_平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

1、第十六章第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集與多元函數(shù)2 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限3 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù)平面點(diǎn)集與多元函數(shù) 多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣, , 它保留著一元它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì)函數(shù)的許多性質(zhì), , 同時又因自變量的增多而產(chǎn)同時又因自變量的增多而產(chǎn)生了許多新的性質(zhì)生了許多新的性質(zhì), , 讀者對這些新性質(zhì)尤其要讀者對這些新性質(zhì)尤其要加以注意加以注意. . 下面著重討論二元函數(shù)下面著重討論二元函數(shù), , 由二元函數(shù)由二元函數(shù)可以方便地推廣到一般的多可以方便地推廣到一般的多元函

2、數(shù)中去元函數(shù)中去. . 一、一、 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 二、二、 R2 上的完備性定理上的完備性定理 三、三、 二元函數(shù)二元函數(shù) 四、四、 n 元函數(shù)元函數(shù)一、平 面 點(diǎn) 集 平面點(diǎn)集的一些基本概念平面點(diǎn)集的一些基本概念 由于二元函數(shù)的定由于二元函數(shù)的定坐標(biāo)平面上滿足某種條件坐標(biāo)平面上滿足某種條件 P 的點(diǎn)的集合的點(diǎn)的集合, 稱為平稱為平( ,) ( ,).Ex yx yP滿足條件滿足條件對對 與平面上所有點(diǎn)之間建立起了一一對應(yīng)與平面上所有點(diǎn)之間建立起了一一對應(yīng).( , )x y在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后, 所有有序?qū)崝?shù)所有有序?qū)崝?shù) 義域是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集義域是坐標(biāo)平

3、面上的點(diǎn)集, 因此在討論二元函數(shù)因此在討論二元函數(shù)之前，有必要先了解平面點(diǎn)集的一些基本概念之前，有必要先了解平面點(diǎn)集的一些基本概念. 面點(diǎn)集面點(diǎn)集, 記作記作例如：例如： (i) 全全平平面面: : 2R( ,)|,.(1)x yxy222(ii)( ,).Cx yxyr圓:圓:(2)(iii)( ,),Sx yaxb cyd矩形:矩形:(3)00(iv)(,): A xy 點(diǎn)點(diǎn)的的鄰鄰域域00( ,)|,|()x yxxyy 與與方方形形 . . , , .Sa bc d也常記作：也常記作：22200( ,)()()()x yxxyy 圓形圓形圖圖 16 1 CSxxyyOOabcdr(a)

4、 圓圓 C (b) 矩形矩形 S AA 圖圖 16 2 xxyyOO(a) 圓鄰域圓鄰域 (b) 方鄰域方鄰域 由于點(diǎn)由于點(diǎn) A 的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn)的任意圓鄰域可以包含在點(diǎn) A 的某一的某一方鄰域之內(nèi)方鄰域之內(nèi)(反之亦然反之亦然), 因此通常用因此通常用“點(diǎn)點(diǎn) A 的的 鄰鄰 用記號用記號 或或 來表示來表示. ( ; )U A ( )U A點(diǎn)點(diǎn) A 的的空心鄰域空心鄰域是指是指:22200( ,)0()()()x yxxyy 圓圓0000( ,) |,|,( , )(,) (),x yxxyyx yxy方方或或并用記號并用記號 (;()()UAUA 或或 來表示來表示. 域域” 或或

5、“點(diǎn)點(diǎn) A 的鄰域的鄰域” 泛指這兩種形狀的鄰域泛指這兩種形狀的鄰域, 并并00( ,) 0|, 0|.x yxxyy 注意注意: 不要把上面的空心方鄰域錯寫成不要把上面的空心方鄰域錯寫成 : ( 請指請指出出 點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系以下三種關(guān)系之一以下三種關(guān)系之一 : 2RA 2RE 任意一點(diǎn)任意一點(diǎn) 與任意一個點(diǎn)集與任意一個點(diǎn)集 之間必有之間必有 E 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn); 由由 E 的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為的全體內(nèi)點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E (i) 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)若若0,( ; ),U AE 使使則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) A是是 的的內(nèi)部內(nèi)部, 記作記作 int E. 錯在何處錯在何處? )(ii)

