直線、平面平行的判定與性質(zhì)(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)1直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與這個平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行線面平行)因為la，a，l，所以l性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行線線平行”)因為l，l，b，所以lb2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行面面平行”)因為a，b，abP，a，b，所以性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交

2、，那么它們的交線平行因為，a，b，所以ab1辨明兩個易誤點(1)直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件(2)面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件2線面、面面平行的判定中所遵循的原則一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，不可過于“模式化”1(2016大連模擬)對于直線m，n和平面，若n，則“mn”是“m”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案：D2a、b、c為三條不重合的直線，、為三個不重合的平面，現(xiàn)給出

3、四個命題：其中正確的命題是()A BCD解析：選C.正確錯在與可能相交錯在a可能在內(nèi)3若平面平面，直線a平面，點B，則在平面內(nèi)過B點的所有直線中()A不一定存在與a平行的直線B只有兩條與a平行的直線C存在無數(shù)條與a平行的直線D存在唯一與a平行的直線解析：選A.當直線a在平面內(nèi)且經(jīng)過B點時，a平面，但這時在平面內(nèi)過B點的所有直線中，不存在與a平行的直線，而在其他情況下，都可以存在與a平行的直線，故選A.4過三棱柱ABCA1B1C1任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有_條解析：各中點連線如圖，只有平面EFGH與平面ABB1A1平行，在四邊形EFGH中有6條符合題意答案：65

4、(必修2P56練習T2改編)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_解析：如圖，連接AC，BD交于O點，連接OE，因為OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行考點一線面平行的判定與性質(zhì)(高頻考點)學生用書P132平行關(guān)系是空間幾何中的一種重要關(guān)系，包括線線平行、線面平行、面面平行，其中線面平行在高考試題中出現(xiàn)的頻率很高，一般出現(xiàn)在解答題中高考對線面平行的判定及性質(zhì)的考查常有以下三個命題角度：(1)判斷線面的位置關(guān)系；(2)線面平行的證明；(3)線面平行性質(zhì)的應(yīng)用(2015高考四川卷節(jié)選)一個正方體的平面展開

5、圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示在正方體中，設(shè)BC的中點為M，GH的中點為N.(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應(yīng)的頂點處(不需說明理由)；(2)證明：直線MN平面BDH.解(1)點F，G，H的位置如圖所示(2)證明：如圖，連接BD，設(shè)O為BD的中點，連接OH，OM，MN.因為M，N分別是BC，GH的中點，所以O(shè)MCD，且OMCD，HNCD，且HNCD，所以O(shè)MHN，OMHN.所以四邊形MNHO是平行四邊形，從而MNOH.又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH.(1)證明線面平行時，先直觀判斷平面內(nèi)是否存在一條直線和已知直線平行，若找不到這樣的直線，可以考慮通過面面平行來

6、推導線面平行(2)應(yīng)用線面平行性質(zhì)的關(guān)鍵是如何確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線. 1.如圖，已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是PA，BD上的點且PEEABFFD，求證：EF平面PBC.證明：法一：連接AF并延長交BC于M.連接PM.因為ADBC，所以.又由已知，所以.由平面幾何知識可得EFPM，又EF平面PBC，PM平面PBC，所以EF平面PBC.法二：作FNBC交AB于N，因為NF平面PBC，BC平面PBC，所以NF平面PBC.因為ADBC，所以NFAD，則，又，所以.連接EN，則ENPB.又EN平面PBC，PB平面PBC，所以EN平面PBC.

