高中數(shù)學解三角形輔導(dǎo)講義Word版

1、學科教師輔導(dǎo)講義學員編號： 年 級： 高中 課時數(shù)： 學員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學 學科教師：課 題解三角形授課時間：備課時間： 教學目標重點、難點正余弦定理的運用考點及考試要求解三角形1、 正弦定理在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，又, 則 從而在直角三角形ABC中，對于任意的三角形可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1.1-3，當ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C 同理可得， b a從而 過A作單位向量垂直于由+ = 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos

2、(90C)=| |cos(90A) =同理，若過C作垂直于得： = =從而 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即(1) 正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，；(2）等價于，從而知正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。在中，已知cm，cm，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。：根據(jù)正弦定理，因為，所以，或(1) 當時， ，(2) 當時， ，【課堂練習】1、中，則

3、等于（ ）A B C D 2、在ABC中，已知，B=，C=，則等于 A. B. C. D.3、在ABC中，a，b，B45，則A等于（）A30 B60 C30或120 D 30或1504、在ABC中，分別是三內(nèi)角的對邊, ,則此三角形的最小邊長為（ ）A B C D 5、在中，B=，C=，c=1，則最短邊長為（ ）A B C D6、在中，若邊，且角，則角C= _ ；7、在中，已知，則 _ ; 8、在ABC中，則邊的值為 _ ; 9、已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且，則的值為 _; 10、在中，若，則=_;在解三角形過程中都使用三角形內(nèi)角和定理，可見，三角形內(nèi)角和定理在解三角形中的

4、重要應(yīng)用。應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。(1) 定理的表示形式：；或，(2) 正弦定理的應(yīng)用范圍：已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。2、 余弦定理如圖1.1-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和C，求邊c。如圖11-5，設(shè)，那么c=a-b， =cc=(a-b) (a-b) A=a a + b b -2ab b c從而 C a B 同理可證 (圖11-5)于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 從余弦定理，又可得到以下推論：從

5、而知余弦定理及其推論的基本作用為：已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其它角。勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例 在ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41，解三角形(角度精確到1，邊長精確到1 cm）。(課本P7 例3)解：根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-26034cos413 600+1 156-4 0800.754 71 676

6、.82，所以，a41 cm.由正弦定理得sinC=0.544 0.因為C不是三角形中最大的邊，所以C是銳角.利用算器可得C33,B=180-(A+C)=180-(41+33)=106.注：在利用余弦定理解三角形時，也要注意判斷有兩解的情況【課堂練習】1、中，若，則A 的大小為（ ）A B C D 2、在ABC中，若，則C=（ ） A. 60B. 90C. 150D. 1203、在中，則（）A.B.或C.D.4、邊長為的三角形的最大角的余弦是（ ）. A B C D 5、若的內(nèi)角、的對邊分別為、，且，則角A的大小為 （ ）A B C D或6、在中，分別是三內(nèi)角的對邊，且，則角等于( )A B C

7、 D7、中，若那么角=_8、在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為、b、c ，若，則 9、ABC的三個內(nèi)角，所對的邊分別為， ，則10、已知是的內(nèi)角，并且有，則_小結(jié)：(1) 余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；(2) 余弦定理的應(yīng)用范圍： 已知三邊求三角； 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。3、 解三角形的應(yīng)用1.正弦定理：= = = 。2.余弦定理： ， ， 。 ， ， 。1.與測量有關(guān)的術(shù)語、名詞（1）仰角、俯角：視線與水平線所成角中，視線在水平線上的稱為仰角，在水平線下的稱為俯角。如圖所示：（2）方位角：從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角。如圖，方向

8、線PA、PB的方位角分別是40、240。（3）方向角：指北或指南的方向線與目標線所成的小于90的角，叫做方向角，她是方位角的另一種表示形式。如圖：目標OA、OB的方向角分別為北偏東60和南偏西30。此外還有特殊方向角，如正東方向，東南方向等。（）視角：由物體兩端射出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角。如圖：.應(yīng)用解三角形知識解實際問題的個步驟是：（1）根據(jù)題意作出示意圖；（2）確定實際問題所涉及的三角形以及三角形中的已知和未知元素；（3）選用正、余弦定理求解；（4）給出答案。類型一：水平面上測量距離問題練習1:如圖，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B望對岸標記物C，測得,AB=120m，求河

9、的寬度。類型二：豎直面上測量高度問題練習2：地面上豎著一根旗桿OP，為了測得它的高度，在地面上取一點A，在A處測得P點的仰角為，測得點A到旗桿底部O的距離為米，求旗桿的高度。類型三：航海問題練習3：兩艘游艇A、B與海洋觀察站C的距離都等于，游艇A在C北偏東，B在C南偏東，求A、B之間的距離。練習4：某船開始看見燈塔在南偏東方向，后來船沿南偏東的方向航行45海里后看見燈塔在正西方向，求這時船與燈塔的距離。【綜合訓練】1、在ABC中，a10，B=60,C=45,則等于 （ ）ABCD 2、在ABC中，a12，b13，C60，此三角形的解的情況是（ ）A無解B一解C二解D不能確定 3、在ABC中，已

10、知，則角A為（）AB CD 或4、在ABC中，若，則ABC的形狀是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形 5、已知銳角三角形的邊長分別為1，3，a，則a的范圍是（ ）ABCD 6、甲船在島B的正南方A處，AB10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，當甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是（ ）A分鐘B分鐘C21.5分鐘D2.15分鐘7、飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標C得俯角為30，向前飛行10000米，到達B處，此時測得目標C的俯角為75，這時飛機與地面目標的水平距離為（ ）A5000米

11、B5000米C4000米D 米8、在ABC中，若A:B:C=1:2:3,則 9、在ABC中，150，則b 10、在ABC中，A60，B45，則a ；b 11、已知ABC中，121，則此三角形解的情況是 12、在ABC中，已知，A45，在BC邊的長分別為20，5的情況下，求相應(yīng)角C。13、在ABC中，BCa，ACb，a，b是方程的兩個根，且。求：(1)角C的度數(shù)； (2)AB的長度。14、 在ABC中，證明：。15、海島O上有一座海撥1000米的山,山頂上設(shè)有一個觀察站A,上午11時,測得一 輪船在島北60東C處,俯角30,11時10分,又測得該船在島的北60西B處, 俯角60. 這船的速度每小

12、時多少千米？ 如果船的航速不變,它何時到達島的正西方向？此時所在點E離島多少千 米？作業(yè)1. 已知ABC中，ac2，A30，則b()A. B. 2C. 3 D. 12. ABC中，a，b，sinB，則符合條件的三角形有()A. 1個 B. 2個C. 3個 D. 0個3(2010天津卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，則A()A30 B60C120 D1504.已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是（ ）A B CD 5.在ABC中，若，則ABC是（ ）A有一內(nèi)角為30的直角三角形 B等腰直角三角形C有一內(nèi)角為30的等腰三角形D等邊三角形 6在A