第六章_自由電子論和電子的運輸性質

1、1第六章第六章 自由電子論和電子的自由電子論和電子的輸運性質輸運性質經(jīng)典理論：經(jīng)典理論：上世紀初特魯?shù)略诶硐霘怏w理論基礎上發(fā)展起來的。假設：假設：金屬中存在著自由電子，與理想氣體分子一樣，服從經(jīng)典的玻爾滋曼統(tǒng)計。成功之處成功之處：很好說明了金屬導電、導熱等現(xiàn)象；遇到一些根本性矛盾遇到一些根本性矛盾：（1）金屬中自由電子對熱容量貢獻小。（2）電子具有很長“自由程”兩套自由電子論：經(jīng)典理論和量子理論。2量子力學和費米統(tǒng)計規(guī)律確立后，關于電子熱容量的矛盾才得到解決，在費米統(tǒng)計的基礎上重新建立起現(xiàn)代的金屬電子理論（索末菲）。費米統(tǒng)計和能帶論基礎上，逐步發(fā)展了關于輸運過程的量子理論。為處理電子運動以及電

2、子自由程問題提供了新的基礎。本章首先利用費米統(tǒng)計理論對價電子對金屬熱容量貢獻小的原因作解釋。利用費米統(tǒng)計和能帶理論從理論上解釋純金屬電阻率的實驗規(guī)律。3本本 章章 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容6.16.1 電子氣的費米能和熱容量電子氣的費米能和熱容量6.2 6.2 接觸電勢差接觸電勢差 熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射6.3 6.3 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程6.4 6.4 馳預時間的統(tǒng)計理論馳預時間的統(tǒng)計理論6.5 6.5 電子與聲子的相互作用電子與聲子的相互作用6.6 6.6 金屬的電導率金屬的電導率6.7 6.7 純金屬電阻率的統(tǒng)計模型純金屬電阻率的統(tǒng)計模型6.8 6.8 弱磁場下弱磁場下玻玻爾茲曼方程的解

3、爾茲曼方程的解6.9 6.9 金屬的熱導率金屬的熱導率46.1 電子氣的費米能和熱容量電子氣的費米能和熱容量一一 、費米能量、費米能量金屬中價電子價電子的運動決定了金屬的輸運特性。能帶理論是一種單電子近似，每個電子運動視為獨立的，具有一系列確定本征態(tài)。系統(tǒng)的宏觀態(tài)系統(tǒng)的宏觀態(tài)可由電子在這些本征態(tài)間的統(tǒng)計分布來描述。1、電子的費米分布函數(shù)、電子的費米分布函數(shù)（1）單電子近似到宏觀態(tài)）單電子近似到宏觀態(tài)5溫度T時，E 能級上分布的電子數(shù)目（費米狄費米狄拉克拉克統(tǒng)計）：1)(TkEEBFegnEF:費米能，化學勢費米能，化學勢簡并度簡并度電子的費米分布函數(shù)：電子的費米分布函數(shù)：溫度T時，能級E的一個

4、量子態(tài)上平均分布的電子數(shù)為n/g。11)()(TkEEBFeEf能量為E的每個量子態(tài)被電子占據(jù)的平均幾率（2）費米分布函數(shù)）費米分布函數(shù)6（1）T 0時，費米能級EF上，有一半量子態(tài)有電 子 = 一個量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率為 = 一量子態(tài)被電子填充和不被填充的幾率相等 （2）分布函數(shù)變化區(qū)域主要在EFkBT EF+kBT。T 0時,21)E(fF11)()(TkEEBFeEf不同溫度下的分布函數(shù)1.00.500KT0KEEFEF0EFkBTEF+kBT討論討論:72、自由電子模型的費米能量、自由電子模型的費米能量此能量區(qū)間的自由電子數(shù)目dE)E(fEC)E(dZfdNE E+dE能量范圍內(nèi)量子

5、態(tài)數(shù)目dEECdZ 2322)2(2mVCc其中（1） E E+dE能量范圍內(nèi)電子數(shù)目能量范圍內(nèi)電子數(shù)目8（2）T = 0K時的費米能時的費米能0F0FEE;0EE; 1)E(f電子濃度n = N/Vc得到32220)3(2nmEFmkE2/223/120F)n3(k（費米半徑）金屬中自由電子總數(shù)2300)(320FEECdEECNF2322)2(2mVCcEF0kF00K9（1）kF0是0K時電子的最大波矢。（2）費米半徑和0K的費米能只是電子濃度函數(shù)。 n 1028/m3：kF0 67109/m，EF0 幾eV。 即使是0K，由于電子遵從泡利不相容原理，不可能所有電子都處在最低能級E0上。

