2010年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生夏令營(yíng)試題及解答

1、 B B D D 3 2010 年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生夏令營(yíng)試題 5*5*如圖所不，圓。是等腰梯形ABCDABCD的內(nèi)切圓 1、仕一個(gè)跟問(wèn)無(wú)窮等比數(shù)列中，有二項(xiàng)：sinrToosz,tMi i ,求證；Bt工是該數(shù)列的一 項(xiàng). 3*已知三條祂軸線尺1 :二丁+加丁 +陽(yáng)Pj ; 1/ = r2 + b)r -I- cj乃： =處+h丁 4r 且P.Px寫丹相切一求證：珂,匕寫吊各自切點(diǎn)的盤寫R,岡的公切線平行一 4、將12冷分成程組，每組4個(gè)數(shù)，滿足每組中有一彳數(shù)是另三個(gè)數(shù)的算術(shù)平均 埶 求所有可鏈的正整數(shù) f 時(shí)為切點(diǎn),2010 年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生夏令營(yíng)試題參考解答 1設(shè)！rin疝,COB

2、x,x, z分別為數(shù)列中的第m, n p頂,注意到 于是 8杲數(shù)列中的 P +2（?i亠 171）項(xiàng)- 2 、當(dāng)Fdn T c s亍時(shí),有 tdn 工 +oot A0 = N tan r 廳 +oot:/ r 而當(dāng)sin r tan x+ oot 護(hù)詁 r 進(jìn)而應(yīng)曲均值不等式即得* 3、設(shè)鬥,幵的公切線為廿=恥卡愉則 (&1 fc)a 4(ci (0)(如一呼4(ca ) = 0. 解得 加 +加 2(ci cj) 2 設(shè)已,旳與丹的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為（mtm）,（皿齊円）則為方程 (ti 1)2 bi) + 亡一亡丄0 的重根，于是判別式 (b di)a 4(U - l)(c cj =0

3、 且rL = 一磐二企.化簡(jiǎn)判別式，有 2a l） 卩-M2 4(a-l)7f CO5T tan i sin z / DOti X am j + bni2bni2 + c am bnibni i c 7712 TH 1 =a(ni2 4-7711) + b b 一 如尸(b-bi” b b + b 切 4(a1) 4(a 1) 2 虹一&2 因此原命題得證. 斤可以是任意正偶數(shù) 方面，由于 1 + 2 + + 4;i = 2n (4zi + 1) 是4的倍數(shù)，因此Ti必須為惕數(shù)； 另一方面，考慮到L2,.-.,8可以分為 (7,2,3,4), (5,6.1,8), 因此可以將4“個(gè)數(shù)先

4、按順序每4個(gè)連續(xù)的數(shù)分為一組，如 (1,2,3,4), (5,6,7,6,7,8),-., (4n (4n - -3,4n3,4n- - 2,4n - l,4n), 然后將第21組中的以-7與第弘組中的弘-1交擲呵，其中* = 1,2,冷. 綜上，71為任意正儁數(shù).從而有 于是只需要證明 a 也即 b b- -bibi 2(1) b b bibi 2(1) 2b 2b 仙+勿) -; - : - 0 2 (a 1) 61 + bibi 22 ci -6 &1 bibi 2 一 1 7712 _ 7711 由切割線定理BT BM = BNBT BM = BN2 2 ,又 BMBM2 2 = = BCBCl l + + MCMC2 2 - - 2BC2BC CM 8s C C = 4BN= 4BN2 2 +BN% +BN% - -2 22BN BN2BN BN88C88C = BN2（