數(shù)值分析作業(yè)

1、值分析 作業(yè)一非線性方程的求解方法與分析學(xué)院:學(xué)號:姓名:摘要本文主要闡述了五種非線性方程的求解方法，分別為二分法、簡易牛頓法、牛頓迭代法、 牛頓下山法與弦截法。 并分別對五種求解方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了相應(yīng)地分析。 二分法運(yùn)用函數(shù)有根區(qū)間中點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值， 縮小根區(qū)間， 從而得到較快的收斂速度。 牛頓迭代法， 是一種常見的求解具有單重零點(diǎn)的非線性方程的數(shù)值方法， 具有局部二階收斂性。 簡易牛頓法便是簡化的牛頓迭代法， 將迭代點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值固定為初始值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值， 從而簡化計(jì)算次數(shù)。 牛頓下山法， 為避免初值選取不當(dāng)而使得迭代不收斂而在牛頓迭代法改進(jìn)的方法。 弦截法， 克服了牛頓迭代法需求零點(diǎn)處函數(shù)

2、導(dǎo)數(shù)的缺點(diǎn)， 使用兩次迭代點(diǎn)的差商替代了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。本文非線性方程的求解方法均運(yùn)用MATLAB編程及實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞： 非線性方程；二分法；牛頓迭代法；牛頓下山法；弦截法第一章非線性方程 1非線性方程簡介 1非線性方程求解方法簡介 1二分法 1牛頓迭代法 2牛頓下山法 4簡易牛頓法 4弦截法 5第二章計(jì)算機(jī)配置 7處理器 7存儲設(shè)備 7顯卡 8顯示屏 8操作系統(tǒng) 8第三章算法的MATLAB實(shí)現(xiàn)及結(jié)果分析9二分法 9牛頓迭代法 12簡易牛頓法 15牛頓下山法 18弦截法 21結(jié) 論 25第一章 非線性方程非線性方程簡介非線性方程，就是因變量與自變量之間的關(guān)系不是線性關(guān)系。在永恒變化發(fā)展的自然界與人

3、類社會中， 在研究其內(nèi)部規(guī)律的各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中，更深刻、更精確地描述其內(nèi)部規(guī)律的數(shù)學(xué)工具之一，就是非線性方程。非線性代數(shù)是研究大規(guī)模離散數(shù)據(jù)的運(yùn)算處理與內(nèi)在性狀的數(shù)學(xué)科學(xué)。 科學(xué)技術(shù)離不開數(shù)據(jù)處理與數(shù)據(jù)分析，因此非線性代數(shù)具有非常廣泛的應(yīng)用，在力學(xué)、化學(xué)、生命科學(xué)、控制理論等眾多科學(xué)領(lǐng)域中，非線性方程早已屢見不鮮。因此，非線性方程的求解就顯得愈加重要。 然而求解非線性方程有很多種方法， 每種方法都有自己的優(yōu)缺點(diǎn)。非線性方程求解方法簡介求函數(shù)零解作為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)已經(jīng)延續(xù)了幾百余年， 所以已經(jīng)建立了許多種方法， 擁有比較完備的求解體系。 本文中， 主要介紹非線性方程求解方法中最常用也是比較

4、簡單的幾種方法。在解決實(shí)際問題的中，大都會遇到非線性方程或非線性方程組的數(shù)學(xué)模型，這類方程的求解用一般的代數(shù)方法求解是不可能實(shí)現(xiàn)的。 所以， 在解決這類問題的時(shí)候，多是將求零解轉(zhuǎn)化為求近似解。二分法若f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，且f(a)f(b) 0,則f (x)在(a,b)內(nèi)必有一個(gè)零點(diǎn)。因?yàn)閒(a)f(b) 0,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上改變符號，因此它在這個(gè)區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。 二分法就是利用這一中值定理來求解非線性方程零解。二分法求解 的具體方法 ： 若 f(a)f(b) 0 ， 則 計(jì)算區(qū) 間 a,b 中點(diǎn)c (a b)/2,并且檢驗(yàn)f(a)f(c) 0是否為真。若為真

