高中數(shù)學(xué)《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用》文字素材1新人教A版選修Word版

1、高考導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的命題研究與備考策略1.考查形式與特點(diǎn) (1).高考對(duì)函數(shù)概念的考查主要有:求函數(shù)的定義域、值域及反函數(shù)。這類(lèi)題型直接通過(guò)具體問(wèn)題找出函數(shù)關(guān)系，再研究函數(shù)的定義域、值域及反函數(shù)。 (2).在每年的高考試題中，以中等難度題型設(shè)計(jì)新穎的試題考查函數(shù)的性態(tài)即函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性等，近兩年，以組合形式一題多角度考查函數(shù)性質(zhì)的高考題正成為新的熱點(diǎn)。 (3).以比較容易的中檔題來(lái)考查函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用，在考查函數(shù)內(nèi)容的同時(shí)也考查能否用運(yùn)動(dòng)、變化的函數(shù)觀點(diǎn)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。 (4).函數(shù)的最值問(wèn)題在高考試卷中幾乎年年出現(xiàn)，它們是高考中的重要題型之一特別是函數(shù)

2、在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用問(wèn)題，大多數(shù)都是最值問(wèn)題，這類(lèi)考題在近幾年考查明顯增加此類(lèi)考題一要掌握求函數(shù)最值的幾種常用方法與技巧。二要靈活、準(zhǔn)確地列出模型函數(shù) (5).近幾年為了突出函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主線地位，高考強(qiáng)化了對(duì)函數(shù)推理、論證能力(代數(shù)推理題是高考的熱點(diǎn)題型)及探索性問(wèn)題的綜合考查，加大了以函數(shù)為載體的多種方法、多種能力(甚至包括閱讀能力、理解能力、表述能力、信息處理能力)的綜合程度這類(lèi)試題或者是函數(shù)與其他知識(shí)的糅合，或者是多種方法的滲透，每道考題都具有鮮明的特色，值得深思(6).函數(shù)與解析幾何、不等式、方程、數(shù)列、參數(shù)范圍、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容結(jié)合在一起，以曲線方程的變換、參數(shù)范圍的探求及最值問(wèn)題綜合

3、在一起編擬的新穎考題，成為近幾年高考中的高檔解答題，以綜合考查應(yīng)用函數(shù)知識(shí)分析、解決問(wèn)題的能力壩I試對(duì)函數(shù)思想方法的理解與靈活運(yùn)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論等解題策略和掌握程度這類(lèi)試題每年至少會(huì)有一個(gè)(7).高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具出現(xiàn)，側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與解析幾何中的應(yīng)用，主要有以下三個(gè)方面：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)最值問(wèn)題，一直是高考長(zhǎng)考不衰的熱點(diǎn)內(nèi)容另一方面，從數(shù)學(xué)角度反映實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，順利地解決函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題，從而進(jìn)一步地解決實(shí)際問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線斜率問(wèn)題也是導(dǎo)數(shù)

4、的一個(gè)重要作用，并且也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.函數(shù)y=f(x)在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)P(x0,f(x0)處的切線斜率運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的又一重點(diǎn)應(yīng)用，在高考中所占的地位是比較重的2.命題趨勢(shì)由于函數(shù)在數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的地位，它仍必將是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，而且對(duì)能力的考查還將高于課程標(biāo)準(zhǔn)(1)對(duì)函數(shù)的概念、基本性質(zhì)及圖象的考查主要以小題的形式出現(xiàn)(2)函數(shù)與不等式、數(shù)列、向量、解析幾何等知識(shí)的綜合問(wèn)題會(huì)以解答題形式出現(xiàn)，屬于理解、靈活運(yùn)用層次，難度較大(3)通過(guò)函數(shù)應(yīng)用題考查建立函數(shù)模型及解讀信息的能力，將是高考命題的熱點(diǎn)之一(4)新課程新增內(nèi)容中與函數(shù)有關(guān)的內(nèi)

5、容函數(shù)連續(xù)與極限、導(dǎo)數(shù)是考查的重點(diǎn)，所占比重將進(jìn)一步加大.典例剖析 例1. 已知函數(shù)f(x)=|x2-2ax+b|(xR)給出下列命題： f(x)必是偶函數(shù)； f(0)=f(2)時(shí),f(x)的圖象必關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)； 若a2-b0，則f(x)在區(qū)間0，+上是增函數(shù)； f(x)有最大值|a2-b| 其中正確的命題的序號(hào)是_解析： 顯然是錯(cuò)誤的；由f(O)=f(2)有|b|=|4-4a+b|,而f(x+1)=|(x+1)2-2a(x+1)+b|=|x2+(2-2a)x-2a+b+l|,f(1-x)=|(1-x)2-2a(1-x)+b|=|x2-(2-2a)x-2a+b+1|，f(x+1)f(l-

