最新201X版 章末綜合測評1　導數(shù)及其應用

1、章末綜合測評(一)導數(shù)及其應用(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且x0(a，b)，則的值為()Af(x0)B2f(x0)C2f(x0)D0【解析】 2 2f(x0)，故選B.【答案】B2設曲線yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60平行，則a()A1B. CD1【解析】y2ax，于是切線斜率ky|x12a，由題意知2a2，a1.【答案】A3下列各式正確的是()A(sin a)cos a(a為常數(shù))B(cos x)sin xC(sin x)cos x

2、D(x5)x6【解析】由導數(shù)公式知選項A中(sin a)0；選項B中(cos x)sin x；選項D中(x5)5x6.【答案】C4函數(shù)f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)【解析】f(x)(x2)ex，由f(x)>0，得x>2，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，)【答案】D5若函數(shù)f(x)x3f(1)·x2x，則f(1)的值為()A0 B2 C1D1【解析】f(x)x22f(1)·x1，則f(1)122f(1)·11，解得f(1)0.【答案】A6如圖1所示，圖中曲線方程為yx21，用定積分表示圍成封閉圖

3、形(陰影部分)的面積是()圖1A.B.(x21)dxC.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx【解析】S(x21)dx(x21)dx|x21|dx.【答案】C7函數(shù)f(x)x33x23xa的極值點的個數(shù)是()A2B1C0D由a確定【解析】f(x)3x26x33(x22x1)3(x1)20，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值故選C.【答案】C8若函數(shù)f(x)x33x29xa在區(qū)間2，1上的最大值為2，則它在該區(qū)間上的最小值為()A5B7C10D19【解析】f(x)3x26x93(x1)(x3)，所以函數(shù)在2，1內(nèi)單調(diào)遞減，所以最大值為f(2)2a2.a0，最小值f(1)a55.【答案】A

4、9已知yf(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(1)1，f(x)>1，則f(x)>x的解集是()A(0,1)B(1,0)(0,1)C(1，)D(，1)(1，)【解析】不等式f(x)>x可化為f(x)x>0，設g(x)f(x)x，則g(x)f(x)1，由題意g(x)f(x)1>0，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(1)f(1)10，原不等式g(x)>0g(x)>g(1)x>1，故選C.【答案】C10已知函數(shù)f(x)x22xalnx，若函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa0Ba<4Ca0或a4Da>0或a<4【解析

5、】f(x)2x2，x(0,1)，f(x)在(0,1)上單調(diào)，f(x)0或f(x)0在(0,1)上恒成立，2x20或2x20在(0,1)上恒成立，即a2x22x或a2x22x在(0,1)上恒成立設g(x)2x22x2，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(x)maxg(0)0，g(x)ming(1)4.ag(x)max0或ag(x)min4.【答案】C11曲線yln(2x1)上的點到直線2xy30的最短距離為()A.B2C3D2【解析】設曲線上的點A(x0，ln(2x01)到直線2xy30的距離最短，則曲線上過點A的切線與直線2xy30平行因為y·(2x1)，所以y|2，解得x01.所

6、以點A的坐標為(1,0)所以點A到直線2xy30的距離為d.【答案】A12已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc的導數(shù)為f(x)，f(0)>0，且對于任意實數(shù)x，有f(x)0，則的最小值為() 【導學號：62952063】A3 B.C2 D.【解析】由題意，得f(x)2axb.由對任意實數(shù)x，有f(x)0，知圖象開口向上，所以a>0，且b24ac0，所以ac.因為f(0)>0，所以b>0，且在x0處函數(shù)遞增由此知f(0)c>0.所以2.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)13 (3xsin x)dx_.【解析】 (3xsi

7、n x)dx(0cos 0)1.【答案】114若曲線yex上點P處的切線平行于直線2xy10，則點P的坐標是_【解析】設P(x0，y0)，yex，yex，點P處的切線斜率為kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，點P的坐標為(ln 2,2)【答案】(ln 2,2)15直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖象有三個相異的公共點，則a的取值范圍是_. 【導學號：62952064】【解析】令f(x)3x230，得x±1，可求得f(x)的極大值為f(1)2，極小值為f(1)2，如圖所示，2<a<2時，恰有三個不同公共點【答案】(2,2)16周長為20 cm的矩形，繞

