高中數(shù)學(xué)涂色問(wèn)題常用技巧

1、高中數(shù)學(xué)涂色問(wèn)題常用技巧王忠全涂色問(wèn)題是一個(gè)復(fù)雜而有趣的問(wèn)題， 高考中不時(shí)出現(xiàn)，處理涂色問(wèn)題 常用的方法是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理一一分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理；常用的數(shù)學(xué)思想是等價(jià)轉(zhuǎn)換，即化歸思想；常見(jiàn)問(wèn)題有：區(qū)域涂色、點(diǎn)涂色和 線段涂色、面涂色；?？紤]的問(wèn)題是顏色是否要用完。例1、用四種顏色給如下區(qū)域涂色，要求一空涂一色，鄰空不同色，有多少種涂法？解析：按題意，顏色要用完，1有4種涂法；2有3種涂法；3有2 種涂法；涂1, 2, 3只用了三種顏色，4必須涂第四種顏色，有1種 涂法，共有A：=24種涂法。例2、給如下區(qū)域涂色，有四種顏色供選擇，要求一空涂一色，鄰空不同色，有多少種涂法？解析：顏色可供選擇，可

2、理解為顏色可用完和不用完兩種，分類處理,至少要用三色涂空，才能滿足要求。法1:1) 恰用三色：C3 3 2 1 2=48種涂法；2) 恰用四色：同例1,有24種涂法。共有24+48=72種涂法。法2: 1有4種涂法；2有3種涂法；3有2種涂法；4有3種涂法;共72種涂法。評(píng)析：由上述解法知，顏色用完和可供選擇是兩回事，做題時(shí)一定要 區(qū)分。一、 區(qū)域涂色問(wèn)題(一)、圓形區(qū)域涂色：處理圓形區(qū)域涂色大致有三種方法：間空涂色法；公式法。例3、用四種顏色給如下區(qū)域涂色，用四種顏色給如下區(qū)域涂色，要求一空涂一色，鄰空不同色，有多少種涂法？一、間空涂色法；法1、用空分類2h選擇 1, 3、： 3 :1) 1

3、, 3同色，則1, 3有C4種方法，2有C3種方法，4不可能與1, 3同色，但可與2同色，分兩類：4與2同色，只用了兩種顏色，5有2種方法；4與2不同色，則4有2種 方法，5有2種涂法，此時(shí)，共有4 3(2 2 2) 72種方法。2) 1, 3不同色，則1, 3有A42種方法，2有C2種方法，4與1同色，5有3種方法；4與2不同色，則4有2種涂法，5有2種涂 法，共有12 2 (2 2 3)=168種方法，綜上所述，共有 72+168=240 種涂法 法2:公式法共有35+3 (-1) 5=240種方法。定理：用m種顏色(可選擇)填圓形區(qū)域的 n個(gè)空，一空涂一色, 鄰空不同色的涂法有(m 1)

4、n ( 1)n (m 1)種。證明：如圖，設(shè)有an種不同涂法。123.n不妨把之剪開(kāi)化為矩形區(qū)域，共有m(m 1)n 1種涂法，但區(qū)域1、n不能涂同色，把1、n捆綁成一個(gè)空，有an-1種涂法，則an m(m 1)n 1 an 1anan 1 m (m 1)n 1anan 1 m(m 1)n (m 1) n m 11 an 1 m,八 n 1/m 1(m 1) m 1其中 a2 Am, m(m 1), 設(shè) bn 包了,則b2 m(m 1)nm 1令 bn rbn r ,則 r=1,m 1可知，數(shù)列bn 1是以b2 1 '為首項(xiàng)，,為公比的等比數(shù)列m 1m 1bn m 1nanm 11m