6、x)故f(x)不是關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，所以不對(duì)f(x)=|(x-a)2+b-a2|，當(dāng)a2-b0時(shí)，b-a20，所以f(x)=(x-a)2+b-a2，故當(dāng)xa時(shí)f(x)單調(diào)遞增的故正確當(dāng)a2-b>0時(shí),f(a)=|b-a2|=a2-b其圖象如圖，所以錯(cuò)誤答案 剖析： 函數(shù)的性質(zhì)是高考試題考查的熱點(diǎn)之一，本題涉及了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性以及最值，綜合性較強(qiáng)對(duì)于多項(xiàng)選擇填空題，由于各選項(xiàng)相互獨(dú)立，解答時(shí)應(yīng)逐一檢驗(yàn)判斷例2. 已知二次函數(shù)y=f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，10)，導(dǎo)函數(shù)f/(x)=2x-5，當(dāng)x(n，n+1 (xN*)時(shí)，f(x)是整數(shù)的個(gè)數(shù)記為an(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令

7、bn=，求數(shù)列an+bn的前n項(xiàng)和Sn(n3).解析: (1) 由 f/(x)=2x-5 可以設(shè)此二次函數(shù)為f(x)=x2-5x+c(c為常數(shù)) 因f(x)圖象過(guò)(0，10)，故c=10，故二次函數(shù)為f(x)=x2-5x+10=(x-)2+，又因x(n，n+1)(nN*)時(shí)，f(x)為整數(shù)的個(gè)數(shù)為anf(x)在(1，2)上的值域?yàn)?，6，al=2.f(x)在(2，3)上的值域?yàn)椋?，a2=1當(dāng)n3時(shí)，f(x)在(n，n+1)上單調(diào)遞增，其值城為(f(n)，f(n+1) an=f(n+1)-f(n)=2n-4 an=(2)令cn=an+bn，則c1=a1+b1=4，c2=a2+b2=3, 當(dāng)n3

8、時(shí)Sn=c1+c2+(c3+cn)=7+(a3+an)+(b3+bn)=7+(n-2)+=7+(n-1)(n-2)+2()=n2-3n+.剖析: 本題主要體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列方面的綜合應(yīng)用.3.應(yīng)試對(duì)策 (1).由于函數(shù)內(nèi)容固有的重要性，預(yù)計(jì)在以后高考試題中所占比例仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于在課時(shí)和知識(shí)點(diǎn)中的比例(約為20)，既可以“低檔題”選擇、填空形式出現(xiàn)(如集合、映射、函數(shù)基本性質(zhì)以及反函數(shù)多屬此類(lèi))。也可以“中檔題”、“高檔題”的形式出現(xiàn)(多與其他問(wèn)題了解在一起)(2).考試的熱點(diǎn)內(nèi)容仍以考查函數(shù)的定義域、值域、反函數(shù)及圖象，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)的題型為主，其中對(duì)運(yùn)用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的題型是

9、重點(diǎn)考查內(nèi)容，應(yīng)予以高度重視關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的考題中，使用具體函數(shù)的約占，而使用抽象函數(shù)的約占，所以，針對(duì)這種高考命題形勢(shì)，在復(fù)習(xí)函數(shù)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)著重強(qiáng)化將具體函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行延伸，以適應(yīng)高考命題的要求(3).應(yīng)充分注意函數(shù)的圖象題型，這類(lèi)考題往往在選擇題中出現(xiàn)會(huì)處理“讀圖題型”和函數(shù)圖象的平移變換、伸縮變換、對(duì)稱(chēng)變換等問(wèn)題，靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象與對(duì)稱(chēng)性解題(4).在注意函數(shù)應(yīng)用性問(wèn)題、探索性問(wèn)題和以函數(shù)為載體的綜合性問(wèn)題的同時(shí)，更要注意函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交叉題型.(5).導(dǎo)數(shù)是新教材增加的內(nèi)容，近幾年的高考試題與時(shí)俱進(jìn)，逐步加深有關(guān)導(dǎo)數(shù)的高考題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性、極值，應(yīng)用問(wèn)題中的最值

10、由于導(dǎo)數(shù)的工具性，好多問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)處理顯得簡(jiǎn)捷明了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，因此，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作為高考命題重點(diǎn)應(yīng)引起高度注意考查的方向還是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大(小)值，求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間a，b上的最大值或最小值，或利用求導(dǎo)法解應(yīng)用題研究函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間等，這些已成為高考的一個(gè)新的熱點(diǎn)問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為解題工具，有可能出現(xiàn)在解析幾何綜合試題中，復(fù)習(xí)時(shí)要注意到這一點(diǎn).高考中導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的六大熱點(diǎn)導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，由于其應(yīng)用的廣泛性，為解決函數(shù)問(wèn)題提供了一般性的方法及簡(jiǎn)捷地解決一些實(shí)際問(wèn)題因此在高考新課程卷中占有較為重要的地位，其考查重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)判斷或論證單調(diào)性、函數(shù)的

