高中數(shù)學(xué)選修2-1新教學(xué)案：3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示W(wǎng)ord版

1、3.1.4 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示【教學(xué)目標(biāo)】1掌握空間向量基本定理及其推論，理解空間任意一個(gè)向量可以用不共面的三個(gè)已知向量線性表示，而且這種表示是唯一的；2在簡(jiǎn)單問題中，會(huì)選擇適當(dāng)?shù)幕讈?lái)表示任一空間向量.【重點(diǎn)】空間向量的基本定理及其推論.【難點(diǎn)】 空間向量基本定理唯一性的理解. 【創(chuàng)設(shè)情景】平面向量基本定理的內(nèi)容及其理解：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使. 【預(yù)習(xí)提綱】（根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材第 92 頁(yè)第 94 頁(yè)）1.空間向量的分向量的概念：如圖.設(shè)是空間三個(gè)兩兩垂直的向量,且有公共起點(diǎn).對(duì)于空間任意一個(gè)向量,設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)在所確

2、定的平面上的正投影.由平面向量基本定理可知,在,所確定的平面上,存在實(shí)數(shù),使得 .而在所確定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)對(duì),使得.由此可知,如果是空間三個(gè)兩兩垂直的向量,那么,對(duì)于空間任一向量,存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組,使得.我們稱為向量在上的分向量. 探究：在空間中，如果用任意三個(gè)不共面向量代替兩兩垂直的微向量，能得出類似的結(jié)論嗎？2.空間向量的基本定理及基底的概念：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得.由此可知， 若三向量不共面，那么所有空間向量組成的集合就是.我們把叫做空間的一個(gè)基底，都叫做基向量.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.如果

3、空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，那么這個(gè)基底叫做正交基底.特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用 表示.3.空間向量的坐標(biāo)的定義：設(shè)為空間向量的一個(gè)單位正交基底,以公共起點(diǎn)為原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.對(duì)于任意一個(gè)空間向量,一定可以把它平移,使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合,得到向量.由空間向量基本定理,存在有序?qū)崝?shù)組,使得.我們把稱作向量在單位正交基底下的坐標(biāo),記作.【基礎(chǔ)練習(xí)】【典型例題】OA/CMED/B/ADB例1 如圖，在正方體中，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD/與CE的交點(diǎn)，試分別用向量表示和【審題要津】解：；

4、.【方法總結(jié)】例2 如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線，分別是對(duì)邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量【審題要津】解： 【方法總結(jié)】 1O為平面上的定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，若( -)·(+2)=0，則DABC是（）A以AB為底邊的等腰三角形 B以BC為底邊的等腰三角形C以AB為斜邊的直角三角形 D以BC為斜邊的直角三角形2P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是ABC的（）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心3在四邊形ABCD中，且·0，則四邊形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夾角為，則以，為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為（）A B C D5O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的( ) A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心6設(shè)平面向量=(2，1)，=(，-1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A B C D7若上的投影為 。8向量，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k 9在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(-3,4)，若點(diǎn)C在AOB的平分線上且|=2,則=10在