數(shù)值研究Ch解非線性方程數(shù)值方法

1、解非線性方程的數(shù)值方法S.二分法若設(shè) I X |,且 I - 1,則 I X | 在叵內(nèi)至少有一根令日為叵的中點(diǎn)，若 I,則叵內(nèi)有根，否則叵內(nèi)有根。類似地進(jìn)行臼步之后，設(shè)有根區(qū)間為 臼，則 X I ,可取 I X | 為 三I的近似根，顯然g迭代法1.迭代格式對非線性方程 日，給定一個(gè)初值日，按照某種方法產(chǎn)生一個(gè)序列I ,使得匚三| ，且日。例1求方程在附近的根。解將方程改寫為 日 ，據(jù)此建立迭代公式7 / 6迭代結(jié)果見下表:kblkq01.551.3247611.3572161.3247321.3308671.3247231.3208881.3247241.32494舊1.32472將方程改

2、寫為日，得迭代公式Hk0123J1.52.37512.39651904.01迭代序列發(fā)散2.收斂性與誤差估計(jì)定理1若（1對任意日，使對任意 一 一1 對任意日，迭代序列 估計(jì)式日 ，有 NJ（壓縮映射;（2存在正數(shù),有兇（Lipschitz條件，則收斂于生1的唯一根回，且有誤差證令 ，則由 W，得 X ,且若 =,則國即為日的根，否則由零點(diǎn)定理,后I在包內(nèi)至少有一根，故在叵上至少有一根。存在性）若生1有兩個(gè)根國，即一一 I ,從而有矛盾，故 匚三I 。 唯一性）由于 g ,匚三I ,故 即 丘三。 收斂性）令日，則有3 .局部收斂性與局部收斂定理定義1若存在目的某個(gè)鄰域 =1,使迭代公式 三3

3、 對任意國 均收斂，則稱此迭代在 因附近具有局部收斂性。定理2若叵在土附近連續(xù)，且 二| ,則迭代公式 121 在引 附近具有局部收斂性。證因?yàn)?叵在可附近連續(xù)，且 三 ,由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，在 因附近上引 回成立,從而I一一I。根據(jù)定理1,迭代在當(dāng)附近具有局部收斂性。4 .收斂速度與收斂階定義2設(shè)迭代公式 三 收斂于 日 的根回，如迭代誤差臼叵）滿足x |,則稱日為p階收斂。定理3對迭代公式三J，若Q 在回附近連續(xù)，且I X I I X I ,三J,則迭代在目附近是p階收斂的。證因?yàn)?口 ，由定理2,迭代局部收斂。將巴在回處Taylor展開，則得 ri ,從而迭代在回附近p階收斂由定理3,5 .

4、迭代公式的加工,故對充分大的國，解出由此可將兇轉(zhuǎn)化成一個(gè)新序列,此類處理方法稱為Aitken加速方法。代入即得一個(gè)新的迭代:習(xí)慣上寫成下列形式:砧.牛頓法切線法）1.迭代格式設(shè)目為日根目的近似值，由Taylor公式回新的近似值，即,稱之為牛頓公式。2.牛頓法的幾何意義如圖，作曲線 日在目處的切線，I 目。令 |,即3為此切線在國軸上的截距。3.牛頓法的收斂性設(shè)目為日的單根，即目的某鄰域內(nèi)兇，從而囚H 。由定理2,牛頓法對回附近的初值收斂，即局部收斂。再由定理 3知，牛頓法為 二階收斂的。例2用牛頓法求的一個(gè)根。解I,取初始值為 三！，迭代結(jié)果見程序。例3應(yīng)用牛頓法于方程 日，導(dǎo)出求立方根回的迭代公式，并討論 其收斂性。證明所以,即0有下界例4對于囚的牛頓公式收斂到Lx I例5應(yīng)用牛頓法于方程