動(dòng)平衡計(jì)算中影響系數(shù)的通解算法及其應(yīng)用概要

1、動(dòng)平衡計(jì)算中影響系數(shù)的通解算法及其應(yīng)用動(dòng)平衡的質(zhì)量，在動(dòng)平衡計(jì)算方法上已作了大量的工作。自1964年Goodman將最小二乘法引入柔性轉(zhuǎn)子的動(dòng)平衡計(jì)算中后， 影響系數(shù)算法一直是動(dòng)平衡試驗(yàn)中最常用的方法。雖然這種方法有其固有的缺陷，但考慮的平衡面數(shù)、平衡轉(zhuǎn)速數(shù)、 “測(cè)點(diǎn)”數(shù)較多時(shí)具有一定的誤差補(bǔ)償能力。按傳統(tǒng)的影響系數(shù)算法， 為求出各面的影響系數(shù)， 需在每個(gè)加重面上分別單獨(dú)加重， 從而求 得各面的單面影響系數(shù)。 但是在現(xiàn)場(chǎng)的動(dòng)平衡試驗(yàn)中，常常是多平面同時(shí)加重， 需要解決一些特殊條件下的影響系數(shù)的計(jì)算及提煉問題，即采用非常規(guī)的影響系數(shù)計(jì)算方法。這些情形包括：（1）在熟知性能的機(jī)組上嘗試一次加重或多

2、面同時(shí)加重，當(dāng)嘗試的次數(shù)達(dá)到一定時(shí)，各加 重平面的影響系數(shù)的分離計(jì)算。（2）在多面同時(shí)加重時(shí)，若某些面的影響系數(shù)已知，加重次數(shù)足夠時(shí)，未知面的影響系數(shù) 的分離計(jì)算。（ 3）包括試加重在內(nèi)的加重次數(shù)超過了確定影響系數(shù)所必需的次數(shù)時(shí)，如何充分利用冗余 的加重信息計(jì)算各面的影響系數(shù)。對(duì)于以上的較為特殊的影響系數(shù)的計(jì)算問題， 影響系數(shù)的分離計(jì)算在面數(shù)多于 2 個(gè)時(shí)， 手工 計(jì)算十分困難。 而加重次數(shù)冗余時(shí)影響系數(shù)的計(jì)算遵循何種準(zhǔn)則，如何計(jì)算又是一個(gè)值得探討的問題。 本文推導(dǎo)了涵蓋以上 3 個(gè)方面特殊情形影響系數(shù)求解通式，它也適合于一般意義下的影響系數(shù)的求解。1 影響系數(shù)求解通式的推導(dǎo)設(shè)在某次動(dòng)平衡試驗(yàn)

3、中，有m個(gè)加重平面，n個(gè)“測(cè)點(diǎn)”，同一測(cè)點(diǎn)不同轉(zhuǎn)速情況亦視為一新的“測(cè)點(diǎn)” 。對(duì)于多面同時(shí)試重的情形，須足夠次的試（加）重后才能計(jì)算影響系數(shù)。一般對(duì) 于具有m個(gè)平面、n個(gè)“測(cè)點(diǎn)”的平衡計(jì)算問題，至少需m次的試重確定各面的影響系數(shù)值，并且每次試重并不要求只在一個(gè)面加重，允許每次在可加重的m 個(gè)平面上任意加重。為了使推導(dǎo)的公式適用于一般情形，假設(shè)在總共m個(gè)加重平面中，有 k （ k < m個(gè)加重面的影響系數(shù)未知。另在試驗(yàn)中共有h次（試）加重，且加重次數(shù)滿足h > k。在這種條件下，加重次數(shù)多于唯一確定未知影響系數(shù)所需的加重次數(shù)，即有冗余的加重信息， 此時(shí)可利用冗余的信息對(duì)影響系數(shù)進(jìn)行提

