高中數(shù)學(xué)求函數(shù)解析式經(jīng)典精講精練

1、f (t) t2 2求函數(shù)解析式常用的方法(一)待定系數(shù)法它適用于已知所求函數(shù)類型(如一次函數(shù)，二次函數(shù)，正、反例函數(shù)等)及函數(shù)的某些特征求其解析式的題目。其方法: 已知所求函數(shù)類型，可預(yù)先設(shè)出所求函數(shù)的解析式，再根據(jù)題意列出方程組求出系數(shù)。a(x1:已知f(x)是二次函數(shù)，若f (0)0,且 f (x 1) f(x)x 1試求f (x)的表達(dá)式。析：1)2設(shè) f(x)2.ax bx cb(x1)2ax2abx c12120(a 0),由 f (0),一 2x 1 ,整理得ax0,(2 ab)x a由 f(x 1) f(x) x12b c ax (b c)xf(x)1 2-x2小結(jié)：我們只要明

2、確所求函數(shù)解析式的類型,便可設(shè)出其函數(shù)解析式,設(shè)法求出其系數(shù)即可得到結(jié)果。類似的已知f(x)為一次函數(shù)時，可設(shè) f(x)=ax+b(a，0)； f(x)為反比例函數(shù)時，可設(shè)f(x)= k (k，0); f(x)為二次函數(shù)時，根據(jù)條件可設(shè) x一般式：f(x)=ax2+bx+c(a，0)頂點(diǎn)式：f(x)=a(x- h)2+k(a，0)雙根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a，0)例1設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且ff(x)解：設(shè)f (x)ax(a4x 3 ,求 f (x)f f (x) af (x) b a(ax b)2,x ab baba 2 f(x) 2x 1b 3f(x) 2x 3用來處理

3、不知道所求函數(shù)的類型,(二)換元法且函數(shù)的變量易于用另一個變量表示的問題。它主要適用于已知復(fù)合函數(shù)的解析式，但使用換元法時要注意新元定義域的變化，最后結(jié)果要注明所求函數(shù)的定義域。例2:已知f(Jx 1) x 2，x 1,求f(x)的解析式。解析：如果把 Jx 1視為t,那左邊就是一個關(guān)于t的函數(shù)f(t),只要在等式xX 1 t中，用t表示x，將右邊化為t的表達(dá)式，問題即可解決。令& 1 tf(t),9_ ,、2(t 1)2(t 1) 1 t小結(jié)：已知fg(x)是關(guān)于x的函數(shù),f(x)2/x (x即fg(x)=F(x),求f(x)的解析式，通常令g(x)=t , 再用x替換t ,便得f(x)的解

4、析式。1)由此能解出x=(t),將x=(t)代入fg(x)=F(x)中，求得f(t)的解析式,注意：換元后要確定新元 t的取值范圍。(三)配湊法已知復(fù)合函數(shù) fg(x) 的表達(dá)式，要求f (x)的解析式時，若 fg(x) 表達(dá)式右邊易配成 g(x)的運(yùn)算形式，則可用配 湊法，使用配湊法時，要注意定義域的變化。例3：分析：Q已知 f(、x 1) x 2 Jx可配湊成x 2jx,求f (x)的解析式。可用配湊法，解：由f(jx 1) x 2H (jx )2 1,令t xm則 f (t)得x (t f(t)2-t 1,即 f (x)1)22(t 1)2 2(t 1)2x 1(x 1),，即 f(x)

5、 t2 1當(dāng)然，上例也可直接使用換元法，令 t Vx_1 ,則t Vx 12x 1(x1),由此可知，求函數(shù)解析式時，可以用配湊法來解決的，有1T，求 f (x). x些也可直接用換元法來求解。12例4:已知f (x) xx解析：由 f(x 1)x24(x 1)22,令t x 1x2tx 1 0，由 0 即 t2 4 0得 t Rxx xx-2_即：f (x) x 2(x R)實(shí)質(zhì)上，配湊法和換元法一樣，最后結(jié)果要注明定義域。一一， 1。1例2已知f(x -)x2(x 0),求f(x)的解析式x x11、21-2解： f(x ) (x )2, x 2 f (x) x 2 (x 2)xxx(四)