6、00235310FEEdEENCEdNNEF（4）絕對零度時電子的平均動能不等于0。2322)2(2mVCc 上式是電子服從費米分布的必然結果上式是電子服從費米分布的必然結果討論：討論：32220)3(2nmEF3/120F)n3(k（一般高于或遠高于金屬熔點）（3）費米溫度：K1010k/ET54B0F0F10T0 K時的費米能時的費米能若不存在電子發(fā)射，價電子總數(shù)不變 02302302132)(32)(dEEfECEECfdEEECfNTTF0或kBTEF0成立023dE)Ef(EC32NE時, f(E) 011偏微分函數(shù)在E = EF 處取極大值，偏離EF其值迅速減小。與(E-EF)函數(shù)

7、性質相似，積分值主要取決于EEF附近積分。Ef)E(f與Ef)E(fEEF )E(g)Tk(6)E(gF2B2F0dE)Ef)(E(g的性質及積分方程的解的性質及積分方程的解Ef023dE)Ef(EC32N120)(dEEfEgI改變積分下限dEEfEgI)(將g(E)在E=EF處展成泰勒級數(shù) 2)()()()(FFFFFEEEgEEEgEgEgdEEfEgI)(210IIII的積分Ef13)()01)()()()(0FFFEgEgffEgIxTk/ )EE(BFdxxfxEgTkIFB)()(1dEEfEgIF)()(0dE)Ef)(EE()E(gIFF1 dEEfEEEgIFF)()()(

8、2122210IIIIf/ x 是以x=0為對稱的偶函數(shù)I1 = 014 0 x3x2x2F2B2x2xF2B2dx)e3e2e(x)E(g)Tk()e1(dxxe)E(g)Tk(21I)()(6)31211 (2)()(22222FBFBEgTkEgTk )()(6)(22FBFEgTkEgI210IIII1111)()(xTkEEeeEfBF1523CE32)E(gT0K 時的費米能)(81 322223FBEETkCENF )()(6)(22FBFEgTkEgI023)(32dEEfECNdEEfEgI)(FB230FETk)E(C32N)TT(121EE20F20FF16（1）溫度升高

9、，費米能降低（EFEF0）；（2）T 0KEEFEF0EFkBTEF+kBT17二、金屬中電子氣的熱容量二、金屬中電子氣的熱容量電子是費米子，受泡利不相容原理的約束，在討論電子的熱容量時，必須考慮電子的費米費米狄拉克分布狄拉克分布。1、價電子作為經(jīng)典粒子遇到的問題、價電子作為經(jīng)典粒子遇到的問題金屬中N個價電子對熱容量的貢獻：經(jīng)典粒子（自由粒子）熱容量應為3NkB/2；實驗測得價電子對熱容量貢獻比3NkB/2低兩個數(shù)量級。18金屬中有N個價電子，每個電子的平均能量023)(1dEEEfNCEdNNE025dE)Ef(ENC52E分部積分2、熱容量的計算、熱容量的計算)TT(1251E53E20F

10、20F )E(g)Tk(6)E(gF2B2F0dE)Ef)(E(g19平均每個電子對熱容量的貢獻B0F2VVk )TT(2)TE(C)(1251 532020FFTTEE（1）在常溫下，T/TF010-2，價電子對熱容量的貢獻大約是自由粒子的百分之幾。（自由粒子熱容量應為3kB/2）討論：討論：（2）電子熱容量與溫度T成正比。（3）一般溫度下，晶格熱容量比電子熱容量大得多。（4）低溫范圍晶格熱容量按T3迅速下降，而電子按T下降，在液氦溫度范圍兩者的大小就可以相比。20051015200.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040 Cv (cal/mo

11、l K)T (K)TbT321常溫下，費米球內(nèi)部離費米面遠的狀態(tài)全被電子占據(jù)，這些電子從晶格振動獲取能量不足以使其躍遷到費米面附近或以外空狀態(tài)上；能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費米面附近少數(shù)電子，絕大多數(shù)電子能量不隨溫度變化。這導致電子平均能量的溫度變化率很小，即在常溫下電子熱容量很小的原因。3、價電子對熱容量貢獻小的原因、價電子對熱容量貢獻小的原因EFkF1.00.500KT0KEEFEF022低溫下，晶格振動的熱容量與T3成正比34)(512DBVTNkC4、低溫下、低溫下CV/TT2關系關系溫度很低時溫度很低時，晶格熱容迅速減小，電子的熱容達到不可忽略的程度，金屬的熱容量應計及價電子與晶格振動兩

