等腰三角形典型例題練習(xí)含答案

1、等腰三角形典型例題練習(xí)4.在4ABC中,AD是/ BAC的平分線,參考答案與試題解析E、F分別為 AB、AC上的點,且 Z EDF+ ZEAF=180 °,求證考點：DE=DF .全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義.分析:解答:過D作DM LAB ,于M , DN LAC于N,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出 DN=DM ,根據(jù)四邊形的 內(nèi)角和定理和平角定義求出 / AED= / CFD ,根據(jù)全等三角形的判定 AAS推出 EMD AFND 即可.證實：過D作DM ±AB,于M , DN LAC于N ,即 / EMD= / FND=90 °,/DME= / DNF=90

2、°, AD 平分 / BAC , DM ±AB , DN ±AC , DM=DN 角平分線性質(zhì) / EAF+ / EDF=180 °,/ MED+ / AFD=360 - 180 =180°, ZAFD+ Z NFD=180 °, . . / MED= / NFD ,在EMD和4FND中fZMED=ZDPNI ZDIE=ZDNF , EMDAFND , . DE=DF .DM=DN5.在ABC中,/ABC、ZACB的平分線相交于點 O,過點O作DE/BC,分別交 AB、AC于點D、E.請說明分析：根據(jù)OB和OC分別平分/ ABC和/

3、ACB ,和DE / BC ,利用兩直線平行,內(nèi)錯角相等和等量代換,求證出DB=DO , OE=EC .然后即可得出答案.解答：解：在4ABC中,OB和OC分別平分/ABC和/ ACB ,Z DBO= Z OBC, /ECO=/OCB,. DE/BC, . . / DOB= / OBC= / DBO , / EOC= / OCB= / ECO ,.DB=DO , OE=EC , DE=DO+OE , . . DE=BD+EC .6. ：如圖,D是ABC的BC邊上的中點,DE LAB, DFXAC ,垂足分別為 E, F,且DE=DF .請判斷ABC 是什么三角形？并說明理由.B D C等腰三角

4、形典型例題練習(xí)含答案考點：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：用HL證實EBD0FCD,從而得出/ EBD= / FCD ,即可證實 ABC是等腰三角形.解答：4ABC是等腰三角形.證實：連接 AD , DEXAB , DFXAC ,/ BED= / CFD=90 °,且 DE=DF ,. D是4ABC 的BC邊上的中點,.,.BD=DC ,RtA EBDRtAFCD HL, . / EBD= / FCD , .ABC 是等腰三角形.7.如圖, ABC是等邊三角形,BD是AC邊上的高,延長 BC至E,使CE=CD .連接DE.（1） /E等于多少度？ 2 4DBE是什么三

5、角形？為什么?考點：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定.分析：1由題意可推出/ ACB=60 °,/E=/CDE,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：/ ACB= / E+/ CDE ,即可推出/E的度數(shù)；2根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知,BD不但為AC邊上的高,也是/ABC的角平分線,即得：Z DBC=30 °,然后再結(jié)合1中求得的結(jié)論,即可推出 4DBE是等腰三角形.解答：解：1 .ABC是等邊三角形,Z ACB=60 °,SCE,/E=/CDE,；/ACB=/E+/CDE,.4堂6爐=30,（2） . 4ABC 是等邊三角形,BD XAC, . / ABC=60

6、76;, ZDBC=-ZABC=30" ,/E=30°,/DBC=/E,4DBE 是等腰三角形.8 .如圖,在 4ABC 中,Z ACB=90 °, CD 是 AB 邊上的高, /A=30°.求證：AB=4BD .考點：含30度角的直角三角形.分析：由4ABC中,Z ACB=90 °, / A=30 °可以推出AB=2BC ,同理可得BC=2BD ,那么結(jié)論即可證實.解答：解：. /ACB=90 °, /A=30°, .-.AB=2BC , /B=60°.又 CDAB, Z DCB=30 °,

7、. . BC=2BD . . . AB=2BC=4BD .9 .如圖,ABC中,AB=AC,點D、E分別在 AB、AC的延長線上,且 BD=CE , DE與BC相交于點F.求證: DF=EF .考點： 分析：解答:全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).過D點作DG / AE交BC于G點,由平行線的性質(zhì)得 / 1 = Z2, Z4=Z3,再根據(jù)等腰三角形的性 質(zhì)可得/B=/2,那么/B=/1,于是有DB=DG ,根據(jù)全等三角形的判定易得 DFGEFC,即可 得到結(jié)論.證實：過D點作DG / AE交BC于G點,如圖,1 = /2, /4=/3,. AB=AC , .1. ZB=Z2,/B=/1

8、, . . DB=DG ,而 BD=CE , . . DG=CE , 在 DFG和EFC中/DFG =/EFC,ADFGAEFC, . DF=EF .Idg=ce10.等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./ B的角平分線交 AC于D,過C作CE與BD垂直且交BD延長線 于E,考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：延長CE, BA交于一點F,由條件可證得 4BFE全BEC,所以FE=EC ,即CF=2CE ,再通過證實ADBFAC 可得 FC=BD ,所以 BD=2CE .解答：證實：如圖,分別延長 CE, BA交于一點F. BE XEC, Z FEB= ZCEB=90 °, BE

