初高中數(shù)學(xué)銜接教材代數(shù)部分

1、667734510.doc初高中數(shù)學(xué)銜接教材求關(guān)于x的不等式ax2 bx +c >0的解.編者的話現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)”：1、絕對值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次項系數(shù)為 1的二次三項式的分解，對系數(shù)不為1的 涉及不多，而且對三次或高次多項式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡求值都要用 到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函 數(shù)、不等式常用的解題技巧；5初中教材對二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了

2、解水平。而高中則是貫穿整個數(shù)學(xué)教材 的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求 最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法；6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初中不 作要求，此類題目僅限于簡單的常規(guī)運(yùn)算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們的 相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；7、圖像的對稱、平移變換初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)時，則作為必備的基本 知識要領(lǐng)；8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點，并無專題 內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，

3、是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念（如三角形的五心：重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心）和定理（平行 線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除， 大都沒有去學(xué)習(xí)；10、圓中四點共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學(xué)習(xí)。高中則在使用。另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化， 甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。新的課程改革，難免會導(dǎo)致很多知識的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒有詳盡列舉出來。我 們會不斷的研究新課程及其體系。將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足， 加以補(bǔ)充和完善。歡迎廣大讀者提出寶貴意見，我

4、們將不勝感激！更新整理魯老師QQ:6701175062010.6.24目錄第一章 數(shù)與式1.1 數(shù)與式的運(yùn)算1.1.1 絕對值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章二次方程與二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系2.2.1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)2.2.2 二次函數(shù)的三種表達(dá)方式2.2.3 二次函數(shù)的應(yīng)用2.3方程與不等式2.3.1 二元二次方程組的解法第三章相似形、三角形、圓3.1 相似形3.1.1 平行線分線段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性質(zhì)與判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心

5、3.2.2 解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用3.3 圓3.3.1 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系：圓哥定理3.3.2 點的軌跡3.3.3 四點共圓的性質(zhì)與判定3.3.4 直線和圓的方程（選學(xué)）第3頁共36頁667734510.doc1.1數(shù)與式的運(yùn)算1. 1 .1.絕對值絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對 值仍是零.即a, a 0,| a |= « 0, a = 0,-a, a <0. J絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：a-b表示在數(shù)軸上，數(shù)a和數(shù)b之間的距離

6、.例1解不等式：x-1+x-3 >4.解法一：由 x1=0,得 x=1;由 x3 = 0,得 x=3;若x < 1 ,不等式可變?yōu)?(x-1)-(x-3)a4 ,即2x+4 >4,解得 x<0,又 x<1,x< 0;若1Wx<2,不等式可變?yōu)?x-1)-(x-3) >4 ,即 1 >4,不存在滿足條件的x;若x±3,不等式可變?yōu)?x-1)+(x-3)>4,即 2x4>4,解得 x>4.又x>5 x> 4.綜上所述，原不等式的解為x<0,或 x>4.解法二：如圖1.1 1, x-1表示x軸上

7、坐標(biāo)為x的點P到坐標(biāo)為1的點A之間的距離|PA|,即|PA|=|x 1|; |x3|表示x軸上點P到坐標(biāo)為2的點B之間的距離|PB|,即|PB|=|x |x-3|PCABD1 | .x0134x、tv|xi|圖 1 . 1 - 13|.所以，不等式|x-1 +|x-3 >4的幾何意義即為|FA|+|PB|>4.由AB| = 2,可知點P在點C（坐標(biāo)為0）的左側(cè)、或點P在點D（坐標(biāo) 為4）的右側(cè).x<0,或 x>4.練 習(xí)1 .填空：(1)若 x =5 ,貝U x=；若 x| = -4 ,貝U x=(2)如果 a + b = 5,且 a = 1,則 b=；若 1 一 c

