數(shù)理方法參考

1、)()()(*0)(0)(000100000 xxJHmHxxJxJxJmmmm數(shù)理方法課程內容歸納河海大學 應用物理專業(yè) 02 v kv目錄一、復變函數(shù)論 1、復數(shù) 2、復變函數(shù)二、數(shù)學物理方程 1、波動方程 sp：三維情形 2、運輸方程 sp：三維情形 3、穩(wěn)定分布 1）平面坐標系 2）球坐標系 3）柱坐標系三、附表) (0 )()()(n m dxx xyxynbam C-R條件柯西定理留數(shù)定理傅里葉變換拉普拉斯變換球函數(shù)（連帶）勒讓德函數(shù)貝塞爾函數(shù)諾依曼函數(shù)漢克爾函數(shù)虛宗量貝塞爾函數(shù)亥姆霍茲方程沖量定理法（波動方程）（運輸方程）判定方程快速查找一、復變函數(shù)論復數(shù) 復數(shù)的概念起源于求方程

2、的根，在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負數(shù)開平方的情況。在很長時間里，人們對這類數(shù)不能理解。但隨著數(shù)學的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。數(shù)式計算較簡便。乘除、乘方和開方用指。取主值：)sin(cos1,.,2 , 1 , 0)2argsin()2argcos()sin(cos)(2arg,2arg0|,|,)2arg(nneznknknznknzennezZkkzzArgzzezninnnninknznnninni共有k個值*)(,|*Rezzzzeeee返回 Leonhard Euler （1707年4月15日1783年9月18日），瑞士數(shù)學家、自然科學家。1707年4月15日出生于

3、瑞士的巴塞爾，1783年9月18日于俄國圣彼得堡去世。歐拉是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界作出貢獻，更把整個數(shù)學推至物理的領域。他是數(shù)學史上最多產的數(shù)學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，無窮小分析引論、微分學原理、積分學原理等都成為數(shù)學界中的經典著作。歐拉對數(shù)學的研究如此之廣泛，因此在許多數(shù)學的分支中也可經常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。應用歐拉公式知：iiieeieeiiiisinh2sincosh2cos返回發(fā)展史 復變函數(shù)論產生于十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數(shù)的積分導出的兩個方程。而比

4、他更早時，法國數(shù)學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中，就已經得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。 復變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支，并且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。返回 為復變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復變函數(shù)的積分，他們都是

5、創(chuàng)建這門學科的先驅。 后來為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學家維爾斯特拉斯了。二十世紀初，復變函數(shù)論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數(shù)學家列夫勒、法國數(shù)學家龐加萊、阿達瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ鳎_拓了復變函數(shù)論更廣闊的研究領域，為這門學科的發(fā)展做出了貢獻。 復變函數(shù)論在應用方面，涉及的面很廣，有很多復雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應有物理量的一個區(qū)域，對它們的計算就是通過復變函數(shù)來解決的。 復變函數(shù)論不但在其他學科得到了廣泛的應用，而且在數(shù)學領域的許多分支也都應用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率

6、論和數(shù)論等學科，對它們的發(fā)展很有影響。 復變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內容。返回C-R條件復變函數(shù)可導的必要條件Augustin Louis Cauchy（1789-1857），法國數(shù)學家、物理學家、天文學家?？挛髟跀?shù)學上的最大貢獻是在微積分中引進了極限概念，并以極限為基礎建立了邏輯清晰的分析體系。這是微積分發(fā)展史上的精華，也是柯西對人類科學發(fā)展所做的巨大貢獻?？挛髟谄渌矫娴难芯砍晒埠茇S富。復變函數(shù)的微積分理論就是由他創(chuàng)立的。在代數(shù)方面、理論物理、光學、彈性理論方面，也有突出貢獻?？挛鞯臄?shù)學成就不僅輝煌，而且數(shù)量驚人?？挛魅?/p>