5、，則f (x)在a,c內(nèi)有零點(diǎn)。因而把中點(diǎn)c設(shè)為b作為區(qū)間新的右極點(diǎn)。若檢驗(yàn)f(a)f(c) 0為假，則f(x)在區(qū)間c,b內(nèi)有零點(diǎn)，因而把中點(diǎn)c設(shè)為a作為區(qū)間新的左極點(diǎn)。這樣新的區(qū)間a,b的寬度就為原區(qū)間寬度的二分之一。并在此區(qū)間中重復(fù)上述操作。當(dāng)然,若f(a)f(c) 0,則f(c) 0從而求出一個(gè)零點(diǎn)。然而由于舍入誤差 的存在，在計(jì)算機(jī)計(jì)算的過程中，f(c)精確為0是完全不可能存在的。因此， 主臥室算法循環(huán)的停止判斷準(zhǔn)則不應(yīng)該是f(c) 0是否成立，而必須提供一個(gè)合理的允許誤差。當(dāng)計(jì)算結(jié)果f(c)的值在誤差范圍內(nèi)，便可停止運(yùn)算。牛頓迭代法牛頓法迭代法是一種能在許多不同情況下應(yīng)用的通用過程

6、。特別地，當(dāng)用牛頓法來求實(shí)值變量函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，常常被稱為牛頓 -拉弗森迭代。通常，牛頓迭代 法比二分法與弦截法獲取答案的速度要快， 這是因?yàn)樗氖諗渴嵌蔚亩皇蔷€ 性或者超線性的。一旦二次收斂變得有效時(shí)，即牛頓法序列的值充分地接近根時(shí)， 其收斂是如此之快以致于僅僅再需要幾個(gè)數(shù)值即可。但是，牛頓迭代法并無法保 證總是收斂的。所以牛頓法經(jīng)常與其他較慢的方法結(jié)合形成一種數(shù)值上整體收斂 的混合方法。若存在一個(gè)函數(shù)f(x),其零點(diǎn)由數(shù)值方法計(jì)算得出。設(shè) r是f(x)的零點(diǎn)，而x是r的一個(gè)近似，若f(x)的n階導(dǎo)數(shù)存在并且連續(xù)，則由泰勒定理將函數(shù)在零點(diǎn)處進(jìn)行展開可得：20 f (r) f (x h) f

7、(x) hf (x) (h )其中h r x。若h較小(即x在r附近)，則可以略去(h2)項(xiàng)，并且在余下的方程中求h。由此可得到結(jié)果是h f(x)/f(x)。若x使r的一個(gè)近似，則 x f(x)/ f (x)應(yīng)該是r的一個(gè)更好的近似。牛頓迭代法從r的一個(gè)估計(jì)x0開始,則歸納出迭代的格式為xn 1xn1(x1 (n 0) f函)下面敘述一下牛頓迭代法的幾何意義。r是f(x) 0的根，選取x0作為r的初始近似值，經(jīng)過f (x)上的點(diǎn)(x°, f (x。)做y f(x)的切線方程L: y f(x。) f (x)(x x。)，求出L與橫軸焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1 x。 f(x0)/f (x。)，則稱

8、xi為r的一次近似值。將不作為下一次迭代的初值，重復(fù)上述過程可得到r的二次近似值x2 xi f(xi)/f(xi)。如此循環(huán)，可以獲取 r的近似值序列。下述三個(gè)定理分別討論了牛頓法的收斂性質(zhì)：定理1:對于方程f(x) 0 ,設(shè)f(x)在a,b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足下述條件：(1) f(a)f(b) 0；(2) f (x) 0, f (x) 0,對任意的 x a,b；(3)選取 x0 a,b,滿足 f (x0)f (x°) 0則牛頓法產(chǎn)生的序列xK收斂于f (x) 0在a, b內(nèi)的唯一根x o定理2:對于方程f(x) 0,設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)可導(dǎo)。若f(x) Ca,b,一* 一_

9、* 一， * 一一、 *f (x) 0的根x a,b,且f(x) 0,則存在x的一個(gè)鄰域R x| x x ,*、使任意初值x° R,牛頓迭代收斂于x*,且滿足km xk1 x2 f (x*) 。(xk x)22f (x)、 .一 、*.、-、. . - . 定理3:設(shè)x是萬程f(x) 0的根，在x的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)f (x)連續(xù)且f(x) 0,則存在 0,當(dāng)X0 x ,x 時(shí)，由牛頓迭代法產(chǎn)生的近似值序列xn是以不低于二階的收斂速度收斂到 x*o牛頓下山法牛頓下山法是牛頓迭代法的一種變形。它是為了減弱牛頓迭代法對初始近似%的限制而提出的一種算法。牛頓迭代法的收斂速度快，但初值不容易確定，