6、外點(diǎn)外點(diǎn) 若若0,( ; ),U AE 使使則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) A 是是 E 的外點(diǎn)的外點(diǎn); 由由 E 的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱的全體外點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱 c( ;)( ;)U AEU AE 且且0, (iii) 界點(diǎn)界點(diǎn) 若若 恒有恒有 c2R EE ( 其中其中 ), 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) A 是是 E 的界點(diǎn)由的界點(diǎn)由 E .E 的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為的全體界點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的的邊界邊界, 記作記作注注 E 的內(nèi)點(diǎn)必定屬于的內(nèi)點(diǎn)必定屬于 E; E 的外點(diǎn)必定不屬于的外點(diǎn)必定不屬于 E; E 的界點(diǎn)可能屬于的界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E. 并請注意并請注意: 為為 E 的的

7、外部外部. EE 2R cEE 只有當(dāng)只有當(dāng)時時, E 的外部與的外部與 才是兩才是兩 個相同的集合個相同的集合. 22( ,)14 . (4)Dx yxy圖圖 16 3xyO12例例1 設(shè)平面點(diǎn)集（見圖設(shè)平面點(diǎn)集（見圖 16 3）于于D; 滿足滿足 的一切點(diǎn)也的一切點(diǎn)也224xy 221xy 是是 D 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn); 滿足滿足 的一切點(diǎn)是的一切點(diǎn)是 D 的界點(diǎn)的界點(diǎn), 它們都屬它們都屬2214xy 滿足滿足 的一切點(diǎn)都的一切點(diǎn)都是是 D 的界點(diǎn)的界點(diǎn), 但它們都不屬于但它們都不屬于 D.點(diǎn)點(diǎn) A 與點(diǎn)集與點(diǎn)集 E 的上述關(guān)系是按的上述關(guān)系是按 “內(nèi)內(nèi)-外外” 來區(qū)分來區(qū)分的的. 此外，還可按

8、此外，還可按 “疏疏-密密” 來區(qū)分，即在點(diǎn)來區(qū)分，即在點(diǎn) A 的近的近旁旁是否密集著是否密集著 E 中無窮多個點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系中無窮多個點(diǎn)而構(gòu)成另一類關(guān)系: (i) 聚點(diǎn)聚點(diǎn) 若在點(diǎn)若在點(diǎn) A 的任何空心鄰域的任何空心鄰域()UA內(nèi)都內(nèi)都 含有含有 E 中的點(diǎn)，則稱點(diǎn)中的點(diǎn)，則稱點(diǎn) A 是點(diǎn)集是點(diǎn)集 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)注注1 聚點(diǎn)本身可能屬于聚點(diǎn)本身可能屬于E，也可能不屬于，也可能不屬于E. 注注2 聚點(diǎn)的上述定義等同于聚點(diǎn)的上述定義等同于: “在點(diǎn)在點(diǎn) A 的任何鄰域的任何鄰域 ()U A內(nèi)都含有內(nèi)都含有 E 中的無窮多個點(diǎn)中的無窮多個點(diǎn)”. 注注3 E 的全體聚點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為的全體聚

9、點(diǎn)所構(gòu)成的集合稱為 E 的導(dǎo)集的導(dǎo)集, 記記 d();EE 或或dEE作作 又稱又稱 為為 E 的的閉包閉包, 記作記作 .E例如例如, 對于例對于例1 中的點(diǎn)集中的點(diǎn)集 D, 它的導(dǎo)集與閉包同為它的導(dǎo)集與閉包同為d22( , ) 14.Dx yxyD其中滿足其中滿足 224xy 的那些聚點(diǎn)不屬于的那些聚點(diǎn)不屬于D, 而其余而其余 所有聚點(diǎn)都屬于所有聚點(diǎn)都屬于 D.(ii) 孤立點(diǎn)孤立點(diǎn) 若點(diǎn)若點(diǎn) AE , 但不是但不是 E 的聚點(diǎn)（即存的聚點(diǎn)（即存 在某在某 0, 使得使得 ( ;),UAE 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) A 是是 E 的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn). 注注 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn)孤立點(diǎn)必為界點(diǎn); 內(nèi)點(diǎn)和不是孤立