12、部分貢獻：3bTTCCCaVeVV（對應摩爾熱容量）42512DRb2324由實驗可將低溫下晶格和電子對熱容的貢獻分離開來。3bTTCCCaVeVV實驗作出CV/TT2的關系曲線2bTTCV25低溫下CV/TT2關系曲線2bTTCV斜率為b截距為266.2 接觸電勢差接觸電勢差 熱電子發(fā)射熱電子發(fā)射一、接觸電勢差一、接觸電勢差接觸電勢差：不同金屬接觸后產(chǎn)生電勢差。用途：制作熱電偶測量溫度。1、概念、概念27價電子能量FNEU53費米能3222)3(2nmEF價電子總數(shù)（2）金屬帶電：除動能外，還有靜電勢能。假定金屬的電勢為V。價電子的總能量NeVNE53UF（1）金屬不帶電：對自由電子模型，忽

13、略絕對零度與常溫下費米能的差異，價電子總能量FEEdEENU0)(212322)2(2)(EmVENC2、價電子的總能量、價電子的總能量28+ + + + + + + + + + + + + + + + + + V1V2V1V23、金屬接觸電勢差圖示、金屬接觸電勢差圖示29金屬金屬1金屬金屬2接觸前體積VC1VC2費米能EF1EF2價電子總數(shù)N1N2接觸后體積VC1VC2費米能EF1EF2價電子總數(shù)N1N2電勢V1V24、金屬接觸前后的物理量、金屬接觸前后的物理量305、金屬接觸價電子系統(tǒng)的總能量、金屬接觸價電子系統(tǒng)的總能量222211115353eVNENeVNENUFF2121322222

14、23221121)3(2)3(2NNNNVNmEVNmEcFcF22121135121322c22351321c22eV)NN()VV( eN)NNN()V3(m253)N()V3(m253U31材料一定，兩金屬電勢差是常數(shù)。由平衡時價電子系統(tǒng)能量取極小值的條件dU/dN1=0)(12121FFEEeVV6、兩金屬電勢差是常數(shù)的含義、兩金屬電勢差是常數(shù)的含義V1 0，V2 0和V2 0，V2 0，V2 kBT42設金屬表面垂直于z軸，mvz2/2E0電子沿z軸脫離金屬。速度分量vx 、vy可取任意值。vz dvz +dvz區(qū)間內(nèi)的電子數(shù)目zTkmvTkE3zdvee)hm2()dn(vBzBF

15、22yTkmvxTkmvdvedveByBx2222（4 4）熱電子發(fā)射電流密度）熱電子發(fā)射電流密度adxeax2zTkmvTkEBzdveTekhmvdnBzBF23224)(vzvzdtvz43對EE0電子，在dt時間內(nèi)，只有表面附近vz dt體積內(nèi)的電子才能逃離金屬，逃出的電子數(shù)目（單位面積）dtvvdndNzz)(dtvvednedNdqzz)(攜帶的電荷vzvzdtvz形成的電流密度zzvvedndtdq)(dtv )v(edndqzz44Richarson-dushman公式溫度越高，脫出功越小，發(fā)射電流越大z)mE2(Tk2mvzTkEB32dvevTekhem4dtdqj210

16、B2zBFTk2Tk)EE(2B3BBF0eATe)Tk(hem4總的熱電子發(fā)射電流密度zTkmvTkEBzdveTekhmvdnBzBF23224)(zzvvedndtdq)(456.3 玻爾茲曼方程玻爾茲曼方程一、平衡狀態(tài)和非平衡狀態(tài)電子的分布函數(shù)一、平衡狀態(tài)和非平衡狀態(tài)電子的分布函數(shù)1)(01TkEEBFef平衡狀態(tài)（比熱問題）：電子分布函數(shù)只是能量E函數(shù)（費米狄拉克分布）導電狀態(tài)：在宏觀電場作用下，電子分布不再是平衡狀態(tài)下的費米狄拉克分布。但對導電有貢獻的仍是費米面附近的電子。46 有外電場 時，電子波矢的時間變化率kedtd所有價電子的波矢變化率，即在波矢空間的漂移速度都相同。沒有電