7、又ENNFN，所以平面EFN平面PBC，而EF平面ENF.所以EF平面PBC.考點二面面平行的判定與性質(zhì)學生用書P132如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證： (1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)因為GH是A1B1C1的中位線，所以GHB1C1.又因為B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四點共面(2)因為E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以EFBC，因為EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因為A1G綊EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1EGB.因為A1E平

8、面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因為A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.在本例條件下，線段BC1上是否存在一點M使得EM平面A1ACC1?解：存在當M為BC1的中點時成立證明如下：連接EM(圖略)，在ABC1中，E，M分別為AB，BC1的中點，所以EM綊AC1，又EM平面A1ACC1，AC1平面A1ACC1，所以EM平面A1ACC1.判定面面平行的方法(1)利用定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)；(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)； (4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個

9、平面平行(客觀題可用)2.如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中點(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點共面；(2)求證：平面A1GH平面BED1F.證明：(1)因為AEB1G1，所以BGA1E2，因為BGA1E，所以A1GBE.又因為C1F綊B1G，所以FGC1B1D1A1，所以四邊形A1GFD1是平行四邊形所以A1GD1F，所以D1FEB，故E、B、F、D1四點共面(2)因為H是B1C1的中點，所以B1H.又B1G1，所以.又，且FCBGB1H90，所以B1HGCBF，所以B1GHCFBFBG，所

10、以HGFB.又由(1)知A1GBE，且HGA1GG，F(xiàn)BBEB，所以平面A1GH平面BED1F. 考點三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用學生用書P133(2016洛陽月考)如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(1)求證：BE平面DMF；(2)求證：平面BDE平面MNG.證明(1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為ABE的中位線，所以BEMO，又BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DEGN，又DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE平面MNG.又M為AB中點，

11、所以MN為ABD的中位線，所以BDMN，又BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE平面MNG.在應(yīng)用線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)化時，一定要注意定理成立的條件，嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟. 3.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點，求證：(1)直線EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.證明：(1)如圖，連接SB，因為E、G分別是BC、SC的中點，所以EGSB.又因為SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直線E

12、G平面BDD1B1.(2)連接SD，因為F、G分別是DC、SC的中點，所以FGSD.又因為SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，又EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，所以平面EFG平面BDD1B1.方法思想立體幾何中的探索問題如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由 解點E為AB的中點時DE平面AB1C1，證明如下：法一：取AB1的中點F，連接DE、EF、FC1，因為E、F分別為AB、AB1的中點，所以EFBB1且EFBB1.在三棱柱ABC

13、A1B1C1中，DC1BB1且DC1BB1，所以EF綊DC1，四邊形EFC1D為平行四邊形，所以EDFC1.又ED平面AB1C1，F(xiàn)C1平面AB1C1，所以ED平面AB1C1.法二：取BB1的中點H，連接EH，DH，DE，所以E，H分別是AB，BB1的中點，則EHAB1.又EH平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EH平面AB1C1，又HDB1C1，同理可得HD平面AB1C1，又EHHDH，所以平面EHD平面AB1C1，因為ED平面EHD，所以ED平面AB1C1.(1)立體幾何中的探索性問題主要是對平行、垂直關(guān)系的探究，對條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的

14、設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個假設(shè)下進行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè)(2)這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使成立”，“只需使成立”如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA平面ABCD，若M、N分別為BC、PA的中點在線段PD上是否存在一點E，使NM平面ACE？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由解：當E為PD的中點時有NM平面ACE.證明如下：如圖，取PD的中點E，連接NE，EC，AE，因為N，E分別為PA，PD的中點，所以NE綊AD.又在平行四邊形ABCD中，CM綊AD，所以NE綊MC，即四

15、邊形MCEN是平行四邊形所以NMEC.又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN平面ACE，即在PD上存在一點E，使得NM平面ACE.1在空間內(nèi)，下列命題正確的是()A平行直線的平行投影重合B平行于同一直線的兩個平面平行C垂直于同一平面的兩個平面平行D垂直于同一平面的兩條直線平行解析：選D.對于A，平行直線的平行投影也可能互相平行，或為兩個點，故A錯誤；對于B，平行于同一直線的兩個平面也可能相交，故B錯誤；對于C，垂直于同一平面的兩個平面也可能相交，故C錯誤；而D為直線和平面垂直的性質(zhì)定理，正確2設(shè)平面平面，A，B，C是AB的中點，當A，B分別在，內(nèi)運動時，所有的點C()A不共面B當且僅當A，