10、點(diǎn)的界點(diǎn)必內(nèi)點(diǎn)和不是孤立點(diǎn)的界點(diǎn)必 為聚點(diǎn)為聚點(diǎn); 既非聚點(diǎn)既非聚點(diǎn), 又非孤立點(diǎn)又非孤立點(diǎn), 則必為外點(diǎn)則必為外點(diǎn). 例例2 設(shè)點(diǎn)集設(shè)點(diǎn)集 ( , ),.Ep qp q 為任意整數(shù)為任意整數(shù) 顯然顯然, E 中所有點(diǎn)中所有點(diǎn) ( p, q ) 全為全為 E 的孤立點(diǎn)的孤立點(diǎn); 并有并有 d, int,.EEEE 一些重要的平面點(diǎn)集一些重要的平面點(diǎn)集 根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì)根據(jù)點(diǎn)集所屬的點(diǎn)所具有的特殊性質(zhì), 可來定義一可來定義一 些重要的點(diǎn)集些重要的點(diǎn)集. 開集開集 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E 所屬的每一點(diǎn)都是所屬的每一點(diǎn)都是 E 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)( 即即 E = int E ), 則稱則稱 E

11、為開集為開集. 閉集閉集 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E 的所有聚點(diǎn)都屬于的所有聚點(diǎn)都屬于 E (),EE 即即則稱則稱 E 為閉集為閉集. 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E 沒有聚點(diǎn)沒有聚點(diǎn)d(),E 即即這時也稱這時也稱 E 為閉集為閉集. 例如前面列舉的點(diǎn)集中例如前面列舉的點(diǎn)集中, (2)式所示的式所示的 C 是開集是開集; (3) 式所示的式所示的 S 是閉集是閉集; (4)式所示的式所示的 D 既非開集既非開集, 又又 非閉集非閉集; 而而(1)式所示的式所示的 R2 既是開集又是閉集既是開集又是閉集. 在在 平面點(diǎn)集中平面點(diǎn)集中, 只有只有 R2 與與 是既開又閉的是既開又閉的. 開域開域 若非空開集若非空開集

12、 E 具有連通性具有連通性, 即即 E 中任意兩中任意兩 點(diǎn)之間都可用一條完全含于點(diǎn)之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接的有限折線相連接, 則稱則稱 E 為開域?yàn)殚_域. 簡單地說簡單地說, 開域就是非空連通開集開域就是非空連通開集. 閉域閉域 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域開域連同其邊界所成的集合稱為閉域. 區(qū)域區(qū)域 開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所成開域、閉域、開域連同其一部分界點(diǎn)所成 的集合的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域. 不難證明不難證明: 閉域必為閉集閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域而閉集不一定為閉域. 在前述諸例中在前述諸例中, (2)式的式的 C 是開域是開域, (3

13、)式的式的 S 是閉是閉 域域, (1)式的式的 R2 既是開域又是閉域既是開域又是閉域, (4)式的式的 D 是區(qū)是區(qū) 域域 (但既不是開域又不是閉域但既不是開域又不是閉域). 又如又如 ( ,)|0 ,(5)Gx yxy它是它是 I、 III 兩象限之并集兩象限之并集. 雖然它是開集雖然它是開集, 但因但因不具有連通性不具有連通性, 所以它既不是開域所以它既不是開域, 也不是區(qū)域也不是區(qū)域. 0,r 有界點(diǎn)集有界點(diǎn)集 對于平面點(diǎn)集對于平面點(diǎn)集 E, 若若使使 ( ; ),EU O r 其中其中 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)(也可以是其他固定點(diǎn)也可以是其他固定點(diǎn)), 則稱則稱 E 是有界點(diǎn)集是有

14、界點(diǎn)集, 否則就是無界點(diǎn)集否則就是無界點(diǎn)集 (請具體寫出定義請具體寫出定義). 前面前面 (2), (3), (4) 都是有界集都是有界集, (1) 與與 (5) 是無界集是無界集. E 為有界點(diǎn)集的另一等價說法是為有界點(diǎn)集的另一等價說法是: 存在矩形區(qū)域存在矩形區(qū)域 , ,.a bc dE 此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來反映此外，點(diǎn)集的有界性還可以用點(diǎn)集的直徑來反映, 所謂點(diǎn)集所謂點(diǎn)集 E 的的直徑直徑, 就是就是 1212,()sup(,),PPEd EPP 其中其中(P1, P2) 是是 P1 (x1, y1) 與與 P2 (x2, y2)之間的距之間的距 離離, 即即 2212