17、場時分布是一個費米球，有了電場后，費米球將沿電場相反的方向發(fā)生剛性剛性漂移。1、金屬中兩種漂移、金屬中兩種漂移（1）外電場）外電場二、有外場時電子分布函數(shù)的特點和滿足的條件二、有外場時電子分布函數(shù)的特點和滿足的條件在外電場中費米球的平移e47（2）溫度）溫度金屬中各處溫度不同時，電子會由高溫向低溫區(qū)域擴散。溫度梯度均勻，電子將以恒定速度在金屬中擴散。482、碰撞作用、碰撞作用阻滯上述兩種漂移，使電子不能無休止地漂移下去，幫助電子實現(xiàn)一個穩(wěn)定分布。雜質、缺陷、晶格振動引起的電子散射。都稱為電子遭到了碰撞。49電子分布函數(shù)：波矢k，空間坐標r及時間t的函數(shù)f(k, r, t)。分布函數(shù)隨時間變化率

18、tftftfdtdfcd漂移作用引起的變化率碰撞作用引起的變化率穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)電子系統(tǒng)：（1）df/dt=0；（2）f不顯含t，對t求偏導數(shù)為零0tftfcd3、分布函數(shù)滿足的條件、分布函數(shù)滿足的條件（1）分布函數(shù)的時間變化率）分布函數(shù)的時間變化率50（2）漂移項）漂移項理想流體在水平放置的玻璃管中無摩擦的穩(wěn)定流動。流速為v，壓強為P dttBdttAtBvdtxPxPxP)()()(tdt, x = xA = xBvdtt, x = xB51dt),(f),(flimtfdttt0dtdrkrkdt),(f)dt,dt(flimdttdtt0dtrkvrkkdttt)dt,dt(f),(f

19、vrkkrk與理想流體類似，不考慮碰撞，t時刻在相空間 (k, r) 附近的電子是t-dt時刻在(k- dt, r-vdt)處的電子漂移過來的kdt),(f)dt(flimdt),(f),dt(flimdttdtt0dtdttdtt0dtrkvrk,rkrkkffkvkdtdf)(f)d(fuudtuuu52（3）碰撞項）碰撞項設a0，b0，并記作abtcf3)2/(b單位時間內(nèi)因碰撞作用一種自旋的電子進入(k, r)處單位體積電子數(shù)3)2/(a單位時間內(nèi)因碰撞作用同種自旋的電子離開(k, r)處單位體積的電子數(shù)3)2/(f單位體積內(nèi)一種自旋的電子數(shù)ct f3)2(1單位體積內(nèi)由于碰撞作用一種

20、自旋的電子在單位時間內(nèi)的增量單位時間一個電子因碰撞由 k 態(tài)躍遷到同自旋k態(tài)的幾率(k , k)53單位時間因碰撞由 k 態(tài)變成k態(tài)的電子數(shù)正比于： 同種自旋k 電子數(shù)目：f(k , r)/(2)3； k態(tài)未被占據(jù)的份額：1 f(k, r)； 電子由k 向k躍遷的幾率：(k , k)。)(1)()2(1),()2(33rk,r ,kkkkffb)(1)()2(1),()2(33r ,krk,kkkffa單位時間因碰撞進入和離開k態(tài)的電子數(shù)：進入進入離開離開krk,r ,kkkdffb)(1)(),()2(13kr ,krk,kkdffa)(1)(),()2(1354（4）玻爾茲曼輸運方程）玻爾

21、茲曼輸運方程abtcfftfkdvk0tftfcdabffkkv玻爾茲曼輸運方程玻爾茲曼輸運方程（微分積分方程）554、玻爾茲曼輸運方程的求解（弛豫時間近似法）、玻爾茲曼輸運方程的求解（弛豫時間近似法）假設在漂移和碰撞的共同作用下，電子分布函數(shù)由原來的平衡態(tài)f0變到穩(wěn)定態(tài)f。令t = t時撤去外場，漂移作用消失，只有碰撞作用。電子分布函數(shù)將依靠碰撞作用，最終恢復到平衡態(tài)f0 ：偏差(f -f0)由t =t時的(f -f0) ，最終變?yōu)榱?。ff0tftt+E0E=056偏差按自然規(guī)律應以指數(shù)形式作衰減tt00e )ff(ff對時間求微商0cfftf兩邊取極限0ccttffabtftflim撤去外