6、消元法，此方法的實(shí)質(zhì)是解函數(shù)方程組。條件中，有若干復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)f(x)混合運(yùn)算，則要充分利用變量代換，然后聯(lián)立方程組消去其余部分。例5:設(shè)f (x)滿足f (x) 21f () x,求f(x)的解析式。 x1.分析：要求f(x)可消去f(一)，為此，可根據(jù)題中的條件再找一個關(guān)于1 一f (x)與f (上)的等式，通過解方程組達(dá)到消元 x的目的。解析：Q f (x)1 2f(1) xx，顯然，x 11f (-) 2f(x)由f(x)12 f (一)x消去1f(一)，得 f(x) x1-x 33x解 f(f(x)f (x)為偶函數(shù),x) f (x), g(g(x) xg(x)為奇函數(shù)，又f (

7、x)x) g(x)，又 f(x) g(x)g(x)，解聯(lián)立的方程組，得1f (x)f(1)x2f(x)1、e ,、，試求f (x)和g(x)的解析式1g( x)1T x,、11g(x)小結(jié)：消元法適用于自變量的對稱規(guī)律?；榈箶?shù)，如1f(x)、f (-);互為相反數(shù)，如 f(x)、f(-x),通過對稱代換構(gòu)造一 x個對稱方程組，解方程組即得f(x)的解析式。其方法：將適當(dāng)變量取特殊值,(五)賦值法使問題具體化、簡單化，依據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從而找出一般規(guī)律，求出解析式。例5:已知f (0)解析：令a 0,則 f ( b)令b x則 f(x) x21,f(af(0)小結(jié)：所給函數(shù)方程含有b) f (a)

8、 b(2a2b(1 b) b b2個變量時，可對這b 1),求 f (x)。2個變量交替用特殊值代入，或使這 2個變量相等代入，再用已知條件,簡單化,解：設(shè)M (x, y)為yg (x)上任一點(diǎn)，且 M (x , y )為M (x, y)關(guān)于點(diǎn)(2,3)的對稱點(diǎn)x2 y22,解得:點(diǎn) M (x , y )在 y g(x)上,y,.、22(x 4)( x 4),整理得 y x7x 6g(x)x62x4代人得:y7x 6可求出未知的函數(shù)，至于取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定。 通過取某些特殊值代入題設(shè)中等式，可使問題具體化、 從而順利地找出規(guī)律，求出函數(shù)的解析式。六、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某

9、條直線的對稱函數(shù)時，一般用代入法。例4已知：函數(shù)y x2x與y g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱，求g(x)的解析式b)七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式。例8設(shè)f(x)是定義在N上的函數(shù)，滿足f(1) 1,對任意的自然數(shù)a,b都有f(a) f (b) f(af(x)解 f (a) f (b) f (a b)ab, a,b N ,不妨令a x,b1 ，得:又 f(1) 1,故f(x 1) f(x)x 1 分別令式中的x 1,2L n1得:f(x)f(2)f(3)L Lf(n)f (1) f (x 1) x,f(

10、1)f(2)f(n加得：f(n) f (1) 2 3 n,f(n)f(x)五、待定系數(shù)法例5.已知二次函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為 的實(shí)根，求f (x)的解析式。a,且不等式f(x)2x的解集為(12,3,將上述各式相1) n,方程f(x) 6a 0有兩個相等解：因?yàn)?axf(x) 2x 0的解集為(1,3)設(shè) f(x) 2x a(x1)(x 3),且a所以f(x)得六、函數(shù)性質(zhì)法(2 4a)x 3a 由方程 f(x) 6a 0(21 2-x52得ax(24a)x 9a所以 f(x) a(x 1)(x 3) 2x4a)26-x54a 9a 0 即 5a2 4a 1 0,解得利用函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性

11、、單調(diào)性、周期性等求函數(shù)解析式的方法。例6.已知函數(shù)y f (x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng) 解析：因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)f(x)f(x) f( x) (3 x 1)3 x 1 所以七、反函數(shù)法利用反函數(shù)的定義求反函數(shù)的解析式的方法。例7.已知函數(shù)y解：因?yàn)閤 0 , 八、“即時定義”法ln x 1(x 0)y ln x 1 R由 y ln x 1,得 lnx所以x ey1因?yàn)榉匠逃袃蓚€相等的實(shí)根, ，10,所以a - a5 ,將0日t,f (x) 3xf( x)1,求f(x)的解析式。f(x)，即 f(x) f(x)0時,x,求它的反函數(shù)。y 1,3x1,x 0 x 1,x反函數(shù)為(xR)給出一