8、= 2,則 c=2 .選擇題:下列敘述正確的是(A)若 a = b,則 a=b(C)若 a <b ,則 a <|b3 .化簡：X-5|- |2x-13| (x>5).( )(B)若 ab,則 ab(D)若 a = b ,則 a = ±b1.1.2.乘法公式我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式:(1)平方差公式(a +b)(a -b) =a2 -b2 ;(2)完全平方公式(a士 b)2 =旨±2ab+2b我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式(2)立方差公式(3)三數(shù)和平方公式(4)兩數(shù)和立方公式(5)兩數(shù)差立方公式(a + b) (a

9、- a b 2 b) = 3a+ ;3 b(a - b) (a + a b 2 b) = 3a-;3b(a+b+d = a+ b+ C2(ab+bch；)ac(a + bf =言 + 3 4 b+ 3 a2b 十；3b(a - bj = 03 -3 a b+3 a2b-. b對上面列出的五個公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明.例 1 計算：(x + 1)(x-1)(x2 -x+1)(x2 +x+1).解法一：原式二 (x2 -1) (x2 +1)2 _x22 42=(x -1)(x x 1)-x61=x I .解法二：原式=(x+1)(x2 -x+1)(x-1)(x2+x+1) 33=(x 1)

10、(x -1)6,=x -1 .例2 已知 a+b+c = 4, ab+bc + ac = 4,求 a2+b2+c2 的值.解：a2 +b2 +c2 =(a +b + c)2 -2(ab + bc + ac) =8 .練 習(xí)1 .填空：1 2 1,2 J , 1 、(1) -a -b =(-b+a)()；9423(2) (4 m +)2=16m2+4m+()；(3 ) (a+2b-c)2 =a2+4b2+c2+().2 .選擇題：21(1)右x十mx+k是一個完全平萬式，則 k等于2(D)1 2一 m1621212(A) m( B) m( C) m43(2)不論a, b為何實數(shù)，a2+b2-2a

11、-4b+8的值(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.13二次根式一般地，形如.a（a_0）的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方 的式子稱為 無理式.例如 3a+Ja2 +b +2b , Ja2+b2等是無理式，而 J2x2+12x + 1, x2十應(yīng)xy + y2 , ja2等是有理式.1 .分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做 分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需 要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘， 如果它們的積不含有二次根式， 我們就說這兩個代數(shù)式互為 有理化因式，例如夜與衣，班與8 ,4+灰與曲

12、層, 2逐3乏與2套+3拒,. '月殳, a x x" , a>fx + bJ y a x _ by , ax + baTx-b互為有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程； 而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn) 用公式 用&= 而已之0,b之0）；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通 過分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應(yīng)在化簡的基礎(chǔ)上去括 號與合并同類二次根式.a2

13、 = aa, a -0,a, a ： 0.第17頁共36頁將下列式子化為最簡二次根式：(1) 122b;(2) VO2b(a>0);(3) 74x6y(x<0).解:(1) Ji2b =2每；(2)Ja2b = a|Jb = aVb(a 之0)；(3)，4x6y =2 x3|八=-2x3 4(x < 0). 計算：73(3 J3). 、3解法一：:3-：-(3、3 933- <3=、, 3 (3 . 3)一(3 - . 3)(3 . 3)3 3 3=9-3: 3(、. 3 1)_62解法二：J3。( 3«39 3=3- 3=、3 3(、.3-1)1 3 -1_

14、.3 1(、,3一1)(二3 1)2試比較下列各組數(shù)的大?。?1) 疝一布和如一聞； (2)/ 和2盤-層.6 4解:12- ,11( .12-、11)( .12 .11)1.12 .11.1 1- . 10 ,( 111 0)(1 1彳1 :01又配 + 布 > 7iTQ10,阮-廊 痂-M 2) ) v 2 2- .6-3) 2 6 (2.2、.6)(22+ .6)例4解：1又4>2啦，加+ 4> 班+2業(yè)2 -產(chǎn)< 2。2 66.6 4化簡：(,3 、2)2004(、3 - .220052.2+ ,62,2+.6 1( 3 .2)2004 63-、2)2004(、