22、場作用后分布函數(shù)的變化弛豫時間ff0tftt+E0E=0abffkkv0kffffkv0ffab57金屬中溫度有差異，電子將由高溫區(qū)向低溫區(qū)擴散，電子濃度n不是常數(shù)0kfff(enf)nTf)T)(Bvvv nnfTTff)(Bvke5 5、溫度有差異、電磁場作用下玻爾茲曼輸運方程、溫度有差異、電磁場作用下玻爾茲曼輸運方程0kffffkv586.4 弛豫時間的統(tǒng)計理論弛豫時間的統(tǒng)計理論上節(jié)引入的弛豫時間具有復雜的性質，弛豫時間方法的根據(jù)如何以及本身的大小由什么決定，都不很明顯。在此情況下，考慮一個可以具體導出馳豫時間的特例很有意義。晶格完全各向同性，電子散射（碰撞躍遷）是彈性的情況正是這樣一個

23、特例。59各向同性，彈性散射的優(yōu)點：各向同性，彈性散射的優(yōu)點：（1）能帶情況各向同性：E(k)與k的方向無關，只是k的函數(shù)。（2）散射是彈性的，k只躍遷到相同能量的k狀態(tài)，可以表示如下： 如E(k) E(k)，則(k,k)=0（3）由于散射是由晶體引起的，各向同性意味著(k,k)不依賴于k和k各自在晶體中的方向，最多只依賴它們之間的夾角。60對k以外的其它波矢狀態(tài)求和f=f0，電子兩能態(tài)間的躍遷達到平衡 (k, k) = (k, k)(f1)(f ),()(f1)(f ),(abtfckkkkkkkkk)(f1)(f)2(1),()2(b33rk,r ,kkkk)(f1)(f)2(1),()2

24、(a33r ,krk,kkk無外場、無溫度梯度的熱平衡狀態(tài)1 1、彈性散射弛豫時間、彈性散射弛豫時間 的通式的通式61)(f1)(f ),()(f1)(f ),(tfckkkkkkkkk)()( ),(kkkkffk有外場及溫度梯度，有外場及溫度梯度，外場力及溫差作用力與原子內(nèi)部電場力相比小得多，f偏離平衡態(tài)f0不大： (k, k) (k, k)在彈性散射近似條件下)()()(00kEkEfff)()()(00kEkEfff)()(1 ),()(Eftf0ckkkkkk 統(tǒng)計表達式)()(1 ),(1kkkkk)(Effftf00ck62kkvEfmEfEEfffkkk02000)(f與f0偏

25、差不大，右端是小量2 2、恒定溫度、只施加外電場、恒定溫度、只施加外電場 情況的情況的弛豫時間弛豫時間玻爾茲曼方程為feffk00kfff(enf)nTf)T)(Bvvv )(00kmeEfffff0tftt+63)kme(Efff00)(Ef)(f)(f)(Ef)(f)(f0000kEkkEkkkkkme)(me)(取 沿x軸方向)()(1 ),(1kkkkk)kk1( ),(1xxkkk64自由電子彈性散射近似所有可能由k態(tài)向k 態(tài)散射，波矢分布在一個球面上取極軸與k重合。將矢量(k-k )分成兩個分量： 平行于k的分量為k(1-cos)； 垂直k的分量(k-k )。為了進一步簡化弛豫時間

26、的表達式，先求和)( ),(k-kkkk 沿x軸方向)kk1( ),(1xxkkkkk O電子的彈性散射k-k (k-k )(k-k ) 65)cos-(1kkkk-kkkk-kkkkkk),()( ),()( ),(散射幾率(k, k)與散射方向無關最多是波矢的模和散射角函數(shù)：(k, k)= (k, k, )cos-(1kkkk-kkkkk),()( ),(k, k)=(k, k, )不變，(k-k )以極軸為對稱軸。保持角不變，環(huán)繞極軸對(k, k)(k-k )求和為0； 再從0到對(k, k)(k-k )求和，必然為0。kk O電子的彈性散射k-k (k-k )(k-k ) 66)kk1

27、( ),(1xxkkk)cos-(1k),(1kk只有外電場時，弛豫時間的統(tǒng)計表達式取x方向的分量)cos-(1kkkkk),(k)kk1( ),(kxxxkx)cos-(1kkkk-kkkkk),()( ),(67)cos-(1k),(1kk討論：討論：（1）忽略掉(1-cos)，求和表示在k k狀態(tài)的電子被散射的總幾率，就是電子的自由碰撞時間；（2）(1-cos)反映了各種不同的散射對電阻的貢獻不同：小角度散射影響?。?= = 0），大角度散射（ = = ）影響大。小角度散射對應電子遭受碰撞后，運動方向只有很小改變，它的定向運動在碰撞中并未完全失掉，這樣的碰撞顯然對電阻的影響很小。686.

