正弦定理與余弦定理的應用(精) (2)

1、1.1.2 正、余弦定理在實際生活中的應用(2010遼寧卷)在ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大??；(2)若sinBsinC1，試判斷ABC的形狀了解有關測量術語了解有關測量術語:a.仰角和俯角仰角和俯角是指與目標視線在同一垂直平是指與目標視線在同一垂直平面內的水平視線的夾角面內的水平視線的夾角.其中目標視線在水平其中目標視線在水平視線的目標視線上方時叫仰角視線的目標視線上方時叫仰角,目標視線在水目標視線在水平視線的下方的時叫俯角平視線的下方的時叫俯角.b.方向角方向角是指從指定方向線到目標方向線的是指從指定方向線到目

2、標方向線的水平角水平角,如北偏東如北偏東300,南偏西南偏西450.c.方位角方位角是指從正北方向是順時針旋轉到目是指從正北方向是順時針旋轉到目標方向線的水平角標方向線的水平角.d.坡度坡度是坡面與水平面所成的角的度數(shù)是坡面與水平面所成的角的度數(shù).（1）準確地理解題意；）準確地理解題意；（2）正確地作出圖形；）正確地作出圖形；（3）把已知和要求的量盡量集中在有關三）把已知和要求的量盡量集中在有關三角形中，利用正弦定理和余弦定理有順角形中，利用正弦定理和余弦定理有順序地解這些三角形；序地解這些三角形；（）再根據(jù)實際意義和精確度的要求給出（）再根據(jù)實際意義和精確度的要求給出答案答案解三角形應用題的

3、一般步驟：解三角形應用題的一般步驟：練習練習1、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從與煙囪底，從與煙囪底部在同一水平直線上的部在同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是兩處，測得煙囪的仰角分別是和 45 60，CD間的距離是間的距離是12m.已知測角儀器已知測角儀器高高1.5m,求煙囪的高。求煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想實例講解實例講解實例講解實例講解AA1BCDC1D1分析：分析：如圖，因為如圖，因為AB=AA1+A1B，又，又已知已知AA1=1.5m,所以

4、只要求出所以只要求出A1B即可。即可。解：解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：煙囪的高為答：煙囪的高為 29.9m.例例4 在山頂鐵塔上在山頂鐵塔上B處測得地面上處測得地面上一點一點A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C處測得處測得A處的俯角處的俯角501已知已知鐵塔鐵塔BC部分的高為部分的高為27.3m，求出山求出山高高CD(精確到精確到1m)分析：根據(jù)已知條件，應該設分析：根據(jù)

5、已知條件，應該設法計算出法計算出AB或或AC的的長長解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90- -, BAC=- -, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，)90sin()sin(ABBC)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，例例5:一輛汽車在一條水平的公路上向正一輛汽車在一條水平的公路上向正xi行駛，到行駛，到A處時處時測得公路南側

6、遠處一山頂測得公路南側遠處一山頂D在在xi偏偏bei15的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到達后到達B處，測得此山頂在處，測得此山頂在xi偏偏bei25的方向上，仰的方向上，仰角角8，求此山的高度，求此山的高度CD.分析：要測出高分析：要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算出直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算出BC的長。的長。解：在解：在ABC中，中，C=25-15=10.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BC

7、tanDBCBCtan81047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。BDAC5km15258練習二 一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側遠處一山頂D在西偏北15的方向上，行駛5km后到達B處，測得山頂D位于正東北方,且由A到B的圖中測得對山頂D的最大仰角為30 ,求山高P15 練習2 2.測山上石油鉆井的井架測山上石油鉆井的井架BC的高，從山腳的高，從山腳A測測得得AC=60m，塔頂，塔頂B的仰角的仰角a是是 45,已知山坡已知山坡的傾斜角的傾斜角 是是 30，求井架高，求井架高BC。三、下面是幾個測量角度問題例、如圖，某漁輪在航得中不幸遇險，發(fā)出例、如

8、圖，某漁輪在航得中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為漁輪在方位角為，距離為，距離為10n mile的的處，并測得漁輪正沿方位角為處，并測得漁輪正沿方位角為105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以立即以n mile/h的速度前去營救求艦艇的速度前去營救求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到0.1 ,時間精確到時間精確到min）北北北北BC105方位角：方位角：指從正北方向指從正北方向順時針旋轉到目標方向線順時針旋轉到目標方

9、向線的水平角的水平角北北北北BC105解：設艦艇收到信號后解：設艦艇收到信號后xh在處靠攏漁輪，則在處靠攏漁輪，則21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化簡得：化簡得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(負值舍去）負值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以所以21.8，方位角為，方位角為45 +21.8 =66.8 答：艦艇應沿著方位角答：艦艇應沿著方位角66.8 的方向航行，的方向航行，經過經過min就可靠近漁輪就可靠近漁輪練習一練習一如圖如圖.當甲船位于當甲船位于A處時獲悉處時獲悉,在其正東方向相距在其正東方向相距20海里海里的的B處有一艘漁船遇險等待營救處有一艘漁船遇險等待營救.甲船立即甲船立即 前往救援前往救援.同同時把消息告知在甲船的南偏西時把消息告知在甲船的南偏西.相距相距10海里海里C處的乙處的乙船船,試問已船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往試問已船應朝北偏