11、極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題等方面，常以一小一大或二小一大的試題出現(xiàn)，分值1217分下面例析導(dǎo)數(shù)的六大熱點(diǎn)問(wèn)題，供參考一、運(yùn)算問(wèn)題是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)和差積商的導(dǎo)數(shù)，及復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，直接求出其導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算問(wèn)題例1已知為正整數(shù).設(shè)證明：因?yàn)?，所以? 已知y(x1)2，用定義法求y' 求y2x23x4的導(dǎo)數(shù) 已知函數(shù)f(x)，且(1)2，求a的值分析：對(duì)于運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義，即y'，即可解決；對(duì)于可應(yīng)用(u±v)'vu以及解之；對(duì)于是逆向型的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，用及方程思想即可解決解析： y'2x2 由法則，即得y

12、9;4x3 (ax21)2ax，即(1)a(a1)2，解得a2二、切線問(wèn)題 是指運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義或物理意義，解決瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等三類(lèi)問(wèn)題特別是求切線的斜率、傾斜角及切線方程問(wèn)題，其中： 曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的斜率k，傾斜角為，則tank 其切線l的方程為：yy0(xx0)若曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時(shí)，由切線定義知，切線方程為xx0例3 已知，函數(shù)設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為 求的方程； 設(shè)與軸交點(diǎn)為證明：；若，則 解：求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程： 證明：依題意，切線方程中令y0，. 由.例4設(shè)，曲線在處切線

13、的傾斜角的取值范圍是，則到曲線對(duì)稱(chēng)軸距離的取值范圍是（A）（B）（C）（D） 解：2axb，故點(diǎn)處切線斜率k2ax0btan0，1，于是點(diǎn)P到對(duì)稱(chēng)軸x的距離d|x0()|，故選(B)三、單調(diào)性問(wèn)題一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)如果f '(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f '(x)0，則f(x)為減函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)內(nèi)容，主要有四類(lèi)問(wèn)題：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；證明單調(diào)性；已知單調(diào)性求參數(shù)；先證明其單調(diào)性，再運(yùn)用單調(diào)證明不等式等問(wèn)題例5 設(shè)a0，是R上的偶函數(shù)（I）求a的值；（II）證明在（0，+）上是增函數(shù)。 () 解：依題意,對(duì)一切xÎR有f(x)

14、=f(-x)，即，所以對(duì)一切xÎR成立由此得到，即又因?yàn)?，所?)證明：由得 當(dāng)xÎ(0，+)時(shí)，有，此時(shí)，所以在(0，+)是增函數(shù). 評(píng)注：對(duì)于第()問(wèn)是證明函數(shù)的單調(diào)性，雖然可利用函數(shù)單調(diào)性定義直接證明，但對(duì)f(x1)f(x2)的變形要求較高，技巧性強(qiáng)，且運(yùn)算量大，是一種“巧法”；而利用導(dǎo)數(shù)法，簡(jiǎn)捷明快，也成了“通法”四、極值問(wèn)題即運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決極值問(wèn)題一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，判別f(x0)為極大(小)值的方法是： 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么f(x0)是極大值 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么f(x0)是極小值例6 函數(shù)y13xx3有( )(A)

15、 極小值1，極大值1(B) 極小值2，極大值3(C) 極小值2，極大值2(D) 極小值1，極大值3分析：本題是求已知三次函數(shù)的極值問(wèn)題，考慮運(yùn)用導(dǎo)數(shù)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其極值解：由y'33x20，得x1或x1當(dāng)x(，1)(1，)時(shí)，y'0當(dāng)x(1，1)時(shí)，y'0因此函數(shù)y13xx3在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，即x1是極小值點(diǎn)，x1是極大值點(diǎn)所以極小值為1，極大值為3，故選(D)五、最值問(wèn)題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最大(小)值的一般步驟如下：若f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則 求，令0，求出在(a，b)內(nèi)使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 比較三類(lèi)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的是小值例7 求函數(shù)f(x)x42x25在2，2上的最大值與最小值解： 4x34x，令0，解得x11，x20，x31，均在(2，2)內(nèi)計(jì)算f(1)4，f(0)5，f(1)4，f(2)13，f(2)13通過(guò)比較，可見(jiàn)f(x) 在2，2上的最大值為13，最小值為4六、應(yīng)用問(wèn)題例8 用總長(zhǎng)14.8m的鋼條制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制