15、1212(,)()() .P Pxxyy 于是于是, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) d(E) 為有限值時為有限值時, E為有界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集. 根據(jù)距離的定義根據(jù)距離的定義, 不難證明如下三角形不等式不難證明如下三角形不等式: 121323(,)(,)(,).P PP PPP 舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)舉例討論上述點(diǎn)集的性質(zhì)例例3 證明證明: 對任何對任何2R ,S S 恒為閉集恒為閉集. 證證 如圖如圖16 4 所示所示, 設(shè)設(shè)0 xS 為為的任一聚點(diǎn)，欲證的任一聚點(diǎn)，欲證（即（即 亦為亦為S0 xS 的界的界 0 x點(diǎn)）點(diǎn)）. 為此為此0, 由聚點(diǎn)定義，存在由聚點(diǎn)定義，存在 0(;).yUxS SS 0

16、x0(; )Ux ( ; )U y y圖圖 16 y0( ;)(; ),U yU x 再由再由為界點(diǎn)的定義為界點(diǎn)的定義, 在在 的點(diǎn)的點(diǎn). 由此推知由此推知在在 內(nèi)既有內(nèi)既有SS( ;)U y 的點(diǎn)的點(diǎn), 又有非又有非 S0 x0 xS 的任意性的任意性, 為為的界點(diǎn)的界點(diǎn), 即即, 這就證這就證得得 S 為閉集為閉集 注注 類似地可以證明類似地可以證明: 對任何點(diǎn)集對任何點(diǎn)集2dR ,SS 導(dǎo)集導(dǎo)集 亦恒為閉集亦恒為閉集. ( 留作習(xí)題留作習(xí)題 ) 2c2R ,R .EEE例例4 4 設(shè)設(shè) 試證試證 E 為閉為閉 集的充要條件是：集的充要條件是： c,int().cEEEEE 或或SS0(;

17、 )U x 內(nèi)既有內(nèi)既有的點(diǎn)的點(diǎn), 又有非又有非 的點(diǎn)的點(diǎn). 所以所以, 由由 dccint()EEEEEEEE 圖圖 16 5 證證 下面按循環(huán)流程圖下面按循環(huán)流程圖16 5 來分別作出證明來分別作出證明. . dEEE 已知已知為閉集為閉集( ( 即即 ),),欲證欲證E.EEE ,pE pEE為為此此或或是是的的聚聚點(diǎn)點(diǎn) 或或是是的的孤孤立立點(diǎn)點(diǎn). . dd,pEEEpE若， 則由得； 而孤立點(diǎn)必屬若， 則由得； 而孤立點(diǎn)必屬.EEE EEE于； 從而， 故于； 從而， 故 反之顯然有反之顯然有 .EEE 綜合起來綜合起來, , 便證得便證得 int.EEE EEE ，cint().cE

18、E 已知已知 欲證欲證 為此為此 c,pEpEEEpE則則而而由由故故必必為為的的 外點(diǎn)外點(diǎn), , ,0,( ; ).U pE 按按定定義義使使從從而而cccc( ; ),int().U pEpEEE 故故是是的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn) 即即 ccccint().int().EEEE有這就證得有這就證得反之顯然反之顯然 ccdint(),.EEEEEp 已知欲證為此已知欲證為此c(,pEpE據(jù)條件可證若不然從而由據(jù)條件可證若不然從而由d,E ccint(), 0,( ; ),pEU pE條件推知故使條件推知故使d),.pEEE 與為的聚點(diǎn)相矛盾故這就證得與為的聚點(diǎn)相矛盾故這就證得注注 此例指出了如下兩個重要