15、3 - J2)晨3.2)晨3- 2) 2004 (、.3-2)12004 ( 3/3 22.例 5 化簡：(1) 9-475 ;(2) Jx2 +-2-2(0 <x<1).解：(1)原式=,5+4而+4=,(5)2 2 2 . 5 22= (2 - . 5)2=2-75|=45 -2 .2(2)原式二 J(x-1)< 0 <x <1 ,1 xx所以，原式=例 6 已知 x = ?3 ! ,v = * '/2 , 求 3x2-5xy+3y2 的值 . 32、3-；2解:x + y = f f +葉+ % =(j3 回2 +(我 + j2)2 =10 , ,3

16、23-23 -.2 .32 dxx=12im2 2_2、2 一 一23x -5xy+3y =3(x+y) -11xy = 310 -11 = 289.填空:(1)1 - .31 ,3(2)若，(5 - x)(x -3)2 = (x -3)由-x ,則x的取值范圍是一(3)(4)4x/24 -6商 +3/96-27150= 5 n t , x 1 - . x -1. x 1 +vx -1右 x =，則 r +-2 x 1x -1, x 1 - x -12.選擇題：等式J =/x=成立的條件是x-2,x-2(A) x=23.a2 -1 . 1(B) x >02，求a +b的值.(C) x&g

17、t;2(D) 0<x<24.比較大?。? 也V5- V4(填法"，或之”).1.1.4 ,分式1.分式的意義A AA . .一形如-的式子，若B中含有字母，且 B #0 ,則稱二為分式.當(dāng)MWO時，分式-具有下列性質(zhì):A A- MB B- M上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).2.繁分式2m這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式.n p5x 4x(x 2) x x 2A+ B ,求常數(shù)A,B的值.解:.A B I A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4x( x 2)x(x 2)x(x 2)(D(2)(3).，A + B=5,2A =4,解得(1)(2)證明:試

18、證:計算:證明:解：由n(n 1)（其中n是正整數(shù)）；12 2 3對任意大于1的正整數(shù)n,111有1 (n 1) -nn n 1 n(n 1)n(n 1)n(n 1) 2n(n 1)(1)可知122 3=(1-2 ):110910（其中n是正整數(shù)）成立.n(n 1)1111=(一).(一).2334(-又nZ且n是正整數(shù),定為正數(shù),+<2 3 3 4 n(n 1)求e的化C 一22.例 3 設(shè)3=,且 e>1,2c 5ac+ 2a = 0,解：在2c2 5ac+ 2a2=0兩邊同除以a2,得 _ 22e 一5e+ 2 = 0,.(2e-1)(e- 2)=0,習(xí)填空題:1e=2 &l

19、t;二 e= 2.1,舍去;對任意的正整數(shù)n,n(n 2)1-);n 22.選擇題：若紅1x y(A) 1(C) 45(D)-53.正數(shù)x, y滿足x24.1 計算1 2x-y x y1的值.99 100習(xí)題1. 1A組1 .解不等式：(1) x -1| >3；(2) x + 3+|x 2<7 ；(3) x -1| 十|x+ 1 >6 .332 .已知 x+y=1,求 x +y + 3xy 的值.3 .填空：(1) (2+而18(2-折9 =；(2)若J(1-a)2 +J(1、a)2 =2 ,則a的取值范圍是 ；(3)+1.2.2；3.3 .4 4 ；55 .61 .填空：一

20、、 1.1(1)a=一 , b=一,23皿3a2 - ab貝U 22若 x2 +xy-2y2 =0,則x2 3xy y23a 5ab -2b2.已知：x =1, y =,求與l- ft-的值23 x - ,y x y1.選擇題：(1)若.-a -b -2、.ab = . -b -Ja ,則(A) a <b(B) a >b(C) a <b <0( )(D) b <a <0(2)計算aa(A) Ja(B) Ta(C)-占(D) "i/a.、2112 .解方程 2(x2 +) -3(x 十一)-1=0. xx、111131 3 2 4 3 59 1114

