全等三角形及三角形全等的條件一對(duì)一輔導(dǎo)講義

1、課 題全等三角形及三角形全等的條件1、掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理計(jì)算。教學(xué)目的2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能準(zhǔn)確找到判定定理的條件，并熟練運(yùn)用。教學(xué)內(nèi)容、課前檢測(cè)1 .如圖（1）, 中，平分/,則0.2 .斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是，底邊和腰相等的兩個(gè)等腰三角形全等的根據(jù)是.3 .已知的周長(zhǎng)為 32 , 9 , 12則，.圖（1）圖（2）圖（3）4 .如圖（2）,要使4且還需知道的一個(gè)條件是5 .如圖（3）,若/ 1 = /2, ZZ D,則理由.6 .不能確定兩個(gè)三角形全等的條件是（）A.三邊對(duì)應(yīng)相等 B.兩邊及其夾角相等C.兩

2、角和任一邊對(duì)應(yīng)相等 D.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等7 和中，ZZ D,若還需要（）A./EB./F C. D.前三種情況都可以8 在和 A' B' C中'B'C''C'/ A'/ B'/ C',則下列哪組條件不能保證 A' B' C'（）A.具備B.具備C.具備D.具備參考答案：1. 2.（或）3. 912114. /或5. 6 - D 7 D 8 - A二、知識(shí)梳理知識(shí)要點(diǎn)：要點(diǎn)1:全等三角形的概念及其性質(zhì)（1）全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等

3、、對(duì)應(yīng)角相等、周長(zhǎng)相等、面積相等要點(diǎn)2:全等三角形的判定(1)兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等；(2)兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等；(3)兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；(4)三邊對(duì)就應(yīng)相等。要點(diǎn)3:找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法(1)若給出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)即可找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。(2)若給出一些對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，則按照對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，反之，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊就可找出其他幾組對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。(3)按照兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角，兩對(duì)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊來(lái)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。(4) 一般情況下，在兩個(gè)全等三角形中，公共邊、公共角、對(duì)頂角等往往是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角。要點(diǎn)4:尋找兩個(gè)三角形全等的途徑(1)三角形全等的

4、判定是這個(gè)單元的重點(diǎn)，也是平面幾何的重點(diǎn)有兩組對(duì)應(yīng)角相等時(shí)；找有兩組對(duì)應(yīng)邊相等時(shí)；找有一邊，一鄰角相等時(shí)；找有一邊，一對(duì)角相等時(shí)；找任一組角相等（）（2）利用兩個(gè)三角形的公共邊或公共角尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，推得新的等量元素如圖（一）中的，圖（二）中的都是相應(yīng)三角形的公共元素。圖（三）中如有，利用公有的線段就可推出。圖（四）中若有就能推出三、例題講解：例 1.如圖， A,F,E,B 四點(diǎn)共線，AC CE , BD DF , AE BF , AC BD。求證： ACF BDE。.思路分析：從結(jié)論 ACFBDE入手，全等條彳只有 AC BD ;由AE BF兩邊同時(shí)減去EF得到AF BE,又得到一個(gè)全等條件。

5、還缺少一個(gè)全等條件，可以是 CF DE ,也可以是 A B。由條件AC CE , BD DF可得 ACE BDF 90：,再加上AE BF , AC BD ,可以證明ACE BDF ,從而得到 A B。解答過(guò)程：v AC CE, BD DFACE BDF 90；在 Rt ACE 與 Rt BDF 中AE BFAC BD Rt ACE Rt BDF ()A BAE BFAE EF BF EF ,即 AF BE在ACF與BDE中AF BEA BAC BDACF BDE ()解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問(wèn)題或結(jié)論入手，看還需要什么條聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：

6、本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路BE是/的平分線，AD BE , 垂足為D。求證： 2C比較困難，我們可以間接證明，即找到那么O在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將，證明 2 且1 C。AD延長(zhǎng)交BC于F ,則構(gòu)造了4,可以通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明/ 2=/,可以由三角形外角定理得/ 解答過(guò)程：延長(zhǎng)AD交BC于F1 + Z Co在ABD與ABDBD BDFBD中FBDABDFBD (2 DFBADBFDB90又.DFB解題后的思考 例3.如圖，在:由于角是軸對(duì)稱圖形,ABC 中，AB BC ,所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。A

7、BC 90；。F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE BF ,連接AE,EF和CF 。求證：AE CF 。思路分析：可以利用全等三角形來(lái)證明這兩條線段相等,關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。 以線段AE為邊的 ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90%到 CBF的位置，而線段 CF正好是 CBF的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過(guò)程：ABC 90' , F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)ABC CBF 90'在ABE與CBF中AB BCABC CBFBE BFABE CBF ()AE CF。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是

8、重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以 根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4.如圖，D是 ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CD AB, ADB BAD, AE是 ABD的中線。求證：AC 2AE。思路分析：要證明“ AC 2AE”，不妨構(gòu)造出一條等于 2AE的線段，然后證其等于 AC。因此，延長(zhǎng) AE至F , 使 EF AE。解答過(guò)程：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F ,使EF AE ,連接DF在ABE與FDE中AE FEAEB FED BE DEABE FDE () B EDF 丫 ADF ADB EDF , ADC BAD B 又.ADB BADAD