7、27卷，其論著有800多篇，在數(shù)學史上是僅次于歐拉的多產數(shù)學家。他的光輝名字與許多定理、準則一起銘記在當今許多教材中。Georg Friedrich Bernhard Riemann （18261866）德國數(shù)學家、物理學家，對數(shù)學分析和微分幾何做出了重要貢獻，其中一些為廣義相對論的發(fā)展鋪平了道路。vuvuvuvuxyyx11極坐標系：返回為共軛調和函數(shù)。與。是相互正交的兩曲線族與),(),(0, 0, 021yxvyxuvvuuCvCuvuyyxxyyxx推導應用：求解析函數(shù)）不定積分法（曲線積分法）湊全微分法（計算可能較方便不提倡. 3. 2. 1返回) (,) () (, 0) (, 1

8、) (000 xNxNxJxJxJx時，當孤立奇點級數(shù)1.泰勒級數(shù)：圓內解析的函數(shù)，一般用已知級數(shù)求解。2.洛朗級數(shù)：環(huán)域上解析的函數(shù)，一般利用泰勒級數(shù)求解。_應用：正則奇點鄰域上的級數(shù)方程解何謂正則奇點？在二階常微分方程的奇點的鄰域 0|z-z0|R上，方程的兩個線性獨立解全部都擁有有限個負冪項，則該奇點為正則奇點。為環(huán)境溫度。 ),| ( | a xa x xu hku判定方程s(s-1)+sp-1+q-2=0(s2s1)返回施圖姆劉維爾本征值問題)157063(81)()33035(81)()35(21)()13(21)()(1)(355244332210 xxxxPxxxPxxxPxx

9、PxxPxP0)1(2222Rl lr krRRrrrrlllllxdxdlxP)1(!21)(2羅德里格斯公式施圖姆劉維爾型方程勒讓德方程連帶勒讓德方程返回貝塞爾方程重要性質1)(,1)(,1)(,1,11)(,0)(,1)(,1,12222xxmxqxxkbaxxqxxkbaym(x)與yn(x)為對應不同本征值的函數(shù)。柯西定理 如果函數(shù)在閉單連通區(qū)域 上解析，則沿 上任一分段光滑閉合曲線l（可以是它的邊界），有 如果f(z)是閉復連通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則BBldzzf0)(0)()(llidzzfdzzf)2)ln()( 1)(0121) 1(0)(21izlldzzindzzill

10、n一周，便增加為多值函數(shù)，每繞原因：包圍不包圍應用返回柯西公式應用前式，可證明。任一點，則有內的為的邊界線，為上解析，在單連通區(qū)域若解析函數(shù)可求導任意次,)()(2!)()(21)()(1)(dzzzfinfdzzzfifBBlBzflnnl具體內容需參考課本P2830.返回留數(shù)定理kkkzzazfzzfl)()()(00數(shù)時，將其展開為洛朗級的奇點包圍回路).(sRe2)(011zfaiadzzfl因此被稱為留數(shù)，記為，. )(es2)(ilbfRidzzf：留數(shù)定理應用第8頁下方的公式可知怎樣求留數(shù)？)()()(lim)(Res)()(lim:)()()!1(1lim)(Resconsta

11、nt)()(lim(,000000)1(00000000zQzPQPzzzfzfzzzspzfzzmzfzfzzmzzzzzmmzzmzz，為階極點為若應用洛朗級數(shù)可知單奇點返回求定積分若有實軸上的奇點實軸上的奇點的奇點)(Res)(Res2)(-0jyizfizfixf類一類二理解出。可，結果需應用留數(shù)定積分區(qū)間在一周期內即dzizizzzzRdxxxRz1)2,2()sin,(cos1201|1類三奇點為奇函數(shù)，在實軸上無，奇點為偶函數(shù)，在實軸上無的奇點的奇點)()(Res)(21sin)()(,)(Res)(21cos)(0000 xGezGdxexGimxdxxGxFezFidxexF

