 = 2.05 ±j 4.355 .由Si = -0.9和z = -1構(gòu)成一對(duì)閉環(huán)偶極子，故系統(tǒng)可以降階為二階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為y(s)20.79(s 1)23.1=總 2u(s) (s O9)(s 2.05 j4.35)(s 2.05-j 4.35) s 4.1s 23.14-13單位負(fù)反饋系統(tǒng)