4、煉， 取代一般的矢量平均的辦法， 充分利用加重信息。 下面對(duì)這種條件下的影 響系數(shù)的求解方法進(jìn)行推導(dǎo)。1 1 矩陣構(gòu)造方法由于振動(dòng)值是建立在復(fù)數(shù)域上的矢量， 加重亦有大小和方向， 故在推導(dǎo)中， 所有的矩陣元素 均在復(fù)數(shù)域內(nèi)討論，在推導(dǎo)之前作如下的矩陣構(gòu)造：（1）原始振動(dòng)矢量及原始振動(dòng)矩陣V0j 為 j 次加重前 n 個(gè)“測(cè)點(diǎn)”的原始振動(dòng)所組成的振動(dòng)矢量：V 0j=（ Vij0, V2j0, , , Vnj0） T,其中 Vjj ° C, 1 < i < n, 1 < j < h,:V）： nxh為原始振動(dòng)矢量組成的原始振動(dòng)矩陣：V）： nx h=： V

5、6;i, V°2, , , V nx h，K j < h （ 1 ）其實(shí)原始振動(dòng)僅有一個(gè)， 即在首次加重前的振動(dòng)， 但從推導(dǎo)公式的角度出發(fā)， 考慮到在某次 加重后其所加的試重組由于某種原因有可能保留在軸系上,則后續(xù)的加重效應(yīng)的計(jì)算應(yīng)考慮到“原始振動(dòng)”已變化了。因此原始振動(dòng)矩陣V）： nx h的各列矢量滿足如下關(guān)系：1 2 一般意義下影響系數(shù)的求解公式在動(dòng)平衡工程實(shí)踐中, 為計(jì)算平衡校正重量, 將加重效應(yīng)與加重量認(rèn)為是線性的, 它們用影 響系數(shù)來聯(lián)系。 這是目前廣泛應(yīng)用的最小二乘法以及各種改進(jìn)算法的前提。據(jù)線性關(guān)系, 有如下矩陣關(guān)系式：Vo： n x h+ K： n xm P：

6、mx h=C V： n xh （ 6）在m個(gè)加重面中有k （ k < m個(gè)面的影響系數(shù)未知，為使（7）式可解將K：分塊，不妨將影響系數(shù)矩陣K： nxm中與未知面相對(duì)應(yīng)的未知列置于矩陣的左半部分，與已知面相對(duì)應(yīng)的已知 列置于矩陣的右半部分，即分解為A： nx k和B： nx（ m- k）兩部分。相應(yīng)地，加重矩陣P： m< h中的各行排列次序應(yīng)遵循與未知加重面對(duì)應(yīng)的元素在上半部分,與已知面對(duì)應(yīng)的元素在下半部 分，將P： mx h分解為C： kx h和D：（ m- k）x h兩部分。由于在一般的情況下 k豐h, Ckxh不為方陣，另外從所列的方程組可以看岀，當(dāng)加重次數(shù)多于未知的加重面數(shù)時(shí)

7、，方程組是一矛盾方程組，根據(jù)矩陣?yán)碚摚@種條件下可以求出其2-范數(shù)意義下的最佳近似解。 另外從物理意義上講， 在此種條件下能綜合多次的加重信息求影響系數(shù)，以便能使求岀的系數(shù)能真實(shí)地反映加重響應(yīng)。對(duì)于矩陣方程組（8 ）, Anx k為未知，C<x h不為方陣，故其一般意義下的逆矩陣不存在，但其廣義逆矩21 陣存在。一般情況下，加重次數(shù)h不小于未知面數(shù) k，且當(dāng)每次加重矢量間不相關(guān)時(shí)，矩陣qxh是一行滿秩矩陣，根據(jù)矩陣?yán)碚?，行滿秩矩陣右可逆。 行滿秩矩陣的右逆矩陣就是其廣義逆矩陣，用廣義逆矩陣求得的方程組的解為其最佳平方逼近意義下的解。當(dāng)用Qx h的廣義逆矩陣右乘（8）式兩邊時(shí)，可求岀未知的

8、影響系數(shù)矩陣人xk,至此，推導(dǎo)岀了求解影響系數(shù)的通式（ 10）。由（ 10）式的推導(dǎo)過程可以看出，它包括了影響系數(shù)求解的所有情況。影響系數(shù) 的最佳近似解即為影響系數(shù)的一種提煉方法，它可最大限度地利用加重后機(jī)組表現(xiàn)岀來的特性， 使影響系數(shù)最大限度地融入每次加重的信息?；谧罴哑椒奖平饬x下的影響系數(shù)通解公式，實(shí)際上是在加重次數(shù)較多時(shí)， 是對(duì)同一加重面多次加重效應(yīng)的綜合計(jì)算。在特殊的加重條件下，通式退化為傳統(tǒng)的單面影響系數(shù)求解公式。2 影響系數(shù)求解通式的工程應(yīng)用以上推導(dǎo)的影響系數(shù)通解公式在現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)平衡過程中有極大的應(yīng)用價(jià)值。以下的算例均來自現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)平衡工作中的實(shí)例， 旨在說明影響系數(shù)通解公式的用途。