19、結(jié)論此例指出了如下兩個重要結(jié)論: (i) 閉集也可用閉集也可用 “EEE ”來定義來定義 ( 只是使用只是使用 起來一般不如起來一般不如 “dEEE ”方便方便, 因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn)因?yàn)橛嘘P(guān)聚點(diǎn) 有許多便于應(yīng)用的性質(zhì)有許多便于應(yīng)用的性質(zhì) )d.EEE (ii) 閉集與開集具有對偶性質(zhì)閉集與開集具有對偶性質(zhì) 閉集的余集為開閉集的余集為開 集集; 開集的余集為閉集開集的余集為閉集. 利用此性質(zhì)利用此性質(zhì), 有時可以通有時可以通 過討論過討論 來認(rèn)識來認(rèn)識 E. cE例例5 以下兩種說法在一般情形下為什么是錯的以下兩種說法在一般情形下為什么是錯的? (i) 既然說開域是既然說開域是“非空連通開集非空連通開

20、集”，那么閉域就是，那么閉域就是 “非空連通閉集非空連通閉集”；D(ii) 要判別一個點(diǎn)集要判別一個點(diǎn)集是否是閉域是否是閉域, 只要看其去除只要看其去除 邊界后所得的是否為一開域邊界后所得的是否為一開域, 即即 DDD“若若為為開開域域, ,則則必必為為閉閉域域” . . 答答 (i) 例如取例如取( ,)|0 ,Sx yxy 這是一個非空連這是一個非空連 通閉集通閉集. 但因它是前面但因它是前面 (5) 式所示的集合式所示的集合 G 與其邊與其邊 SGG 界界 (二坐標(biāo)軸二坐標(biāo)軸) 的并集的并集 (即即), 而而 G 不是不是 開域開域, 故故 S 不是閉域不是閉域 (不符合閉域的定義不符合

21、閉域的定義). DEF(a) (b) (c) 圖圖 16 6 (ii) 如圖如圖16 6 所示所示, (a)中的點(diǎn)集為中的點(diǎn)集為 D; (b)中的點(diǎn)中的點(diǎn) ;EDD .FEE 集為集為 (c) 中的點(diǎn)集為中的點(diǎn)集為 易見易見 E 為一開域?yàn)橐婚_域, 據(jù)定義據(jù)定義 F 則為閉域；然而則為閉域；然而 ,DEEF 顯然不符合它為閉域的定義顯然不符合它為閉域的定義. ().DDD與與不不一一定定相相同同 由此又可見到由此又可見到:二、R2上的完備性定理 平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則平面點(diǎn)列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則 反映實(shí)數(shù)反映實(shí)數(shù) 系完備性的幾個等價定理系完備性的幾個等價定理, 構(gòu)成了一元函數(shù)極限理構(gòu)

22、成了一元函數(shù)極限理 論的基礎(chǔ)論的基礎(chǔ). 現(xiàn)在把這些定理推廣到現(xiàn)在把這些定理推廣到 R2, 它們同樣是它們同樣是 二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ)二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ). 2RnP 20RP 定義定義1 設(shè)設(shè) 為一列點(diǎn)為一列點(diǎn), 為一固定點(diǎn)為一固定點(diǎn). 00,N ,(; ),nNnNPU P 若若使使當(dāng)當(dāng)時時 則稱點(diǎn)列則稱點(diǎn)列 Pn 收斂于點(diǎn)收斂于點(diǎn) P0 , 記作記作 00lim().nnnPPPPn 或或000(,)(,),nnnPPxyxy當(dāng)當(dāng)與與分分別別為為與與時時 顯顯然然有有000limlimlim;nnnnnnPPxxyy且且 0(,),nnPP 若若記記 同樣地有同樣地有 0limlim0

23、.nnnnPP 由于點(diǎn)列極限的這兩種等價形式都是數(shù)列極限由于點(diǎn)列極限的這兩種等價形式都是數(shù)列極限, 因因 此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理此立即得到下述關(guān)于平面點(diǎn)列的收斂原理. 定理定理16.1(柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則) 2RnP 收斂的充要條件是收斂的充要條件是: 0,N ,NnN 使使當(dāng)當(dāng)時時 都都有有 (,),N .(6)nn pPPp 證（必要性）證（必要性）0lim,1,0,nnPP 設(shè)設(shè)則則由由定定義義 N ,()NnNnpN當(dāng)當(dāng)也也有有時時, , 恒恒有有 00(,),(,).22nnpPPPP 應(yīng)用三角形不等式應(yīng)用三角形不等式, 立刻得到立刻得到00(,)(,)(,).nn pn