5、11m 11,1 n 211 n m 1 m 1 nm 1這個(gè)公式適用于顏色可選擇性問(wèn)題和最低保底顏色問(wèn)題，不適用于“恰用色”問(wèn)題。例4 （2003江蘇）四種不同顏色涂在如圖所示的六個(gè)區(qū)域，且相鄰兩 個(gè)區(qū)域不同色的涂法共有 種。解析：依題意，四種顏色都要用上，屬于恰用色，同時(shí)，填這六個(gè)空 最少要4種顏色，屬于保低色，可用公式。把左圖等價(jià)轉(zhuǎn)化為右圖.先涂1：有4種方法；余下3色涂5個(gè)空（圓形）有（3-1）5+（-1）5 （3-1） =30種涂法，由分步計(jì)數(shù)原理，共有120種涂法.若用間空涂色，可這樣考慮：1）涂1,有4種方法，余下3種顏色；2） 2、4同色，有C3種涂法；此時(shí)，3有2種涂法；5與

6、3同色時(shí)，6 有1種涂法（顏色要用完）；5與3不同色時(shí)，5有1種涂法，此時(shí)6 有1種涂法，共有3 2 （1 1） 12種涂法；2、4不同色，有A2=6種涂法；止匕時(shí)3有1種涂法；若5與3同色，6有1種涂法；5與3不同色，6有2種涂法(與4,或3同色)共有6 1 (1 1 2 ) =18 種涂法；綜上所述，由分步計(jì)數(shù)原理，共有120種涂法評(píng)析：分類討論，種類 繁多，要做到不重不漏，必須小必應(yīng)對(duì)，任何方法都不是萬(wàn)能的，關(guān) 鍵是要熟練掌握。變式：(2003全國(guó))一個(gè)彳f政區(qū)分為5個(gè)區(qū)域，用4種顏色給地圖涂 色，要求鄰居空不同色的不同涂色方法有 種。二、點(diǎn)涂色問(wèn)題用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想把點(diǎn)涂色問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂

7、色問(wèn)題，是做題的關(guān)鍵。例5、用4種顏色給四面體的四個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求鄰點(diǎn)不同色的涂法解析；一腳把點(diǎn)P踩到ABC平面，問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為給下圖涂色。共有4 ( 1)3 2 (3 1)3 24種，即A44種涂法。變式：用5種顏色給四面體的四個(gè)頂點(diǎn)涂色， 要求鄰點(diǎn)不同色的涂法共有多少種？P答案：C54 A：,或 C5（33 3） =120 種三、線段涂色用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想把點(diǎn)涂色問(wèn)題轉(zhuǎn)化為區(qū)域涂色問(wèn)題。例5、用6種顏色給四面體的6條棱涂色，要求鄰棱不同色的涂法共有多少種?解析：把圖轉(zhuǎn)化為:1）恰用3色，則1、6; 2、5; 3、4分別同色，有C3A； 120種涂法；2）恰用4色，則1、6; 2、5; 3、4有

8、兩對(duì)分別同色，如1、6; 2、5同色，3、4有A：種涂法，兩同色組有A2種涂法，共有C：C；A：A22種涂法3）恰用5色，則1、6; 2、5; 3、4有1對(duì)分別同色，如1、6;則3、4, 2、5有a4種涂法,共有C；c1a4種涂法4）恰用6色，有A66種涂法;綜上所述：共有4080種涂法。評(píng)析，若你很難轉(zhuǎn)化為區(qū)域問(wèn)題，就不要轉(zhuǎn)化，按線段的相對(duì)性可做。四、面涂色問(wèn)題同上面說(shuō)過(guò)的方法類似，能轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)，否則用面的相對(duì)性求解。例7、用6種顏色（可選擇）給正方體的6個(gè)面涂色，要求鄰不同色,有多少種不同的涂法？解析：圖轉(zhuǎn)化為1）恰用3色，有a3=24種；2）恰用4色，有c； A：=72種共有96種。五、恰用色與可選色的聯(lián)系設(shè)保底色為涂法數(shù)為am,恰用色涂法數(shù)為國(guó),則可選色涂法數(shù)m+i + -+an例8、用4種顏色給如下區(qū)域涂色，顏色必須用完，相鄰區(qū)域不同色,有多少種涂法解析：按要求涂色，最少要3種顏色（保底色），用3色涂之，1有3 種；2有2種；3有1種；4與1同色時(shí)，5有2種，4與2同色時(shí)， 5有2種，共有C43（3 2 1 2 2） 96種涂法；4色可選時(shí)，有4 3 2 3 3 216種；那么，恰用四色有216-96=120種。法2: 1