9、下面的影響系數(shù)計(jì)算結(jié)果均用上述 思路編制的程序計(jì)算而得。21 部分加重面影響系數(shù)已知時(shí)影響系數(shù)的計(jì)算某廠1號(hào)機(jī)為國(guó)產(chǎn)引進(jìn)型 300 MW機(jī)組勵(lì)磁機(jī)/發(fā)電機(jī)三支撐軸系統(tǒng)。該型軸系工作轉(zhuǎn)速下 最靈敏的不平衡是發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子二階和勵(lì)磁機(jī)轉(zhuǎn)子中部（整流環(huán)）加單個(gè)重量。1 號(hào)機(jī)在經(jīng)常性的振動(dòng)處理過程中積累了較多整流環(huán)加重的影響系數(shù)，而且其重現(xiàn)性比較好。為此在1998 年的大修后，為處理57號(hào)軸振大的問題，基于整流環(huán)的加重效應(yīng)已知，在動(dòng)平衡時(shí)，在發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子 兩個(gè)端面（汽端和勵(lì)端）以及勵(lì)磁機(jī)轉(zhuǎn)子的整流環(huán)同時(shí)加重，共加重2 次。若按傳統(tǒng)的影響系數(shù)算法， 此時(shí)的影響系數(shù)是無法求岀的。 但若用手工計(jì)算， 用已知的整流

10、 環(huán)的影響系數(shù)剔除整流環(huán)加重對(duì)發(fā)電機(jī)5、6 號(hào)軸振動(dòng)的影響，再列方程求解，手工作復(fù)數(shù)域的矩陣運(yùn)算則相當(dāng)煩瑣。 對(duì)于這種情況， 用影響系數(shù)通解算法編制的程序可計(jì)算岀手工計(jì)算難以分 離的汽端、勵(lì)端端面加重的影響系數(shù)，現(xiàn)場(chǎng)計(jì)算實(shí)例見表1。2.2 加重次數(shù)冗余時(shí)影響系數(shù)的計(jì)算某廠 4 號(hào)送風(fēng)機(jī)前瓦振動(dòng)嚴(yán)重超標(biāo)，為處理其振動(dòng)平衡。 在動(dòng)平衡過程中相當(dāng)于僅有一個(gè)加重面， 包括調(diào)整加重次數(shù)多于加重面數(shù)。在動(dòng)平衡完成后， 可根據(jù)上述影響系數(shù)的求解通式提煉影響系數(shù)。由此算例可知： 用一次的加重信息求取的影響系數(shù)有一定的分散性， 用上面推導(dǎo)的影響系 數(shù)求解通式可計(jì)算出最佳平方逼近意義下的影響系數(shù)值， 它可綜合加重

11、信息進(jìn)行計(jì)算， 意義明確， 更能反映軸系的真實(shí)響應(yīng)。 由此可以看出， 本文的通解算法為動(dòng)平衡試驗(yàn)后影響系數(shù)的整理、 提 煉提供了一種有效的途徑，為日后同類、同型機(jī)組的動(dòng)平衡處理提供參考。3 結(jié)論本文運(yùn)用矩陣的方法， 推導(dǎo)出了影響系數(shù)的求解通式， 并進(jìn)行了舉例。 從影響系數(shù)求解通式 的推導(dǎo)及應(yīng)用舉例中可以得出如下結(jié)論：（ 1）本文推導(dǎo)的影響系數(shù)求解公式適用于影響系數(shù)求解的一般情況，將各種情況下的影響 系數(shù)計(jì)算用統(tǒng)一的公式求解， 特殊加重條件下該通式可退化為傳統(tǒng)的影響系數(shù)求解公式。 加重次 數(shù)不小于未知的加重面數(shù)是影響系數(shù)可解的前提條件。（ 2）影響系數(shù)的通解算法可廣泛適用于常規(guī)情況下單面逐次加重影響系數(shù)的求解。多面同 時(shí)