24、n pPPPPPP (充分性充分性) 當(dāng)當(dāng) (6) 式成立時式成立時, 同時有同時有 |(,),n pnnn pxxPP |(,).n pnnn pyyPP 這說明這說明 xn 和和 yn 都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則, 所以它們都收斂所以它們都收斂. 00lim, lim,nnnnxxyy設(shè)從而設(shè)從而由點(diǎn)列收斂概念由點(diǎn)列收斂概念, 推知推知Pn收斂于點(diǎn)收斂于點(diǎn) P0(x0, y0). 06,nPEPE為為的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)存存在在各各項(xiàng)項(xiàng)互互異異的的例例 0lim.nnPP使得使得 ( 這是一個重要命題這是一個重要命題, 證明留作習(xí)題證明留作習(xí)題.) 下述區(qū)域套定理下述區(qū)域套定

25、理, 是區(qū)間套定理在是區(qū)間套定理在 R2 上的推廣上的推廣. 定理定理16.2(閉域套定理閉域套定理) 設(shè)設(shè) Dn 是是 R2 中的一列閉中的一列閉 域域, 它滿足：它滿足：1(i),1, 2,;nnDDn (ii)(), lim0.nnnndd Dd 圖圖 16 7 nD npD nPnpP 0P則存在唯一的點(diǎn)則存在唯一的點(diǎn) 0,1, 2,.nPDn 證證 任取點(diǎn)列任取點(diǎn)列 ,1, 2,.nnPDn ,n pnDD由由于于因因此此 ,nn pnPPD 從而有從而有 ( 參見圖參見圖16 7 ) (,)0,.nn pnPPdn 由柯西準(zhǔn)則知道存在由柯西準(zhǔn)則知道存在20R ,P使使得得 任意取定

26、任意取定 n, 對任何正整數(shù)對任何正整數(shù) p, 有有 .n pn pnPDD 再令再令,p 由于由于 Dn 是閉域是閉域, 故必定是閉集故必定是閉集, 因此因此 0P作為作為 Dn 的聚點(diǎn)必定屬于的聚點(diǎn)必定屬于 Dn , 即即0lim,1, 2,.npnpPPDn 0P0,1, 2,nPD n 最后證明最后證明 的唯一性的唯一性. 若還有若還有 則由則由 0000(,)(,)(,)20,nnnPPPPPPdn 0000(,)0,.PPPP 得得到到即即 0lim.nnPP 推論推論 00,N ,(; ).nNnNDU P 當(dāng)當(dāng)時時注注 把上面的把上面的 Dn 改為一列閉集改為一列閉集, 命題同

27、樣成立命題同樣成立. 下面討論下面討論2R中的聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理中的聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理. 定理定理16.3(聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理) 若若2RE 為有界無限點(diǎn)集為有界無限點(diǎn)集, 則則 E 在在 R2 中至少有一個聚點(diǎn)中至少有一個聚點(diǎn). 證證 現(xiàn)用閉域套定理來證明現(xiàn)用閉域套定理來證明. 由于由于 E 有界有界, 因此存因此存 在一個閉正方形在一個閉正方形1DE . 如圖如圖 16 8 所示所示, 把把 D1分成四個相同的小正方形分成四個相同的小正方形, 則在其中至少有一小閉則在其中至少有一小閉 正方形含有正方形含有 E 中無限多個點(diǎn)中無限多個點(diǎn), 把它記為把它記為 D2. 再對再對 E1D2D

28、3D圖圖 16 8 D2 如上法分成四個更小如上法分成四個更小 的正方形的正方形, 其中又至少有其中又至少有 一個小閉正方形含有一個小閉正方形含有 E 的無限多個點(diǎn)的無限多個點(diǎn). 如此下去如此下去, 得到一個閉正方形序列：得到一個閉正方形序列：123.DDD 很顯然很顯然, Dn 的邊長隨著的邊長隨著 n 而趨于零而趨于零. 于是由于是由閉域套定理閉域套定理, 存在一點(diǎn)存在一點(diǎn) 0,1, 2,.nMD n 最后最后, 由區(qū)域套定理的推論由區(qū)域套定理的推論, 0,n 當(dāng)充分大時當(dāng)充分大時0(; ).nDU M 又由又由 Dn 的取法的取法, 知道知道0(; )U M 中中含有含有 E 的無限多的