10、往 往由于初值選取不得當(dāng)而使迭代不收斂。 但是，若能彳證|f (xk) |f (xk 1)| (下山 條件)，則有可能保證收斂。把新求得的近似值看做初始值，會比最先取得的初 始值x。，更有可能落入局部收斂的鄰域內(nèi)。卜面簡單敘述牛頓下山法的算法。設(shè)下山因子為，則xk 1xkxk 1xk 1f(xk) f (xk)(1)xk是以xk與xk 1的加權(quán)平均作為新的近似解的。先取1,若已經(jīng)滿足f(xk)f(xk 1),實(shí)質(zhì)上是原來的牛頓迭代法。若不滿足下山條件，取下山因子,帶入并判斷是否滿足下山條件。若滿足，則可以把xk1作為第k 1次近2似值。若仍不滿足條件，則將 的值再進(jìn)行對分，知道找到滿足下山條件

11、的初始值為止。最后，再將得到的x。 xk1帶入到牛頓迭代法的公式xn 1 xn上)中,f (x)最終求得方程的零解。簡易牛頓法簡易牛頓法，又稱平行弦法，就是將牛頓迭代法進(jìn)行簡化而得到的簡易求解 非線性方程零解的方法。使用牛頓迭代法求解非線性方程根時(shí)， 每一步的迭代都 需要計(jì)算一次上次迭代點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值。 為了避免在計(jì)算導(dǎo)數(shù)值的復(fù)雜性，選擇使用初始值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值代替迭代的導(dǎo)數(shù)值，則f (Xk) f(X0),于是牛頓迭代公式轉(zhuǎn)化為Xn 1xnf(Xn)TTXOJ很大程度上減少了計(jì)算機(jī)的計(jì)算量0弦截法弦截法是在牛頓迭代法的基礎(chǔ)上得出的求解非線性方程f(x) 0的一種十分重要的插值方法。用牛頓迭代法求解

12、非線性方程的根時(shí)，每一步迭代都要計(jì)算 一次導(dǎo)數(shù)值。當(dāng)函數(shù)f(x)較為復(fù)雜時(shí)，計(jì)算導(dǎo)數(shù)往往較為困難，并且，在計(jì)算機(jī)上，計(jì)算一次導(dǎo)數(shù)的近似值比計(jì)算函數(shù)的近似值要麻煩的多。因此，為了避免求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，選擇使用差商近似代替微商：f (Xk)f(Xk) f(Xki)XkXk 1Xk 1)于是，牛頓迭代公式轉(zhuǎn)化為:Xk 1Xk卜面研究弦截法的幾何意義:經(jīng)過點(diǎn)(Xk，f (Xk)及點(diǎn)(Xk 1, f (Xk 1)亮點(diǎn)做函數(shù)的割線，其點(diǎn)斜式方程為:f (Xk) f (Xk 1) z 甘貝占為 vf(Xk)/yf(Xk) (xXk),具令點(diǎn)為XXk (XkXk 1)0Xk Xk 1f (Xk) f (Xk 1

13、)把X用Xk1表示即得到迭代格式。它又成為割線法，需要兩個(gè)初始值，割線與 X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是新的近似值Xk 1。如圖所示：下面兩個(gè)定理為弦割法收斂定理：止理1:設(shè)f (x)在其布點(diǎn)x的鄰域U (x , ) x , x (0)內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(x*) 0,則當(dāng) U(x*,)時(shí)，由弦截法迭代公式產(chǎn)生的序列xn>»»» . * .收斂于x ,且收斂的階為。定理2:設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上二階連續(xù)可導(dǎo)，且滿足下述三點(diǎn)：(1) f(a)f(b) 0；(2)對任意的 x a,b , f (x) 0 , f (x) 0；(3) |現(xiàn) b a,媽 b a|f(a

14、)|f(b)則對于任意初始小、xi a,b,由弦截法產(chǎn)生的迭代序列xn收斂于f (x) 0的唯一的根x第二章 計(jì)算機(jī)配置所用的計(jì)算機(jī)型號為 acer （宏» Aspire V5-471G 33214G50Mabb下面對本 款筆記本電腦的配置進(jìn)行簡單介紹。處理器CPU系列：英特爾 酷睿i3 3代系列CPU型號：Intel 酷睿 i3 3217UCPU主頻：總線規(guī)格：DMI 5 GT/s三級緩存：3MB核心類型：Ivy Bridge核心 / 線程數(shù)：雙核心/ 四線程制程工藝：22nm指令集：AVX， 64bit功耗： 17W存儲設(shè)備內(nèi)存容量：4GB內(nèi)存類型：DDR3插槽數(shù)量：2xSO-D