12、mxdxxFiiimziyimximziyimx*具體約束條件參考課本！返回類三可運用拉普拉斯變換進行計算！（以m為變元進行變換。）兩種變換1.傅里葉變換)0(2sin)(22cos)(2)(2)2sin2cos(2)(010kdTkfTbdTkfTadfTaTxkbTxkaaxfkkkkk一個周期一個周期一個周期),()0(),()0(), 0(lfflffl若若上定義的函數(shù)，對在可延拓為偶函數(shù)可延拓為奇函數(shù)返回復數(shù)形式 ),2(2lxikTxikelTe則為若基*22)(1,)(kkTxikkkTxikkccdxexfTcecxf一個周期傅里葉積分與變換000000sin)(2)(sin)

13、()(cos)(2)(cos)()(sin)(1)(,cos)(1)(sin)(cos)()(dfBxdBxfdfAxdAxfdfBdfAxdBxdAxf：正弦積分：余弦積分)()(21)()()()(像函數(shù)原函數(shù)dxexfFdeFxfxixi復數(shù)形式相關性質 返回下一頁) () , 0() , 0()(sinsin) () , 0() , 0(00210t FtxTutxTuTTt Ftx utx uxxx 力平衡處，弦振動中在折點舉例：連續(xù)變化銜接條件)()()(*)()()()()(212100pfpftftfpfettfpftfeLptLtL卷積定理延遲定理位移定理詳見課本。以上級數(shù)可

14、在中間缺項本性極點：時為單極點。，階極點：5048)(1)(|0000PzzamzzamRzzkkkmkkk返回2.拉普拉斯變換)(1)(apfaatfL經典變換公式Pierre-Simon Laplace(17491827)是法國分析學家、概率論學家和物理學家，法國科學院院士。NoImagexxZxZxZxZxZxZxZxxJxxJxJxxJxxJxJ)(2)()()(2)()()()()()( )(),()(11 -11 -1110代表柱函數(shù)）遞推公式（定理*位移定理dxffxfxf)() () (* ) (2121卷積：何為卷積？返回上一頁此時卷積的積分區(qū)間為（0，t）！二、數(shù)理方程),

15、(|)(),(|),(|tMfHuutMfutMfunn三類邊界條件*牛頓冷卻定律預備返回1.波動方程 波動方程抽象自聲學，電磁學，和流體力學等領域。歷史上許多科學家，如達朗貝爾、歐拉、丹尼爾伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程理論作出過重要貢獻。弦振動方程是在18世紀由達朗貝爾（dAlembert）等人首先系統(tǒng)研究的，它是一大類偏微分方程的典型代表。 fuatt2u返回均勻弦的微小橫振動（ ）無橫向外力時， 通解：u=f1(x+at)+f2(x-at)達朗貝爾公式（無邊界）(初始條件:u|t=0= (x), :ut|t=0= (x)注意：沒有邊界條件的限制，波雙向

16、運動。端點反射u(x,t)為奇函數(shù)，則(x)與(x)都是奇函數(shù)。02xxttuauTa atxatxdaatxatxtx)(21)()(21),(uJean le Rond dAlembert，17171783，法國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家。),(utx)()(21)()(21atxatxaxtdaatxatx)()(21)(-)(21atxxataxtdaxatatx返回處理齊次邊界條件有橫向外力時F（x,t)為單位長度所受外加橫向力傅里葉級數(shù)法（不管泛定方程是否齊次皆可用）代入泛定方程得代入X,利用傅里葉級數(shù)法求解Tn的通解，再代入初始條件求Tn。對于波動方程，需要兩個初始條件，而

17、運輸方程只要一個。),(2txFuauxxtt0n)()()()(),(xXtTtTxXtxun222222)21(,)21(cos)()21(sin)(0,cos)(sin)(lnlxnCxXllxnCxXlnlxnCxXlxnCxX端固定端固定兩端自由兩端固定本征方程（應用分離變數(shù)法解齊次方程的結果）),()(02txfXTaXTnnn 返回Sp:沖量定理法 . 0|, 0|, 0|, 0|);,(),(),(0002tttlxxxxttvvvvtxvvtxfvav時的力密度。為寫為其中txfdxfvvvvvavdtttlxxxxtt),(,).,(|, 0|0|, 0|002ttdtxf