28、5 電子與聲子的相互作用電子與聲子的相互作用對純金屬，如原子實處在嚴格的周期排列的位置不作振動，則價電子處在布洛赫函數(shù)所描述的穩(wěn)定態(tài)，電子具有確定的能量和波矢。但是原子實時刻在其平衡位置附近作振動，嚴格周期性不存在，電子實際上在一個不嚴格的周期勢場中運動，會遭到偏離平衡位置原子實散射作用。原子實振動形成格波，電子散射可理解為電子與格波的相互作用。格波能量子稱為聲子，電子與格波的相互作用又可視為電子與聲子的相互作用。69設格點Rn處原子實在平衡位置時，其原子勢場)(nVRr t時刻，Rn處原子的位移為 n。若把原子勢場隨原子的位移視為剛性位移，則勢場)(VnnRr原子偏離平衡位置引起的勢場變化)

29、(V)(V)(VVnnnnnnRrRrRr)tcos(AnnRqu原子振幅格波波矢原子振動引起的勢場變化原子振動引起的勢場變化原子位移方向上的單位矢量70由微擾理論，躍遷矩陣元rrrkkkkd)(H)(M*,躍遷幾率222k ,k)(E)(Et )(E)(E(21sinM4),(kkkkkk散射躍遷幾率散射躍遷幾率nnitinn)(Vee2AVHnRruRqnnitiVeeAn)(2RruRq)(V)(V)(VVnnnnnnRrRrRr)tcos(AnnRqu71對應電子吸收一個聲子散射對應電子發(fā)射一個聲子散射)()(kkEE)(E)(Ekk躍遷幾率最大的條件222k ,k)(E)(Et )(

30、E)(E(21sinM4),(kkkkkk散射過程的能量守恒散射過程的能量守恒72躍遷矩陣元nni)( iti,d)(VeeN1e2AMnrRruRqrkkkknni)( itid)(VeeN1e2AnrRruRqrkknn)( i)()( itid)(VeeeN2AnnrRruRqkkRrkknn)( i)()( itid)(VeeeN2AnnrRruRqkkRrkk自由電子近似rkkrieN1)(rkkr ieN1)(散射過程的準動量守恒散射過程的準動量守恒rrrkkkkd)(H)(M*,nnitinn)(Vee2AVHnRruRqnniti)(Vee2AnRruRq73rrrrrRrIr

31、kkrkkRrkkd)(Ve1d)(Ve1d)(Ve1)( i)( in)()( in躍遷矩陣元為n)( itin)( iti,nneeN2AeeN2AMRqkkRqkkkkIuIuqKkkKqkkRqkkmmn,n)( iNNeqKkkqKkkkkIuIumm,ti,ti,e2Ae2AMKm 倒格矢74躍遷矩陣元不為零的條件qKkkmqKkkm或對應電子發(fā)射一個聲子的散射對應電子吸收一個聲子的散射Km0，正常散射過程qkkqkk散射過程中準動量守恒Km0的散射，稱為倒逆過程或U過程。倒逆過程對應k，k本身大，散射角也大的情況。75電子的倒逆過程Kmkkq766.6 金屬的電導率金屬的電導率恒

32、定溫度下金屬處于一電場中feffk0電子分布函數(shù)化為feffk0f與f0相差不大)e(fff0k0一、加電場后電子的分布函數(shù)一、加電場后電子的分布函數(shù)波矢空間波矢空間77施加電場后，波矢空間穩(wěn)定態(tài)的電子分布函數(shù)，由平衡態(tài)分布函數(shù)f0(k)發(fā)生剛性平移產(chǎn)生。如平衡態(tài)f0(k)為一個費米球分布，穩(wěn)定分布f(k)也是一個費米球分布，球心在e /。在外電場中費米球的平移)()(0kkeffuuuudf)(f)d(fu)e(fff0k0e78電子分布函數(shù)還可化為)*me(Efff00k)(eEfff00vmk*有外場后，穩(wěn)態(tài)電子分布函數(shù)f(E)是無外場時分布函數(shù)f0(E)發(fā)生剛性平移ev 產(chǎn)生的。dxd