16、B在兩條相交直線上移動時才共面C當且僅當A，B在兩條給定的平行直線上移動時才共面D不論A，B如何移動都共面解析：選D.根據(jù)平面平行的性質(zhì)，不論A，B如何運動，動點C均在與，都平行的平面上3(2016惠州模擬)已知兩條不同的直線l，m，兩個不同的平面，則下列條件能推出的是()Al，m，且l，mBl，m，且lmCl，m，且lmDl，m，且lm解析：選C.借助正方體模型進行判斷易排除選項A，B，D，故選C.4(2016長沙模擬)用a，b，c表示空間中三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若ab，bc，則ac；若ab，ac，則bc；若a，b，則ab.其中真命題的序號是()ABCD解析：選D.若ab，

17、bc，則ac或a與c相交或a與c異面，所以是假命題；在空間中，平行于同一直線的兩條直線平行，所以是真命題；若a，b，則ab或a與b相交或a與b異面，所以是假命題，故選D.5. 如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AEEBAFFD14，又H，G分別為BC，CD的中點，則()ABD平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四邊形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四邊形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解析：選B.由AEEBAFFD14知EF綊BD，所以EF平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點，所以HG綊BD，所以EFHG

18、且EFHG.所以四邊形EFGH是梯形6設(shè)l，m，n表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列命題：若ml，且m，則l；若ml，且m，則l；若l，m，n，則lmn；若m，l，n，且n，則lm.其中正確命題的個數(shù)是()A1 B2C3D4解析：選B.由題易知正確；錯誤，l也可以在內(nèi)；錯誤，以墻角為例即可說明；正確，可以以三棱柱為例說明，故選B.7. 如圖，在空間四邊形ABCD中，MAB，NAD，若，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_解析：在平面ABD中，所以MNBD.又MN平面BCD，BD平面BCD，所以MN平面BCD.答案：平行8棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中點，過C

19、，M，D1作正方體的截面，則截面的面積是_解析：由面面平行的性質(zhì)知截面與平面AB1的交線MN是AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為.答案：9設(shè)，是三個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，有下列三個條件：a，b；a，b；b，a.如果命題“a，b，且_，則ab”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是_(把所有正確條件的序號都填上)解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，正確；當b，a時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，正確故填入的條件為或.答案：或10已知平面，P且P ，過點P的直線m與，分別交于A，C，過點P的直線n與，分別交于B，D，且PA6，AC9，PD8，則BD的長為

20、_解析：如圖1，因為ACBDP，圖1所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD.因為，平面PCDAB，平面PCDCD，所以ABCD.所以，即，所以BD.如圖2，同理可證ABCD.圖2所以，即，所以BD24.綜上所述，BD或24.答案：或2411. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E，H分別為棱A1B1，D1C1上的點，且EHA1D1，過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G，求證：FG平面ADD1A1.證明：因為EHA1D1，A1D1B1C1，EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH平面BCC1B1.又平面FGHE平面BCC1B1FG，所以EHFG，即FGA1

21、D1.又FG平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG平面ADD1A1.1. (2016湖南省長沙一中高考模擬)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點P是棱AD上一點，且AP，過B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直線CD上，則PQ_解析：因為平面A1B1C1D1平面ABCD，而平面B1D1P平面ABCDPQ，平面B1D1P平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1PQ.又因為B1D1BD，所以BDPQ，設(shè)PQABM，因為ABCD，所以APMDPQ.所以2，即PQ2PM.又知APMADB，所以，所以PMBD，又BDa，所以PQa.答案：a2. 如圖，已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中點 (1)求證：AMCM；(2)若N是PC的中點，求證：DN平面AMC.證明：(1)在直角梯