18、dtxFtxF00)(),()(),(),(tdtxvtxu0);,(),(返回處理非齊次邊界條件（找特解）1.u|x=0=(t),u|x=l=(t)2.ux|x=0=(t), ux|x=l=(t)的邊界條件是齊次的。即令代入邊界條件得設wvuwwvutxltttxvtBxtAtxv,)()()(),(),()(),(的邊界條件是齊次的。則令代入邊界條件得設wwvuxtxltxtxtxvxtBxtAtxv,)(2),(),(),()()(),(22對于波動方程，邊界條件齊次非常重要。返回*特殊情況特別的，若),()sin()sin()(1)(, 0)0(0)(),()(),()sin()cos

19、()(|, 0|0txvalaxxXlXXXaXtxXtxvtDtCtxxiiiilxx，即得求出件可知代入泛定方程和邊界條則可設 返回 均勻桿的縱振動（ ）,),(2txFuauxxtt),(22tyxFuauttF(x,t)為桿在單位長度上單位面積所受縱向外力。Ea 均勻薄膜的微小橫振動（ ）F(x,y,t)為單位面積上的橫向外力。Ta 返回三維波動)()()()2()!(!1)()()()(),()()2()1(!1)()2()1(!1)(0202-02xIxImxkmkixJixIixJixIixJixIxkkiixJxkkiixJmmkkmmmkkkk：為整數(shù)性質) 0(sincos

20、)()(0kkatDkatCtTBAttTk時0kHermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz（18211894），德國物理學家、數(shù)學家、生理學家、心理學家。亥姆霍茲方程的解R(r)滿足l階球貝塞爾方程與參考拉普拉斯方程在球坐標系下的解1.球坐標系返回02.柱坐標系R的解滿足m階貝塞爾方程（ 時退化為極坐標情形），Z 與的解形式上與m階虛宗量貝塞爾函數(shù)的對應Z與相同 。)1(2lTsin)()(2)(:xIxIxKsp兩個線性獨立解之一虛宗量貝塞爾方程的虛宗量漢克爾函數(shù)2.運輸方程DaFuaut22，可借此推導得 擴散菲克定律菲克定律 早在1855年，菲克就提出

21、了：在單位時間內通過垂直于擴散方向的單位截面積的擴散物質流量（稱為擴散通量（擴散通量（Diffusion flux）或擴散強度）與該截面處的濃度梯度濃度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是說，濃度梯度越大，擴散通量越大濃度梯度越大，擴散通量越大。這就是菲克第一定律，它的數(shù)學表達式如下：菲克第一定律只適應于q和u不隨時間變化穩(wěn)態(tài)擴散穩(wěn)態(tài)擴散(Steady-state diffusion)的場合,菲克第二定律是在第一定律的基礎上推導出來的。菲克第二定律指出，在非穩(wěn)態(tài)擴散過程（無擴散源）中，在距離x處，濃度隨時間的變化率等于該處的擴散通量隨距離變化率的負值。為濃度梯度，

22、 uuDqF為單位時間內單位體積（三維）中產生的粒子數(shù)（擴散源強度）。返回 熱傳導傅里葉定律傅里葉定律 在導熱現(xiàn)象中，單位時間內通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。 應用熱傳導定律和能量守恒定律可得為熱傳導系數(shù)，kukqckafuaut22，)(cFf F為單位時間內在單位體積中產生的熱量（熱源強度）。Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768 1830），男爵，法國著名數(shù)學家、物理學家，主要貢獻是在研究熱的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。返回運輸方程的定解問題1.分離變數(shù)法（齊次泛定方程）

23、2.傅里葉級數(shù)法 參考振動方程中的情況，其中處理非齊次邊界條件),()(02txfXTaXTnnn 0|0|, 0|)(),(002tlxxxxxxtvvvtxfvav記為其中dxfvvvvavdtlxxxxxxt),(|0|, 0|0023.沖量定理法tdtxvtxu0);,(),(返回三維運輸)(,)(,)(, 020mqkba返回亥姆霍茲方程) 0(sincos)()(0kkatDkatCtTBAttTk方程的解參見第27頁PPT3.穩(wěn)定分布1）穩(wěn)定濃度分布2）穩(wěn)定溫度分布3）靜電場 對于穩(wěn)定分布，泛定方程的齊次性非常重要。（拉普拉斯方程）（珀松方程），則0, 0uFuDut（拉普拉斯方