12、個“即時定義”函數(shù)，根據(jù)這個定義求函數(shù)解析式的方法。f(x) g(x)，當(dāng)x Df且x Dgh(x)例8.對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y f(x), y g(x)規(guī)定:函數(shù)f(x)，當(dāng) xg(x)，當(dāng) xDf 且 xDg,Df 且 x dggf(x)若九、建模法12一；,g(x) xh 、x 1，寫出函數(shù)h(x)的解析式。解:h(x)x 1,x1, x 1(,1)(1,),例9.用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個無蓋的容器,先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成(如圖1),問該容器的高為多少時，容器的容積最大？最大容積是多少?圖I解： 設(shè) 容 器 高 為

13、xcm , 容 器 的 容 積 為 V(x)cm3,則V(x) x(90 2x)(48 2x) 4x3 276x2 4320x(0 x 24) 求 V(x)的 導(dǎo)數(shù)，得 V(x) 12x2 552x 4320 2 12( x2 46x 360) 12(x 10)(x 36)令V(x) 0,得xi 10,x2 36(舍去)，當(dāng) 0 x 10時，V(x) 0 ,那么 V(x)為增函數(shù)；當(dāng) 10 x 24時,V(x) 0 ,那么 V(x)為減函數(shù)；因此，在定義域(0, 24 )內(nèi)，函數(shù)V(x)只有當(dāng)x 10時取得最大值，其最大值為 V(10) 10 (90 20) (48 20) 19600(cm3

14、)函數(shù)專題之解析式問題特定系效法例注二故二次函數(shù)， 滿足了-=/(-刁 且圖繪在j細(xì)上的載距為1.在k軸制 得的爨段 也為2垂，4U1 的孵析式.版也一、k - I-3甲.- 4 - if a 顯。 1/Wfl 口 -1-也冷-9,+1解法二：由 /(x-2) = J(-x-2)得j =(幻的常琢始* r = -2設(shè)FW =日 + 2 +比V /CO) = 14十上二1,卜,-工卜2點(diǎn)一 2后=2應(yīng)a - -= -12 1= lx1 + 2/ + L2泰元法例息：根據(jù)條件，分別求出函軻(Q 的好折式(1)/(1 +1)二 二1X 尹，0+二工、3XX 無法(15 包 41+-=f1乂N -=

15、f-1 且才=1 x-1 = - 2f厚/=1-2工。工1)三【配湊法(整體代換法)】若已知 f (g(x) 的表達(dá)式，欲求 f(x)的表達(dá)式，用換元法有困難時，(如g(x)不存在反函數(shù))可把 g(x)看成一個整體,把右邊變?yōu)橛蒰(x)組成的式子，再換元求出f(x)的式子。繳配法(2)JT=，O + b = O+L尸一2用，唇式中的14 L又再唱蛆】十；之2一丁口八”-a 3隹公代入法WB=-X. + -的由g C.G關(guān)于貞氏2,。對麻的圖靠為C .小G對應(yīng)的函毅式刈的表達(dá)式.髀：劭圖安士在一叁(X,# .則美干峪1)有賽點(diǎn)為“-“3-同在4/3,SH 2 - y -4-e + * 1III

16、J-jc-34 ji- 4敬副司t-a十小年于不例題:已知必XM+Vdl7。*。求/*解得左)哼W1)【例題】已知f(x-1)= x2-4x ,解方程f(x+1)=022222解 1:f(x-1)= (x1)-2(x-1)-3,f(x)= x -2x-3f(x+1)= (x 1) -2(x+1)-3= x -4,.x -4=0, x=22222解 2:f(x-1)= x -4x,f(x+1)=f(x+2)-1= (x 2) -4(x+2)= x -4,. x -4=0, x= 222f(3)f(4)f (2005)f(2)f(3)f (2004)f (x) 1，求f (x)的解析式.2解 3:

17、令 x-1=t+1 ,則 x=t+2 , ： f(t+1)= (t 2) -4(t+2)= t -4題5.若 f(x y) f(x) f(y),且 f(1)2,求值上f(1)練習(xí)5.設(shè)f(x)是定義在N上的函數(shù)，且f(1)2, f(x 1)六.利用給定的特性求解析式 .題6.設(shè)f (x)是偶函數(shù)，當(dāng)x。時，f(x) e x2 ex,求當(dāng)x0時，f (x)的表達(dá)式.練習(xí) 6.對 x R, f (x)滿足 f (x) f (x 1),且當(dāng) x e 1, 0時，f (x) x2 2x 求當(dāng) x 9 , 10時 f (x)的 表達(dá)式.七.歸納遞推法x 1題 7.設(shè) f(x) 記 fn(x) f f f

18、(x),求 f2004 (x).x 1八.相關(guān)點(diǎn)法1一y x感8.已知函數(shù)f(x) 2,當(dāng)點(diǎn)P(x, y)在y= f (x)的圖象上運(yùn)動時，點(diǎn) Q(,)在y=g(x)的圖象上，求函數(shù)g(x).2 3九.構(gòu)造函數(shù)法k題9.若f(x)表小x的n次多項(xiàng)式，且當(dāng)k=0, 1, 2,，n時， f (k)，求f (x).k 1訓(xùn)練例題-131(4)已知 f (x ) x33 ,x x.一1,1斛：(4) f(x -) x x x3f (x) x 3x( x 2或 x“2(5)令一 1 t (t 1),則 x x2 ,、， 一、求 f (x) ; (5)已知 f (一 1) lgx,求 f(x);x1 31

19、(x -)3 3(xxx2 ).2.2.2一,f(t) lg ， f(x) lg- t 1t 1x 1(x(8)甲地到乙地的高速公路長 1500公里，現(xiàn)有一輛汽車以100公里/小時的速度從甲地到乙地， 里)表示成時間t (小時)的函數(shù)。解：;汽車在甲乙兩地勻速行駛，：S= 100t , 二汽車行駛速度為100公里/小時，兩地距離為1)-寫出汽車離開甲地的距離 S公1500公里，：從甲地到乙地所1500 用時間為t= 上小時答：所求函數(shù)為：S= 100t te0, 15100(9)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2 %,糧食總產(chǎn)量平均每年增長 4%那么x年后若

20、人均一年占有y千克1M食.求出函數(shù)y關(guān)于x的解析式。解：設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口為 A,則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口數(shù)為 A(1+1.2%), 2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為 A (1+1.2 %) 2-經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口數(shù)為 A(1 + 1.2 %)x。再設(shè)現(xiàn)在某鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B,則1年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)的糧食產(chǎn)量為 B(1十4%),2年后的此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為B (1 + 4%) 2，經(jīng)過x年后此鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食產(chǎn)量為 B (1 + 4%) x,因某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食為xx360 kg ,即=360,所以x年后的人均一年占有糧食為 y,即丫= B(1 4%)360(1 4 %)(xGN)AA(1 1.2%) x (1 1.2%

21、) x(10)我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采取價(jià)格調(diào)控等手段來達(dá)到節(jié)約用水的目的，某地用水收費(fèi)的方法是：水費(fèi)=基本費(fèi)十超額費(fèi)十損耗費(fèi).若每月用水量不超過最低限量a m3時，只付基本費(fèi)8元和每月每戶的定額損耗費(fèi) c元；若用水量33超過a m時，除了付同上的基本費(fèi)和定額損耗費(fèi)外，超過部分每m付b元的超額費(fèi)。已知每尸每月的定額損耗費(fèi)不超過5元。該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)如下表所示:月份用水量(m3)水費(fèi)(元)1992151932233根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求 a、b、ca (1)c,x a (2)33,22 m均大于最低限量a m ,于是就有9代入(2)式，得9 8 2(9 a) c,即38 c,0 x解：設(shè)每月用水量為 x m ,支付費(fèi)用為 y元，則有y8 b(x a)由表知第二、第三月份的水費(fèi)均大于13元，故用水量15 m319 8 b(15 a) c a ，解之得b 2,從而2a c 19(3)33 8 b(2