9、平分 / ABC , / FBE= / CBE , 又,.BE=BE, BFEABCE (ASA). . FE=CE . . CF=2CE .AB=AC , Z BAC=90 °, ZABD+ / ADB=90 °, / ADB= / EDC, . / ABD+ Z EDC=90 °.又. / DEC=90 °, Z EDC+ Z ECD=90 °, . . / FCA= / DBC= / ABD .ADBAAFC. FC=DB , . . BD=2EC .11 . (2021?牡丹江)如圖 ,4ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點,P

10、E± AB , PF± AC, CH ±AB ,垂足分 別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證實過程如下：如圖,連接AP.1 . PEXAB , PF± AC , CH LAB, /. Saabp=-iAB ?PE, Saacp=1aC ?PF, Saabc=1aB ?CH .2 2又Saabp +Sa acp=Saabc , .AB?PE+AC?PFAB?CH .222 AB=AC , .-.PE+PF=CH .(1)如圖,P為BC延長線上的點時,其它條件不變,PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜測,并加以證實：考點： 分析：(2)填空

11、：假設(shè)Z A=30 °, AABC的面積為49,點P在直線BC上,且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時,那么 AB邊上的高 CH= 7 .點P到AB邊的距離 PE= 4或10 .等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積.(1)連接AP .先根據(jù)二角形的面積公式分別表不'出Saabp , Saacp , Saabc ,再由Saabp =Saacp+Saabc即可得出PE=PF+PH;(2)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出 AC=2CH ,再由4ABC的面積為49,求出CH=7 ,由于CH>PF, 那么可分兩種情況進行討論： P為底邊BC上一點,運用結(jié)論 PE+PF=CH;P為BC延長

12、線上的 點時,運用結(jié)論 PE=PF+CH .解答:解：(1)如圖,PE=PF+CH .證實如下：,. PEXAB , PFXAC , CH ± AB , . . S/abp=AB?PE, Saacp=|aC?PF, Saabc =AB?CH , 占,Saabp=Saacp+Saabc, ,=AB ?PE=LaC?PFAB ?CH ,又AB=AC , PE=PF+CH ;22|2(2) .在 AACH 中,Z A=30 °,AC=2CH. Saabc=-|aB?CH , AB=AC ,>2CH?CH=49 , . CH=7 .分兩種情況：P為底邊BC上一點,如圖. PE

13、+PF=CH , .1. PE=CH - PF=7 - 3=4;P為BC延長線上的點時,如圖.12.數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且 ED=EC ,如圖,試確定線段 AE與DB的大小 關(guān)系,并說明理由小敏與同桌小聰討論后,進行了如下解答：1特殊情況,探索結(jié)論當(dāng)點E為AB的中點時,如圖1,確定線段AE與DB的大小關(guān)系,請你直接寫出結(jié)論：AE = DB 填 法",之或=".2特例啟發(fā),解做題目解：題目中,AE與DB的大小關(guān)系是：AE = DB 填 多",之"或=".理由如下：如圖2,過

14、點E作EF/ BC , 交AC于點F.請你完成以下解答過程3拓展結(jié)論,設(shè)計新題在等邊三角形 ABC中,點E在直線 AB上,點D在直線BC上,且ED=EC .假設(shè)4ABC的邊長為1, AE=2 ,求CDDECD B CDsc的長請你直接寫出結(jié)果.圖1圖2考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).分析：1根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出/ D=/ ECB=30 °,求出/ DEB=30 °,求出BD=BE即可；2過E作EF/ BC交AC于F,求出等邊三角形 AEF ,證4DEB和 ECF全等,求出 BD=EF即 可；3當(dāng)D

15、在CB的延長線上,E在AB的延長線式時, 由2求出CD=3 ,當(dāng)E在BA的延長線上, D在BC的延長線上時,求出 CD=1 .解答：解：1故答案為：=.2過 E 作 EF/ BC 交 AC 于 F,.等邊三角形 ABC , Z ABC= Z ACB= Z A=60 °, AB=AC=BC ,/ AEF= / ABC=60 °, / AFE= / ACB=60,即/ AEF= / AFE= / A=60 °,2 .AEF 是等邊三角形,AE=EF=AF ,3 Z ABC= / ACB= / AFE=60 °, . . / DBE= / EFC=120 &#

16、176;, / D+ / BED= / FCE+ / ECD=60 °, ,.DE=EC,/ D= /ECD,/ BED= / ECF,在 DEB和AECF中ZDEB=ZBCF/D%/即C,1 ADEBAECF, . BD=EF=AE ,即 AE=BD ,故答案為: DE=CE(3)解：CD=1 或 3,理由是：分為兩種情況:過 A 作 AM,BC 于 M ,過 E 作 EN,BC 于 N ,那么 AM / EM ,.ABC 是等邊三角形,.AB=BC=AC=1 ,-. AM ±BC,BM=CM= BC=, / DE=CE ,22. AM/EN, AAMB AENB ,BE