15、IMM最大內(nèi)存容量： 32GB硬盤容量：500GB硬盤描述：5400轉(zhuǎn)光驅(qū)類型：DVD刻錄機(jī)設(shè)計(jì)類型：光驅(qū)內(nèi)置光驅(qū)描述：支持DVD SuperMulti雙層刻錄顯卡顯卡類型：入門級獨(dú)立顯卡顯卡芯片：NVIDIA GeForce GT 620M顯存容量：1GB顯存類型：DDR3顯存位寬：128bit流處理器數(shù)量： 96DirectX： 11顯示屏屏幕尺寸：14 英寸屏幕比例：16:9屏幕分辨率： 1366x768背光技術(shù)：LED背光操作系統(tǒng)操作系統(tǒng)：Windows 7 旗艦版系統(tǒng)類型：32 位操作系統(tǒng)第三章算法的MATLAB實(shí)現(xiàn)及結(jié)果分析本章主要闡述了利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB編寫第一章所敘述的五

16、種求解非線性方程的方法，并求解f(x) x 310gx 4的零解。二分法根據(jù)第一章對二分法的敘述，可以得到二分法的算法流程圖如下所示：開始r同73©)/©結(jié)束matlab 程序代碼：function k,c,err,yc=erfen(f,a,b,emg1,emg2)%二分法求解非線性方程%f為所需求解的函數(shù)%矯口 b分別為所求解的區(qū)間左右極限值%emg1,emg2為所允許的誤差界限%劭求解的循環(huán)次數(shù)%防所求解的近似值%err為近似解c的誤差估計(jì)%yc為函數(shù)f在c的函數(shù)值if nargin<4emg1=1e-5;%輸入的參數(shù)個(gè)數(shù)少于 4個(gè)，則誤差界限emgl、emg2默

17、認(rèn)為1e-5emg2=1e-5;endya=feval(f,a);%函數(shù)f在區(qū)間端點(diǎn)a取得的右極限值yb=feval(f,b);%函數(shù)f在區(qū)間端點(diǎn)b取得的左極限值if ya*yb>0disp('(a,b)區(qū)間無法使用二分法進(jìn)行求解，請更換 a、b的值')；return ;end%若兩極限值符號相同，無法用二分法進(jìn)行求解if ya=0c=a;returnendif yb=0c=b;return ;end%函數(shù)f在右端點(diǎn)b取得零解k=0;c=(a+b)/2;%取 a、 b 區(qū)間中值yc=feval(f,c);while abs(b-a)>emg1&&ab

18、s(yc)>emg2 %未達(dá)到精度要求則持續(xù)循環(huán)求近似解c=(a+b)/2;%取 a、 b 區(qū)間中值yc=feval(f,c);if yc=0a=c;b=c;return ;%函數(shù)在區(qū)間中值處取得零解elseif ya*yc<0%判斷出零解在區(qū)間(a,c)間b=c;yb=yc;else悔U斷出零解在區(qū)間(c,b)間a=c;ya=yc;endyc=feval(f,c);k=k+1;endc=(a+b)/2;err=abs(b-a);在 matlab 的 command window 內(nèi)執(zhí)行以下命令：-f=inline('x-4+3*log(x)');-k,c,err,

19、yc=erfen(f,1,3)運(yùn)行后，得到的計(jì)算結(jié)果為：k =18c =err =yc =由此得到， 經(jīng)過18次的區(qū)間二分，求解到符合誤差要求的方程零解， 方程的零解為。調(diào)用二分法的函數(shù)時(shí)，因輸入量少于4位，所以，誤差界限默認(rèn)為10 5。牛頓迭代法根據(jù)第一章對牛頓迭代法的敘述， 可以得到牛頓迭代法的算法流程圖如下所 示：警告已至最大迭代次數(shù)結(jié)束牛頓迭代法的matlab代碼:function x,k,err,y=Newton(f,df,x0,emg1,emg2)%用途：使用牛頓迭代法解非線性方程f=0%f為所需求解的函數(shù)%df為所需求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)%x0為迭代運(yùn)算設(shè)置的初值%emg1、emg2表

20、示誤差界限%蔗示所求方程的近似解%裱示迭代的次數(shù)%err表示x的誤差估計(jì)%肪函數(shù)f在x的函數(shù)值if nargin<2emg1=1e-5;emg2=1e-5;endN=100;%N為允許的最大迭代次數(shù)x=x0;y=feval(f,x0);%函數(shù)在初值x0處取得的函數(shù)值x0=x+2*emg1;k=0;while abs(x0-x)>emg1&&k<N&&abs(y)>emg2x0=x;x=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);k=k+1;y=feval(f,x);endif k=N warning(' 已達(dá)到最大迭代