21、 .試證：對任意的正整數(shù)n,有十n(n 1)(n 2)1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng) 了解求根法及待定系數(shù)法.1 .十字相乘法例1分解因式：，一 2(1) x -3x+ 2;(3) x2 (a+b)xy +aby2 ;，一、2一(2) x2+4x 12;(4) xy -1 + x - y .解：(1)如圖1.1 1,將二次項x2分解成圖中的兩個與一2的乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一 以，有2一x2 - 3x+ 2=(x 1)(x-2).3x,x的積，再將常數(shù)項2分解成1就是x23x+2中的一次項，所1- 1圖1 .-2圖1

22、 .-212圖1.-2一 ay一by說明：今后在分解與本例類似的二次三項式時，可以直接將圖1.1 1中的兩個X來表示(如圖1. 1 2所示).(2)由圖1. 13,得x2 + 4x 12=(x 2)(x+ 6).(3)由圖1. 14,得 22x _(a + b)xy + aby = (x-ay)(x-by)(4) xy_1+x_y=xy+ (x y) 1= (x 1) (y+1)(如圖 1. 1 5所示).課堂練習(xí)一、填空題：1、把下列各式分解因式：(1) x2 + 5x -6 =。2(2) x _ 5x +6 =o(3) x2 +5x +6 =。(4) x2 -5x -6 =。(5) x2

23、-(a +1 x +a =。(6) x211x+18=。 6x2 7x 2 ;。(8) 4m2 -12m+9 二。(9) 5 +7x -6x2 =。(10) 12x2 +xy-6y2 =2、x2 _4x = x 3 x 23、若 x +ax+b = (x+2(x4 惻 a =, b =。二、選擇題：(每小題四個答案中只有一個是正確的)22221、在多項式(1) x +7x+6 (2) x +4x+3 (3) x +6x + 8 (4) x +7x+102(5) x +15x+44中，有相同因式的是()A、只有(1) (2)B、只有(3) (4)C、只有(3) (5)D、(1)和(2); (3)

24、和(4) ; (3)和(5)一.2_ 212、分解因式a +8ab -33b得()A、(a+11%a-3) B、(a+11b/a-3b) C、(a-11bXa-3b)D、(a-11bXa + 3b)3、(a+bf+8(a+b )20分解因式得()A、(a+b+10/a+b-2 )B、(a+ b+5/a+b-4)C、(a+b+2 Xa+b-10)D、(a+ b+4 Xa+ b-5)4、若多項式x2-3x+a可分解為(x5'fx b ),則a、b的值是()A、a=10, b=2b、a=10, b =-2C、a = -10, b =-2d、a = -10, b = 25、若x2 +mx-10

25、 = (x+a Xx+b淇中a、b為整數(shù)，則 m的值為()A、3或 9 B、±3 C、±9 D、±3或 土9三、把下列各式分解因式1、6(2pq 2 11(q-2P )+32、a35a2b+6ab24、b4 -2b2 -823、2y - 4y - 62.提取公因式法例2分解因式：，一 232(1) a (b-5)+a(5-b)(2) x +9+3x +3x解： (1). a2(b5)+a(5b)=a(b5)(a-1)(2) x3 9 3x2 3x = (x3 3x2) (3x 9) =x2(x 3) 3(x 3)2= (x+3)(x2+3).或x3+9+3x2 +

26、3x= (x3 +3x2 +3x+1)+8= (x+1)3+8= (x+1)3+23=(x 1) 2(x 1)2 -(x 1) 2 22=(x 3)(x2 3)課堂練習(xí)：一、填空題：221、多項式 6x y2xy +4xyz中各項的公因式是 。2、m(x _ y )+ n(y -x )= (x - y 卜。2223、m(x - y J +n(yx) =(xy) *。4、m(x y -z)+ n(y +zx)=(x y z)。5、m(x _y-z)-x+y+z = (x-y-z )。6、-13ab2x6 -39a3b2x5 分解因式得 。, ， 一 2 一7 .計算 9999=二、判斷題：(正確