33、xdfxfdxxf)()()e(Ef)E(f0能量空間能量空間79二、加電場后金屬中的電流密度二、加電場后金屬中的電流密度考慮同一波矢k k對應自旋相反兩電子，對電流密度的貢獻相同設金屬體積為單位體積，電流密度為kkjd)Efef(4efde)2(20033)(eEfff00k(jd)Ef4e032f0是波矢k的偶函數(shù)，v是k的奇函數(shù)，第1項為零80取體積元EdSdEdkkE+dEdEdsdk波矢空間兩等能面間體積元電流密度為EdSdE)Ef4ek032(j)(0FEEEfFSk32EdS)4e(jFSxk2x32xEdSv4ej外電場沿x方向81立方結構金屬的電導率FSkxEdSve2324

34、積分僅限于費米面上積分，即對金屬導電有貢獻的只是費米面附近電子三、立方晶系金屬的電導率三、立方晶系金屬的電導率立方晶系中電流與電場的關系式zyxzyx000000jjjFSxk2x32xEdSv4ej823/1FFF2F2F)n3(kkv*mv31vx*2mneF立方晶系金屬的電阻率Fnem2*假設費米面是球面，則電導率FFFFkvex223244FSkxEdSve2324討論：（1）金屬電導率與自由電子濃度成正比；（2）與馳豫時間成正比。836.7 純金屬電阻率的統(tǒng)計模型純金屬電阻率的統(tǒng)計模型高溫時，與溫度T成正比；低溫時，與T5成正比（Bloch-Grneisen定理）一、純金屬電阻率的實

35、驗規(guī)律一、純金屬電阻率的實驗規(guī)律電阻率與溫度的關系電阻率與溫度的關系84Fnem2*e，m*與溫度無關；忽略熱膨脹，n也與溫度無關；電阻率與溫度的依賴關系完全取決于1/F。電阻率主要來自晶格振動對電子的散射作用（純金屬中缺陷、雜質可忽略不計）。二、聲子的統(tǒng)計平均模型描述二、聲子的統(tǒng)計平均模型描述1、電阻率與溫度的依賴關系完全取決于、電阻率與溫度的依賴關系完全取決于1/ F85電阻率是一個宏觀物理量，是電子與聲子相互作用的統(tǒng)計平均效應，可采用一個聲子的統(tǒng)計平均模型。聲子的統(tǒng)計平均模型聲子的統(tǒng)計平均模型：聲子系統(tǒng)是由平均聲子構成，每個聲子動量等于原聲子系統(tǒng)中聲子的平均動量。電子被聲子散射可看成費米

36、面附近的電子被平均聲子所散射（金屬中被散射的電子僅僅是費米面附近的電子）。2、聲子的統(tǒng)計平均模型、聲子的統(tǒng)計平均模型86)cos-(1k),(1kk)cos1)(,k ,k(Z1F是一常數(shù)，是除k k態(tài)外，費米面上其它電子態(tài)總和電子遭受到平均聲子散射作用的散射角波矢為k的電子單位時間內(nèi)與一個平均聲子的碰撞幾率3、聲子的統(tǒng)計平均模型公式、聲子的統(tǒng)計平均模型公式kk Oqk-k87電子與聲子的平均相對速度是一常數(shù)： 費米面附近的電子的速度為kF/m*，為常數(shù)。 德拜模型，聲子速度為金屬中聲速，為常數(shù)。按經(jīng)典統(tǒng)計理論，單位時間內(nèi)某A氣體分子與B氣體分子的碰撞次數(shù)，正比于 （1）B分子的濃度（聲子濃度

37、）； （2）A和B分子的平均相對速度：2122)(BArvvv（1）(k, k, )正比于聲子的濃度正比于聲子的濃度n4、電阻率與平均聲子數(shù)和平均動量的關系、電阻率與平均聲子數(shù)和平均動量的關系Fnem2*)cos1)(,k ,k(Z1F88FFk2qk2qk2q2sin聲子的平均動量電子的正常散射過程電子的正常散射過程電子正常散射過程kk q2F22)k(2)q(2sin2)cos1()cos1()2(89)cos1)(,k ,k(Z1FF12)q(n 純金屬電阻率的統(tǒng)計理論：純金屬電阻率與聲子濃度及平均動量的平方正比。（3）純金屬電阻率與聲子濃度及平均動量的關系2)(1qnFn),k ,k(