24、程）（珀松方程），同理0,uFuk拉普拉斯方程）無電荷珀松方程），若該區(qū)域由以上兩式知(0(,00VVVEESimeon-Denis Poisson （17811840）法國數(shù)學家、幾何學家和物理學家。返回平面直角坐標系分離變數(shù)法題第，例具體可參考求系數(shù)。最后代入其他邊界條件）（），得到特征值再求（邊界先求據齊次代入泛定方程求解，根令次化一組邊界條件，為簡化運算，至少齊121603152)()()()()()(),(0PPxXyYyYxXyYxXyxuuuyyxx返回極坐標系4157154)sincos()sincos(ln),()0(ln)0()(sincos)()()(),()0(0111

25、002例參考則可解得分離變數(shù)法，令PmDmCmBmADCumDCmDCRmBmARuuuummmmmmmmm返回球坐標系。階時為，當階即則令分離變數(shù)法得勒讓德方程連帶勒讓德方程拉普拉斯方程lmlxmlldxdxdxdxxrDCrrRmBmAurururuurllrrr001) 1(2)1 (,cos1)(,sincos)(0sin11tan122222212222Adrien Marie Legendre （17521833），法國數(shù)學家。主要研究領域是分析學(尤其是橢圓積分理論)、數(shù)論、初等幾何與天體力學，取得了許多成果，導致了一系列重要理論的誕生。111212221011202)()!12

26、()2()4)(2)(1 ()32)(12()!2()12()3)(1)()(2()42)(22(kkkkkkkkxaxaxaaxyaklkllllklkaaklklllllklka勒讓德方程的級數(shù)解返回計算退化為多項式的級數(shù)解 l=2n+1時，y1(x)為（2n+1)項多項式，此時令a0=0;l=2n時，y0(x)為2n次多項式，此時令a1=0。自然邊界條件：l為自然數(shù)。本征值：l(l+1) 本征函數(shù)：l階勒讓德多項式022221)!2()!(2 !)!22() 1()()!2()!(2 !)!22() 1(,) !(2)!2(lnnllnllnnlllxnlnlnnlxPnlnlnnlal

27、la則規(guī)定：)()1 ()()(22xPxxPmlmlm返回(cos)偶函數(shù)l為偶時為P(cos)奇函數(shù)，l為奇時為Pll規(guī)律!)!2(!)!12() 1()0(, 0)0(212nnPPnnn00)(1222222 kRmkRR，lmlmllmlxdxdlxxPm) 1(!2)1 ()(222)()!()!() 1()(xPmlmlxPmlmml返回勒讓德多項式的正交關系邊界條件與無關時，使用勒讓德多項式為基。)(cos)1(),()()(212)()(122)()(0sin)(cos)(cos, 0)()(011101122011 -llllllllllllllklkPrBrArudxxP

28、xflfxPfxfldxxPNlkdPPdxxPxP：，由此可得模平方應應用用返回)(12)(121)() 1(0)()() 12()() 1()(cos1)(cos1cos21(1111010122xPkkxPkkxxPkxkPxxPkxPkPrRPrRrRrRRkkkkkkllllllll常用形式：遞推公式：為球半徑）：母函數(shù)返回連帶勒讓德多項式的正交關系)(cos)sincos(1)sincos(),()()()!()!(212)()()!()!(122)()()(0sin)(cos)(cos, 0)()(100111122011 -mlmlmllllmmlmllmllmlmllmlml

29、mlmkmlmkPmDmCrmBmArrudxxPxfmlmllfxPfxfmlmlldxxPNlkdPPdxxPxP：，由此可得模平方應應用用返回一般的球函數(shù)), 0 ,)(cos),()(cos)sincos(),(0Y1)(Ysin1Ytan1Y|2llmPeYPmBmAYllmlimmlmlml為：由歐拉公式知，原式可改寫1120|11200)()(0sinsincossin)()(sin),(),()(deedxxPxPdnnmmdxxPxPddYYklnminimnkmlnkmlSnkml原式復數(shù)形式：或正正交交關關系系返回計算模平方124|)!|(|)!|(2122|)!|(|)