27、的打上，錯誤的打上“x”)221、 2a b -4ab =2ab(ab )，,()2、 am+bm + m = m(a+b),()3、 -3x3 +6x2 -15x = -3x(x2 +2x-5),(), n n 4 n 44、 x x x (x 1 )，,()3:公式法例 3 分解因式：(1) -a4+16(2) (3x + 2y 2 -(x- y 2解：(1) -a4 16 = 42-(a2)2 =(4 a2)(4-a2) =(4 a2)(2 a)(2-a)(2) (3x +2yf(xyj= (3x +2y + x y)(3x + 2y x + y) = (4x + y)(2x + 3y)

28、課堂練習(xí)、a22ab+b2, a2 -b2, a3b3 的公因式是二、判斷題：(正確的打上,錯誤的打上“x”)1、4 2-x2 -0.01 =92 '2 p-x -(0.1 f =<3 )2x +<3x-0.1 ,- 22,2- 22、9a 8b =(3aj(4b) = (3a+4b；(3a4b),()3、25a2 -16b = (5a +4b %5a-4b),()4、 x2y2 =-(x2y2 )=(x + y xy ),()5、 a2 (b+c 2 =(a+b +c/a b+c,()五、把下列各式分解1、9(mn 2 +(m+n j2、3x2133 、 4 -(x2 -

29、4x +2 24、 x42x2 + 14 .分組分解法例4(1) x2xy+3y-3x(2) 2x2 + xy - y2 - 4x + 5y - 6 .(2) 2x2 +xy y2 -4x +5y -6=2x2 +(y -4)x- y2 +5y -6= 2x2 +(y -4)x-(y-2)(y-3) = (2x -y +2)(x+y-3).或 2222、2x xy - y -4x 5y -6= (2x xy - y ) - (4x - 5y) - 6=(2x y)(x y) (4x 5y) 6=(2x -y +2)(x + y -3).課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項式(1) x2 -y2 +a

30、2 -b2 +2ax + 2by(2) a2 -4ab 4b2 -6a 12b 95.關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c(aR)的因式分解.若關(guān)于x的方程ax2 +bx +c = 0(a豐0)的兩個實數(shù)根是x1、x2,則二次三項式ax2 + bx+c(a豐0) 就可分解為a(x - x1)(x -x2).例5把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式：(1) x2+2x-1;(2) x2+4xy-4y2.解：(1)令 x2+2x1=0,貝U解得 x =1 + 拒，x2=1亞，x2 - 2x -1= |x -(_1 " <.12) x -(-1 -、. 2)=(x +1 _V2)(x+1+

31、。2).667734510.doc(2)令 x2+4xy4y2=0,則解得 % =(2+2月 y, x1 = (2 2夜)y ,x2 +4xy-4y2 = x+2(1-2)yx + 2(1 + V2)y.練 習(xí)1 .選擇題：多項式2x2 -xy-15y2的一個因式為()(A) 2x -5y (B) x -3y(C) x+3y (D) x -5y2 .分解因式：(1) x2+6x+ 8;(2) 8a3b3;(3) x2-2x- 1；(4) 4(x y+1)+y(y 2x).習(xí)題1. 21 .分解因式：，34_ .2 一(1) a +1 ；(2) 4x 13x +9 ；2222(3) b +c +

32、2ab+2ac+2bc ；(4) 3x +5xy 2y +x + 9y 4.2.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：(1) x2 -5x+3 ； x2 -2V2x-3；2.2,222(3) 3x +4xy y ；(4) (x 2x) -7(x 2x)+12.2223 . MBC三邊a, b , c滿足a +b +c =ab+bc + ca ,試判定AABC的形狀.的值.4 .分解因式：x2+x(a2a). 1115 .(嘗試題) 已知 abc=1, a+b+c=2 , a2+b2+c2=, 求+ab c-1 bc a -1 ca b-12.1 一元二次方程2.1.1 根的判別式情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實