21、次數(shù) '); enderr=abs(x0-x);在 matlab 的 command window 內(nèi)執(zhí)行以下命令：-f=inline('x-4+3*log(x)');-df=inline( 3/x + 1 );-x,k,err,y=Newton(f,df,1)運(yùn)行后，得到的計(jì)算結(jié)果：4err =y =由此得到，經(jīng)過4次的牛頓法迭代計(jì)算，即可得到符合誤差界限要求的方程零解，且解為。簡易牛頓法根據(jù)第一章對簡易牛頓法的敘述， 可以得到簡易牛頓法的算法流程圖如下所示：開始簡易牛頓法的matlba程序代碼：function x,k,err,y=Easynewton(f,df,x

22、0,emg1,emg2)%用途：使用簡易的牛頓迭代法解非線性方程的零解%f為所需求解的函數(shù)%df為所需求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)%x0為迭代運(yùn)算設(shè)置的初值%emg1、emg2表示誤差界限%蔗示所求方程的近似解%裱示迭代的次數(shù)%err表示x的誤差估計(jì)if nargin<2emg1=1e-5;emg2=1e-5;endN=100;%N為允許的最大迭代次數(shù)x=x0;a=x0;y=feval(f,x0);%函數(shù)在初值x0處取得的函數(shù)值x0=x+2*emg1;k=0;while abs(x0-x)>emg1&&k<N&&abs(y)>emg2x0=x;x=x

23、0-feval(f,x0)/feval(df,a);k=k+1;y=feval(f,x);endif k=N warning(' 已達(dá)到最大迭代次數(shù) '); enderr=abs(x0-x);在 matlab 的 command window 內(nèi)執(zhí)行以下命令：-f=inline('x-4+3*log(x)');-df=inline('3/x + 1');-x,k,err,y=Easynewton(f,df,1)運(yùn)行后，得到計(jì)算結(jié)果：k =12err =y =由計(jì)算結(jié)果，可以得到從選定的初始值1 開始，使用簡易牛頓法迭代12次，能夠得到符合誤差界限

24、要求的牛頓下山法根據(jù)第一章對牛頓下山法的敘述， 可以得到牛頓下山法的算法流程圖如下所 示：開始牛頓下山法的matlba程序代碼：主函數(shù)代碼function x1,k,n,err=Mendnewton(x0,emg1,emg2)%用途：使用牛頓下山法求解非線性方程的零解%x昧示輸入的初始值 %emg1、emg2表示誤差界限%x1表示所求方程的近似解%裱示迭代的次數(shù)%n示初始值下山的次數(shù)%err表示x1的誤差估計(jì)if nargin<2emg1=1e-5;emg2=1e-5;endk=0;n=0；u=1;%u表示下山因子f0,d0=fun0(x0);x1=x0-f0/d0;f1,d1=fun0

25、(x1);while abs(x1-x0)>emg1 && abs(f1)>emg2while abs(f1)>=abs(f0)%判斷是否滿足下山條件u=u/2;n=n+1；x1=x0-u*(f0/d0);f1,d1=fun0(x1);endk=k+1;%將滿足下山條件的值定為迭代的初始值x0=x1;f1,d1=fun0(x0);%進(jìn)行牛頓迭代法求解非線性方程x1=x0-f1/d1;end err=abs(x1-x0);函數(shù)fun0()代碼:function f,df=fun0(x)f=x-4+3*log(x);%£表示需要求解的原函數(shù)df=3x +

26、 1;%df表示需要求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在 matlab 的 command window 內(nèi)執(zhí)行以下命令：-x1,k,err=Mendnewton(1)運(yùn)行后，得到計(jì)算結(jié)果：x1 =k =3n =0err =由計(jì)算結(jié)果， 可以得到從選定的初始值1開始， 使用牛頓下山法迭代3次，初始值下山次數(shù)0次，就能夠得到符合誤差界限要求的零解。弦截法根據(jù)第一章對弦截法的敘述，可以得到弦截法的算法流程圖如下所示：開始/（工）=a310gg4K= H.一以(/一天- X)弦截法的matlba程序代碼：function x,err,y,k=xianjie(f,a,b,emg1,emg2)%用途：使用弦截法求解非線性方程的零解%俵示需要求解的函數(shù)%a、b均為初始的迭代值%emg1、emg2表示允許的誤差界限%勸求得的近似解%err為x的誤差估計(jì)%四弦截法迭代的次數(shù)x1=a;結(jié)束x2=b;k=0;if nargin<4emg1=1e-5;emg2=1e-5;endwhile k<=100y1=feval(f,x1);y2=feval(f,x2);x=x2-y2/(y2-y1)*(x2-x1);y=feval(f,x);if abs(x-x2)>emg1&&abs(y)>emg2x1=