30、!|()()()0( 1)0(2(122)!()!(cossin)(sin),()(11 -202|2202211222lmlmllmlmldeedxxPNmmlmlmldmmdxxPddYNimimmlmlmmmlSmlml復數(shù)形式的模：返回ddePfmlmllCePCfPddmPfmlmllBddmPfmlmllAPmBmAfimmlmllllmimmlmlmlmlmlmmlllmmlmlmlsin)(cos),(|)!|(|)!|(412)(cos),(.252sinsin)(cos),()!()!(212sincos)(cos),()!()!(212)(cos)sincos(),(02

31、0|0|02002000 ，類似于以上系數(shù)的推導具體推導可見課本應用返回Sp:正交歸一化的球函數(shù)具體內容參考課本P257.).,(),()(cos|)!|(|)!|(412),(1),(0|lllmlmlmimmlmlmllmYCfePmlmllYNY返回柱坐標系拉普拉斯方程 )0()0(ln)(,)(00)(10sincos)(01100222mFEmFERDzCzZRmRRZZmBmAuuuummmmzz一、分離變數(shù)得這類似于輸電線（極坐標系）的情況。xRmxxRRxDeCezZxxxzz, 0)(,)(0222二、xRmxxRRxvzDzCzZxxx, 0)()(sincos)(0222

32、三、貝塞爾方程虛宗量貝塞爾方程Bessel Friedrich Wilhelm，（17841846）德國天文學家，數(shù)學家，天體測量學的奠基人之一。返回階貝塞爾函數(shù)（ 不為半整數(shù)）在得到級數(shù)解（詳見課本P198200）后令a0=，b0= 得) 1(21) 1(21-02-02)2() 1(!1) 1()()2() 1(!1) 1()(kkkkkkxkkxJxkkxJsin)(cos)()(xJxJxN第二類柱函數(shù)諾依曼函數(shù))()()()()()(2121xNCxJCxyxJCxJCxy或通解貝塞爾函數(shù)第一類柱函數(shù)返回第三類柱函數(shù)*半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)0221)( -022121212121)2()

33、 1(!1) 1()()2() 1(!1) 1()(kklklkklklxklkxJxklkxJ過程參考課本P201203通解)()()()(2)(12121xJCxJCxyll返回整數(shù)m階貝塞爾函數(shù))() 1()()2()!( !1) 1()()2()!( !1) 1()(-02-02xJxJxkmkxJxkmkxJmmmkkmkmkkmkm注意：通解)()()(21xNCxJCxymm返回sp:漢克爾函數(shù)第三類柱函數(shù))()()()()()()2()1(xiNxJxHxiNxJxH第二種漢克爾函數(shù)：第一種漢克爾函數(shù)：貝塞爾函數(shù)的另一個通解)()()()2(2)1(1XHCXHCxyHerma

34、nn Hankel(18391873),德國數(shù)學家、數(shù)學史專家。返回有用的性質 )()()ln()()()()()(,)()(0)()(212000121200210012010整數(shù)整數(shù)若sszzbzzAwsszzbwzzawzzqzqzzpzpwzqwzpwkskkkskkkskkkkkkkk)( , 0) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( bxax y xx y x qx y x k 本征值前兩個公式適用于簡化積分運算，注意第一個公式能用則用。)()()(*)(21)()()()()(1)()()(212100)(00 xfxfxfxfFxfexfexxfxfidfxfixfFFFxiFFxiFFxFFF卷積定理位移定理延遲定理積分定理導數(shù)定理三類齊次邊界條件返回解數(shù)理方程（柱內） 若柱側有齊次邊界條件，則考慮0的情況。（為何？） 依據自然邊界條件，在=0出，解應有限，基只需選擇非負（整數(shù)）階的貝塞爾函數(shù)。NoImage返回虛宗量貝塞爾方程級數(shù)形式dJfNf