33、例探索二次方程的根的求法，222如求萬程的根(1) x - 2x -3 =0(2)x 2x 1 0 (3) x 2x 3 =0我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a4),用配方法可以將其變形為b 2b2-4ac(x o )2 =/ 22a 4a因為aO,所以，4a2>0.于(1)當(dāng)b24ac>0時，方程的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不相等的實數(shù)根-b - b2 -4ac(2)當(dāng)b24ac=0時，方程的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)根bXi = X2 =；2a(3)當(dāng)b24acv0時，方程的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程的左邊(x + 擔(dān))2一定大于或等于零，因2

34、a此，原方程沒有實數(shù)根.由此可知，一元二次方程ax2+bx + c= 0 (a用)的根的情況可以由 b2 4ac來判定，我們把 b24ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (aR)的根的判別式，通常用符號 “來表示.綜上所述，對于一元二次方程 ax2+bx+c= 0 (aR),有(1) 當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根-b: b2 -4acxi 2=;2a(2)當(dāng)A= 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根bxi= x2=- ；2a(3)當(dāng)AV 0時，方程沒有實數(shù)根.例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中 a為常數(shù))，如果方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.(1) x2 3x+3=0;(

35、2) x2- ax- 1=0;(3) x2 ax+(a1)= 0;(4) x2 2x+a=0.解：(1)A= 324M X3= 3v 0,，方程沒有實數(shù)根.(2)該方程的根的判別式A= a2-4X1>-1)=a2+4>0,所以方程一定有兩個不等的實數(shù)根a，a a2 4a - /a2 4(3)由于該方程的根的判別式為= a24X1 X(a1)= a24a+ 4= (a-2)2,所以,當(dāng)a= 2時，A=0,所以方程有兩個相等的實數(shù)根x1= *2= 1 ；當(dāng)aw2時，A>0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根x1 = 1, x2 = a 1.(3)由于該方程的根的判別式為A= 224X1

36、 Xa=4-4a= 4(1 a),所以當(dāng)A>0,即4(1 -a) >0,即a<1時，方程有兩個不相等的實數(shù)根 x1 =1 + v1-a ,x2 =1 71 -a ；當(dāng)A=0,即a=1時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1= *2= 1 ；當(dāng)Av 0,即a>1時，方程沒有實數(shù)根.說明：在第3, 4小題中，方程的根的判別式的符號隨著 a的取值的變化而變化，于是，在解題過程 中，需要對a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做 分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個非 常重要的方法，在今后的解題中會經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題.2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理).次方程 ax2+b

37、x+c= 0 (a加)有兩個實數(shù)根第21頁共36頁667734510.doc-b-b2-4ac-b- b2-4acx1 =, x2 =,2a2a則有-b , b2 -4ac -b -，b2 - 4ac -2bbX1 + X2 =Z+Z= =；2a2a 2a a-bb2 -4ac -b - b 2-4ac b 2- (b 24ac) 4ac cX1X2 =-2 2 2a2a4a 4a a所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：bc如果ax + bx+ c= 0 (aR)的兩根分力1J是 x1, x2,那么x1 + x2=, x1 x2= .這一關(guān)系也被稱為aa韋達(dá)定理.特別地，對于二次項系

38、數(shù)為1的一元二次方程 x2+px+q = 0,若Xi, X2是其兩根，由韋達(dá)定理可知X1 + X2 = p , Xi X2= q ,即p=(Xi + X2), q = XiX2,所以，方程 X2+pX+q = 0 可化為 X2(Xi + X2)X+ Xi X2= 0,由于 Xi, X2是一元二次方程 X2+pX+ q= 0 的兩根，所以，Xi , X2也是一兀二次方程 X2(Xi + X2)x+ Xi X2=0.因此有以兩個數(shù)X1, X2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是2x (Xl+X2)x+Xl X2=0- 2例2已知萬程5x +kx-6 = 0的一個根是2,求它的另一個根及k的值.分