29、無限多個點(diǎn)個點(diǎn), 這就證得了這就證得了M0 是是 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). 推論推論 有界無限點(diǎn)列有界無限點(diǎn)列 2R ,nP 必存在收斂子列必存在收斂子列 .knP ( 證明可仿照證明可仿照 R 中的相應(yīng)命題去進(jìn)行中的相應(yīng)命題去進(jìn)行. ) 定理定理16.4(有限覆蓋定理有限覆蓋定理) 設(shè)設(shè)2RD 為一有界閉域?yàn)橐挥薪玳]域 , ().D 即則即則為一族開域?yàn)橐蛔彘_域 , 它覆蓋了它覆蓋了 D 在在 12,n 中必存在有限個開域中必存在有限個開域 它們它們 同樣覆蓋了同樣覆蓋了D, 即即 本定理的證明與本定理的證明與 R 中的有限覆蓋定理中的有限覆蓋定理 ( 定理定理 7.3 ) 相仿相仿, 在此從略在

30、此從略. 注注 將本定理中的將本定理中的 D 改設(shè)為有界閉集改設(shè)為有界閉集, 而將而將 改改設(shè)為一族開集設(shè)為一族開集, 此時定理結(jié)論依然成立此時定理結(jié)論依然成立 . 2R .E 例例7 設(shè)設(shè)試證試證 E 為有界閉集的充要條件為有界閉集的充要條件 .E是是: : E E 的任一無窮子集的任一無窮子集 Eq 必有聚點(diǎn)必有聚點(diǎn), 且聚點(diǎn)屬于且聚點(diǎn)屬于 1.niiD qEqE證證(必要性必要性) E 有界有界 有界有界, 由聚點(diǎn)定理由聚點(diǎn)定理 ,qE必有聚點(diǎn)必有聚點(diǎn). 又因又因的聚點(diǎn)亦為的聚點(diǎn)亦為 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn), 而而 E 為為 閉集閉集, , 所以該聚點(diǎn)必屬于所以該聚點(diǎn)必屬于 E (充分性充分性

31、) 先證先證 E 為有界集為有界集. 倘若倘若 E 為無界集為無界集, 則則 存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列,kPE 使使|( ,),1,2,.kkPO Pk k 易見易見kP這個子集無聚點(diǎn)這個子集無聚點(diǎn), , 這與已知條件相矛盾這與已知條件相矛盾. . 再證再證 E 為閉集為閉集. 為此設(shè)為此設(shè) P0 為為 E 的任一聚點(diǎn)的任一聚點(diǎn), 由聚由聚 點(diǎn)的等價定義點(diǎn)的等價定義, 存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列存在各項(xiàng)互異的點(diǎn)列 使使 ,kPE 0lim.kkPP kPqEqE0P現(xiàn)把現(xiàn)把 看作看作 , 由條件由條件 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn) ( 即即 ) 必必屬屬于于 E, , 所以所以 E 為閉集為閉集. 三、二

32、元函數(shù) 函數(shù)函數(shù)(或映射或映射)是兩個集合之間的一種確定的對是兩個集合之間的一種確定的對 應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系. R 到到 R 的映射是一元函數(shù)的映射是一元函數(shù), R2 到到 R 的映的映 射則是二元函數(shù)射則是二元函數(shù). 定義定義2 設(shè)平面點(diǎn)集設(shè)平面點(diǎn)集 , 若按照某對應(yīng)法則若按照某對應(yīng)法則 f , 2RD D 中每一點(diǎn)中每一點(diǎn) P ( x, y ) 都有唯一確定的實(shí)數(shù)都有唯一確定的實(shí)數(shù) z 與之與之 對應(yīng)對應(yīng), 則稱則稱 f 為定義在為定義在 D 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù) ( 或稱或稱 f 為為 D 到到 R 的一個映射的一個映射 ), 記作記作 :R .(7)fD 也記作也記作 ( ,),( ,)