9、F ADC丁 AB DF , AB CD DF DC在ADF與ADC中AD ADADF ADC DF DCADF ADC ()AF AC又,AF 2AEAC 2AE。解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。四、課堂練習(xí)一、選擇題：1 .能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等2 .根據(jù)下列條件，能畫出唯一 ABC的是（A. AB 3, BC 4, CA 8B. 一銳角對(duì)應(yīng)相等D.斜邊相等)B. AB 4 , BC 3, A 30；D. C 90： , AB 62, AC AD ,增加下列條件：ABAE

10、 ; BC ED ; C3.如圖，已知 1其中能使 ABC AED的條件有（）4.如圖，已以 AB CD, BC AD， B 23；,則，D 等于(A. 67；B. 46；C. 23）D.無(wú)法確定二、填空題：5.如圖，在 ABC中，C 90；, 則點(diǎn)D到AB的距離等于cm ；ABC 的平分線 BD 交 AC 于點(diǎn) D ,且 CD: AD 2:3, AC 10cm,6.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊,BC,BD為折痕，則 CBD的大小為;C. C 60：,B 45： , AB 4三、解答題：7 .如圖， ABC為等邊三角形，點(diǎn)M ,N分別在BC,AC上，且BM CN , AM與BN交于Q點(diǎn)。求

11、 AQN 的度數(shù)。B 環(huán)C-T8 .如圖， ACB 90：, AC BC, D為AB上一點(diǎn)，AE CD, BF CD ,交CD延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。求證:BF CE。9 .如圖，已知，.求證：(1) , ( 2)，10.已知：如圖，在中，/90°, / 1 = /2,，的延長(zhǎng)線于 E.求證：2.參考答案一、選擇題：1. A2. C3. B4. C二、填空題：5 . 46. 90,，三、解答題：7 .解：ABC為等邊三角形，AB BC , ABC C 60；在ABM與BCN中AB BCABC CBM CNABM BCN ()NBC BAMAQN ABQ BAM ABQ NBC 60%8 .證明

12、：AE CD , BF CDF AEC 90；ACECAE 90；ACB 90；ACEBCF 90：CAE BCF 在ACE與CBF中F AECCAE BCFAC BCACE CBF () BF CE。9 .證明：(1) B+Z 180°又. /+/ 4+Z + Z 3=360°, Z 3= Z4=90°180°:/ /在和中fAB-AFBC = AE(2)1 = /F 又1+/3=/2+/ F2=/3又:/ 3=90°2=90° .二,即，vZ 3=90°,5+Z 90°90 =90°又.，4=90&#

13、176;, / 7=90°1 + /90°, Z 6=180°1 = Z 5< AB = AC/i -在和中 I()Z1 = Z2t BE = BE在和中卯” ./()2： 2五、課堂小結(jié)(1)全等三角形的概念及其性質(zhì)(2)全等三角形的判定(3)找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法(4)尋找兩個(gè)三角形全等的途徑六、課后作業(yè)一、填空題1 如圖(1) , / E, / 1 = 7 2,則按邊分是三角形.2 如圖（2）,，于D,，于E,交于P,則（填“ <”或“ >”或“="）.3 .如圖（3）, 中，現(xiàn)想利用證三角形全等證明/C,若證三角形全

14、等所用的公理是公理，則圖中所添加的輔助線應(yīng)是.4. 一個(gè)三角形的三邊為 2、5、x,另一個(gè)三角形的三邊為 V、2、6,若這兩個(gè)三角形全等，則.5 .如圖（4）,若則需增加的條件是.（至少三個(gè)） 二、選擇題6 .如圖（8）,圖中有兩個(gè)三角形全等，且/ D,與是對(duì)應(yīng)邊，則下列書寫最規(guī)范的是（）A. AA B. AAC. AA D. AA7 .如圖（9）,平分/, E在上，則圖中能全等的三角形有對(duì)A. 1B. 2C. 3D. 48 .如圖（10）, 中，D、E是邊上兩點(diǎn)，-71=72=110° , /60° ,則/等于（）A. 70° B. 60° C. 50

15、° D, 110°9 .如圖（11）, / ,且，則的根據(jù)是 （）A.只能用B.只能用C.只能用D.用或10 .如圖（12）,和，和是對(duì)應(yīng)邊，那么/等于（）A. / B. / C. / FD. /11 .如圖（13）, 中，/ 90° ,平分/交于 D,，于E且6 ,則的周長(zhǎng)為 （）A. 40 B. 6 C. 8 D. 10ZZA. / B. 與不全等C. D. 是等腰三角形圖（13）D,相交于點(diǎn)圖（14）E,下面結(jié)論不正確的是（三、解答題13 .已知是上的兩點(diǎn)，/ ,且,圖（15）14 . 一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖（16）所示的殘片，你對(duì)圖中作哪些數(shù)據(jù)測(cè)量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說(shuō)明理由.圖（16）15 .如圖（17）,在中，是中線，是高線.圖(17)(1)若比長(zhǎng)5 ,則的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多.(2)若的面積為10 2,則的面積為2.A. 10 B. 20 C. 30 D. 40(3)若又是的角平分線，/130° ,求/的度數(shù).16 .已知如圖(18), B是的中點(diǎn)，.交于F點(diǎn) 求證：(1) /(2).圖(18)參考答案一、1 等腰 2. = 3.為的中線4. 115. /或/ B或或.(多寫一個(gè)加一分)二、6. B 7, C 8. B 9. D10 . B 11.