17、 BNENXBC, CD=2CN ,1.=-,2 - 1 BN.BN= , CN=1 +2如圖2,作AM,BC于M ,過E作EN,BC于N , 貝U AM / EM ,.ABC 是等邊三角形,.-.AB=BC=AC=1 , DE=CE , ENXBC , . CD=2CN ,一AE MWMN=1 , CN=11. AM / EN ,13.：如圖, AF平分/BAC, BCAF于點E,點D在AF上,ED=EA ,點P在CF上,連接 PB交AF于點 M ,假設(shè)/BAC=2/MPC,請你判斷Z F Z MCD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.考點： 分析：14.如圖, 4ABC是等邊三角形,點D、E分別在BC

18、、AC邊上,且AE=CD , AD與BE相交于點F.全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=CD ,推出/ CDA= / CAD= / CPM ,求出 / MPF= / CDM , / PMF= / BMA= / CMD ,在 DCM 和 PMF 中 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.解答:解：/F=/MCD,理由是：AF 平分/BAC, BCXAF , . / CAE= / BAE , / AEC= / AEB=90 °,在 ACE AABE 中fZAEC=ZAEBJ AE=AE , .,.AACEAABE (ASA),

19、AB=AC ,IZCAE=ZBAE / CAE= / CDE AM 是 BC 的垂直平分線, . CM=BM , CE=BE ,. / CMA= / BMA , . AE=ED , CEXAD , . AC=CD , . . / CAD= / CDA , / BAC=2 / MPC ,又. / BAC=2 / CAD ,/ MPC= / CAD ,/ MPC= / CDA ,. / MPF= / CDM ,/ MPF= / CDM (等角的補角相等), / DCM+ / CMD+ / CDM=180 °, / F+/ MPF+ / PMF=180 °,又 / PMF= /

20、BMA= / CMD ,/ MCD= / F.(1)線段AD與BE有什么關(guān)系？試證實你的結(jié)論.(2)求/ BFD的度數(shù).考點： 分析：解答:等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知 / BAC= / C=60°, AB=CA ,結(jié)合AE=CD ,可證實 ABE ACAD , 從而證得結(jié)論；(2)根據(jù) / BFD= / ABE+ / BAD , /ABE= / CAD ,可知 / BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °.(1)證實：.ABC 為等邊三角形,Z BAC= Z C=60°, AB=CA .在 ABE和A

21、CAD中, ZBAE=ZC ABE 省 CAD AD=BE .AE=CD(2)解： /BFD=/ABE+ Z BAD ,等腰三角形典型例題練習(xí)含答案又 ABE 省 CAD ,Z ABE= / CAD . . . / BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=6015 .如圖,在 4ABC中,AB=BC , / ABC=90 °, F為AB延長線上一點,點 E在BC上,BE=BF ,連接 AE、EF 和CF, 求證：AE=CF .考點： 分析：二考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)利用SAS即可判定ABECBF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到AE=CF .解答：證實：.

22、 /ABC=90 °, Z ABE= Z CBF=90 °,又.AB=BC, BE=BF , /.AABE ACBF SAS. . AE=CF .16 .：如圖,在 AOAB 中,/AOB=90°, OA=OB ,在 EOF 中,Z EOF=90 °, OE=OF,連接 AE、BF.問線 段AE與BF之間有什么關(guān)系？請說明理由.全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.可以把要證實相等的線段 AE, CF放到AEO, BFO中考慮全等的條件,由兩個等腰直角三角形得AO=BO , OE=OF,再找夾角相等,這兩個夾角都是直角減去/BOE的結(jié)果,當(dāng)然相等了,由

23、此可以證實 AEOA BFO ;延長BF交AE于D ,交OA于C,可證實/ BDA= / AOB=90.,那么AE± BF.解答:解：AE與BF相等且垂直,理由：在AEO與ABFO中,. MOAB 與 RtOEF 等腰直角三角形,AO=OB , OE=OF , Z AOE=90 ° - Z BOE= Z BOF , AEO 9 BFO ,AE=BF .延長BF交AE于D,交OA于C,那么/ ACD= / BCO ,由1知 / OAE= /OBF, Z BDA= Z AOB=90 °, AEXBF.17. 2006?郴州如圖,在 4ABC中,AB=AC , D是BC上任意一點,過 D分別向AB , AC引垂線,垂足分別為 巳F, CG是AB邊上的高.等腰三角形典型例題練習(xí)含答案1 DE, DF, CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證實；2假設(shè)D在底邊的延長線上,1中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)不成立,又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由.考點：等腰三角形的性質(zhì).分析：1連接AD,根據(jù)三角形ABC的面積=三角形ABD的面積+三角形ACD的面積,進行分析