38、2F2)k(2)q()cos1(90由德拜近似，聲子的色散關系為qv頻率為的聲子數(shù)11)(TkBen1、聲子濃度、聲子濃度三、純金屬電阻率與溫度的關三、純金屬電阻率與溫度的關系系聲子濃度為DBDTkpcedvdDnVn02320123)()(13p22cv2V3)(D模式密度Fnem2*2)(1qnF912、聲子的平均波矢、聲子的平均波矢DBB03T22cTkT3L22cTkLcdv2V1e1v2v2V1e1vVn1qDBDB0Tk24s0Tk33p1edv1edv4T4L4sv2v1v3DB0Tk34T4L2ccd1ev2v12VVn1DB0Tk23p21edv23n92德拜溫度TkxBT0

39、 x22T0 x351edxx1edxxATD38s225B3pvne2kv*m3A4、純金屬的電阻率與溫度的關系、純金屬的電阻率與溫度的關系聲子濃度和聲子平均波矢的表達式代入2FF2)q(n1ne*mDBDB0Tk24s0Tk33p1edv1edvDB0Tk23p21edv23n93（）高溫時（）高溫時x1ex（）低溫時（）低溫時T/DT0 x22T0 x351edxx1edxxATD5AT6 .17低溫時，與T5成正比。T0 x22T0 x351edxx1edxxATDTA924D高溫時，電阻率與溫度T成正比5、討論、討論946.8 弱磁場下玻爾茲曼方程的解弱磁場下玻爾茲曼方程的解有外電場

40、和磁場時，金屬中的價電子除了作定向運動外，還做回旋運動。運動方向的改變會對電流密度有影響，可用等效的磁致電阻描述。電場 和磁場B同時存在0kfff(enf)nTf)T)(Bvvv 0kfff)(eBv95f)(effk0Bv在一般電場和弱磁場情況下，非平衡態(tài)電子分布函數(shù)與平衡態(tài)電子分布函數(shù)的偏差不大。Efff00f)(eEfk0Bv為小量*mEfEfEEfff200k00kkkv的零級近似為kv*mee0在零級近似下，磁場對分布函數(shù)的影響沒有體現(xiàn)，必須求高級近似96Efff00kkkkkEfEfff000)(kkEfEfEf000)(vk)(eeBvv忽略含有 因子的一階小量f)(eEfk0B

41、v97kBk)(*me*me222忽略了含有2小項k)(eeBvv一級近似一級近似0kkk*me0*me0kvk*m98kBBkBk)(*me)(*me*me333222kBk)(*me*me222)(*222Bmemek高級近似高級近似k)(eeBvv99電磁場同時存在下高級近似的電子分布函數(shù)電磁場同時存在下高級近似的電子分布函數(shù)kBBkBk)(*me)(*me*meEfff33322200電流密度電流密度kkvjd)Ef( v4efd)e()2(2033Efff00kBBkBk)(*me)(*me*me333222100EdSdEdB)()()EE(Efk2F0kBBBB立方晶系中的電流密

42、度立方晶系中的電流密度0*meF022*meF*20mneF對于弱磁場，B2項可忽略Bj0kjd)Ef( v4e03kBBkBk)(*me)(*me*me333222B)(20BBBj101BjBjxy0yyx0 xjy0Byx0霍爾電場，是電子在磁場中作回旋運動產(chǎn)生的霍爾系數(shù)neBBjRxy1202220霍爾系數(shù)為負值，是典型的電子導電的機制如磁場沿z軸方向，電流沿x軸方向yxBBj2220102)(20BBBjB將式子 化為j形式，可得出等效電導率000 xyxzyzBBBBBB求解中忽略B2項當電場磁場都存在時，等效電導率是一個反對稱張量103當j=jx，B=Bz，即電流與磁場垂直時0000000BB電阻率00202000000BB0=1/0為無磁場時金屬的電阻率10402020000000BBj=jx，B=Bx，即電流與磁場平行時1）有磁場后，立方晶系金屬電阻率有明顯的各項異性。2）磁致電阻分量可以是負值。3）由 = j的分量可知，當有磁場后，金屬中將產(chǎn)生與磁場和電流都垂直的霍爾電場。1056.9 金屬的熱傳導金屬的熱傳導擴散：擴散：當金屬存在溫度梯度時，導電電子由高溫區(qū)域向低溫區(qū)域擴散。反向擴散：反向擴散：電子的擴散，引起電荷密度不均勻，電荷密度的不均勻又產(chǎn)生一個