33、;zf x yx yD 或點(diǎn)函數(shù)形式或點(diǎn)函數(shù)形式 (),.zf PPD 與一元函數(shù)相類似與一元函數(shù)相類似, 稱稱 D 為為 f 的定義域的定義域; 而稱而稱 ( )( , )zf Pzf x y或或 為為 f 在點(diǎn)在點(diǎn) P 的函數(shù)值的函數(shù)值; 全體函數(shù)值的集合為全體函數(shù)值的集合為 f 的的 值域值域, 記作記作 . 通常把通常把 P 的坐標(biāo)的坐標(biāo) x 與與 y 稱稱()Rf D 為為 f 的自變量的自變量, 而把而把 z 稱為因變量稱為因變量. 當(dāng)把當(dāng)把 和它所對應(yīng)的和它所對應(yīng)的 一起組成一起組成 ( , )x yD ( , )zf x y三維數(shù)組三維數(shù)組 ( x, y, z ) 時時, 三維

34、點(diǎn)集三維點(diǎn)集 3( , )|( ,),( ,)RSx y zzf x yx yD便是二元函數(shù)便是二元函數(shù) f 的圖象的圖象. 通常該圖象是一空間曲通常該圖象是一空間曲 面面, f 的定義域的定義域 D 是該曲面在是該曲面在 xOy 平面上的投影平面上的投影. 例例8 函數(shù)函數(shù)25zxy 的圖象是的圖象是 R3 中的一個平面中的一個平面, 其定義域是其定義域是 R2, 值域是值域是 R . 例例9 的定義域是的定義域是 xOy 平面上的平面上的 221()zxy單位圓域單位圓域 , 值域?yàn)閰^(qū)間值域?yàn)閰^(qū)間 0, 1 , 22( ,)|1x yxy它的圖象是以原點(diǎn)為中心的單位球面的上半部分它的圖象是

35、以原點(diǎn)為中心的單位球面的上半部分 ( 圖圖16 9 ). 例例10 是定義在是定義在 R2 上的函數(shù)上的函數(shù), 它的圖象是過它的圖象是過 zxy原點(diǎn)的雙曲拋物面原點(diǎn)的雙曲拋物面 ( 圖圖 16 10 ). xyzO1圖圖16 9 xyzO圖圖16 10 圖圖16 11 xyzOz1 z2 例例11 是是定義在定義在 R2 上的函數(shù)上的函數(shù), 值域值域 22zxy是全體非負(fù)整數(shù)是全體非負(fù)整數(shù), 它的圖象示于圖它的圖象示于圖 16 11. 若二元函數(shù)的值域若二元函數(shù)的值域 是有界數(shù)集是有界數(shù)集, 則稱函數(shù)則稱函數(shù) ()f Df在在 D上為一有界函數(shù)上為一有界函數(shù) ( 如例如例9 中的函數(shù)中的函數(shù)

36、) . 否則否則, ()f Df若若 是無界數(shù)集是無界數(shù)集, 則稱函則稱函數(shù)數(shù)在在 D上為一無界上為一無界 函數(shù)函數(shù) ( 如例如例8、10、11 中的函數(shù)中的函數(shù) ). 與一元函數(shù)類似地與一元函數(shù)類似地, 設(shè)設(shè) 2R ,D 則有則有 ,lim().kkkfDPDf P在在上上無無界界使使 例例12 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( 此函數(shù)在以后還有特殊用處此函數(shù)在以后還有特殊用處 ) 試用等高線法討論曲面試用等高線法討論曲面 ( , )zf x y 的形狀的形狀. (zc c ( , ),zf x y 解解 用用 為一系列常數(shù)為一系列常數(shù) ) 去截曲面去截曲面 得等高線方程得等高線方程 22222222,()

37、().xyxycxy xyc xyxy 或或2222, ( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y 當(dāng)當(dāng) 0c xOy時時, 得得 平面上的四條直線平面上的四條直線 0,0,.xyyxyx 當(dāng)當(dāng) 0c 時時, 由等高線的直角坐標(biāo)方程難以看出它由等高線的直角坐標(biāo)方程難以看出它 的形狀的形狀. 若把它化為極坐標(biāo)方程若把它化為極坐標(biāo)方程, 即令即令cos ,sin ,xryr 得到得到22sin44 ,4sin4 .rcrc 或或 如圖如圖16 12 所示所示, 為為0,1,3,5c 所對應(yīng)的一所對應(yīng)的一 族等高線族等高線. +1 +1 +1 +1 +3 +5 +3 +5 +3 +5 +3 +5 - 1 - 1 - 3 - 5 - 3 - 5