8、一條邊旋轉成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為_cm3.【解析】設矩形的長為x，則寬為10x(0<x<10)，由題意可知所求圓柱的體積Vx2(10x)10x2x3，V(x)20x3x2.由V(x)0，得x0(舍去)，x，且當x時，V(x)>0，當x時，V(x)<0，當x時，V(x)取得最大值為 cm3.【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)已知曲線yx3x2在點P0處的切線l1平行于直線4xy10，且點P0在第三象限，(1)求P0的坐標；(2)若直線ll1，且l也過切點P0，求直線l的方程【解】(1)由y

9、x3x2，得y3x21，由已知得3x214，解得x±1.當x1時，y0；當x1時，y4.又因為點P0在第三象限，所以切點P0的坐標為(1，4)(2)因為直線ll1，l1的斜率為4，所以直線l的斜率為，因為l過切點P0，點P0的坐標為(1，4)，所以直線l的方程為y4(x1)，即x4y170.18(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)aln(x1)x2ax1(a>0)(1)求函數(shù)yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)當a>1時，求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值【解】(1)f(0)1，f(x)xa，f(0)0，所以函數(shù)yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y1.(

10、2)函數(shù)的定義域為(1，)，令f(x)0，即0.解得x0或xa1.當a>1時，f(x)，f(x)隨x變化的變化情況為x(1,0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增可知f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0，a1)，單調(diào)增區(qū)間是(1,0)和(a1，)，極大值為f(0)1，極小值為f(a1)aln aa2.19(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x2mln x，h(x)x2xa，(1)當a0時，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當m2時，若函數(shù)k(x)f(x)h(x)在區(qū)間1,3上恰有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍【解】(1

11、)由f(x)h(x)在(1，)上恒成立，得m在(1，)上恒成立，令g(x)，則g(x)，故g(e)0，當x(1，e)時，g(x)<0；x(e，)時，g(x)>0.故g(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，故當xe時，g(x)的最小值為g(e)e.所以me.(2)由已知可知k(x)x2ln xa，函數(shù)k(x)在1,3上恰有兩個不同零點，相當于函數(shù)(x)x2ln x與直線ya有兩個不同的交點，(x)1，故(2)0，所以當x1,2)時，(x)<0，所以(x)單調(diào)遞減，當x(2,3時，(x)>0，所以(x)單調(diào)遞增所以(1)1，(3)32ln 3，(2)22ln

12、2，且(1)>(3)>(2)>0，所以22ln 2<a32ln 3.所以實數(shù)a的取值范圍為(22ln 2,32ln 320(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V m3.假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大【解】(1)因為蓄水池側面的總成本為100·2rh200rh

13、(元)，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因為r>0，又由h>0可得r<5，故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5)(2)因為V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因為r25不在定義域內(nèi)，舍去)當r(0,5)時，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當r(5,5)時，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時h8.即當r

14、5，h8時，該蓄水池的體積最大21(本小題滿分12分)拋物線yax2bx在第一象限內(nèi)與直線xy4相切此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S.求使S達到最大值的a，b值，并求S的最大值【解】由題設可知拋物線為凸形，它與x軸交點的橫坐標分別為x10，x2，所以S (ax2bx)dxb3，又直線xy4與拋物線yax2bx相切，即它們有唯一的公共點，由方程組得ax2(b1)x40，其判別式0，即(b1)216a0.于是a(b1)2，代入式得：S(b)(b>0)，S(b)；令S(b)0，得b3，且當0<b<3時，S(b)>0；當b>3時，S(b)<0.故在b3時，S(b)取得極大值，也是最大值，即a1，b3時，S取得最大值，且Smax.22(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為x2y30.(1)求a，b的值；(2)求證：當x>0，