39、析：由于已知了方程的一個根，可以直接將這一根代入，求出k的值，再由方程解出另一個根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的一個根及方程的二次項系數(shù) 和常數(shù)項，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個根，再由兩根之和求出k的值.解法一：2是方程的一個根，5X22+kX2 6 = 0,k=- 7.23所以，方程就為 5X2 7x 6=0,斛得xi= 2, x2 =.5一 、一3所以，方程的另一個根為一3, k的值為一7.563解法二：設(shè)方程的另一個根為 Xi,則 2xi=-Xi = -553k 一由(一一)+2=一一，得 k= 7.55 3.所以，方程的另一個根為一一，

40、k的值為一7.5例3已知關(guān)于x的方程x2+2(m 2)x+ m2+4= 0有兩個實數(shù)根，并且這兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大2i,求m的值.分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實數(shù)根的平方和比兩個根的積大2i得到關(guān)于m的方程，從而解得m的值.但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個實數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零.解：設(shè)Xi, X2是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得xi + X2 = 2(m 2), xX2=m2+4.2 ,2. Xi + X2 Xi X2= 2i ,21. (xi + X2) 3 x1X2 = 2i,即 -2(m-2)2-3(m2 + 4)=2i,化簡，得m2-i6m-i7=

41、0,解得 m= i,或 m=i7. 當(dāng)m= i時，方程為x2+6x+5=0, A>0,滿足題意； 當(dāng) m=i7 時，方程為 x2+30x+293= 0, A= 302-4Xi X293< 0,不合題意，舍去.第i#頁共36頁667734510.doc綜上，m=17.說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對應(yīng)的m的范圍，然后再由兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，取滿足條件的 m的值即可.(1)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時，還要考慮到根的判別式A是否大于或大于零.因為，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實數(shù)根.例4已知兩個數(shù)的

42、和為 4,積為一12,求這兩個數(shù).分析：我們可以設(shè)出這兩個數(shù)分別為x, y,利用二元方程求解出這兩個數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.解法一：設(shè)這兩個數(shù)分別是 x, y,則 x + y=4,xy = - 12.由，得 y=4-x,代入，得x(4-x)=- 12,即x2-4x-12=0,x1= 一 2, x2 = 6._(_為-2,_|_x2 = 6,. «或一y1 =6,y2=-2.因此，這兩個數(shù)是一2和6.解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個數(shù)是方程 x2-4x-12=0的兩個根.解這個方程，得x1 = 2, x2 = 6.所以，這兩個數(shù)是一2和6.說明：從上面的兩種解法我

43、們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達(dá)定理來解題)要比解法一簡捷. 例5若x1和x2分別是一元二次方程 2x2+ 5x- 3= 0的兩根.(1)求 | x1 一x2|的值；、11(2)求+工的值；x1x2(3) x13+x23.解：:x1和x2分別是一元二次方程 2x2 + 5x 3=0的兩根，53. x1+x2=, /x2=_.222222.,5、2., 3、(1) -.1 | x1一x2|=x+x2 2 x1x2= (x1+x2) 4 x1x2=( -) 4父(一一)22.7 | x1 -*2|=.25232511x1x2(x1x2)-2x1x2(2)2 ( 2)43 37(2 ) -T- =

44、= = = 1=x；x22x； x22(x1x2)2(_ 3)299I 24一 3 ,32,22(3) x1 +x2 = (x1 + x2)( x1 x1x2 + x2 )= (x+ x2) ( x + x2) 一 3xx2=(-5) ¥( - 5)2-3*(-3) = 一平2228說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題, 為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a4),則第18頁共36頁667734510.doc-bb2 -4ac-b - b2 -4acx1 =, x2 =,2、

45、b2 - 4ac2a2a2a,-b + Jb2 4ac -b - Jb2 4ac| X1- X2|= 22a2a,b2二4ac |a|a|于是有下面的結(jié)論：若 x/口 x2 分別是一元二次方程 ax2+bx+c= 0(aR),則 | x1 x2|=Y (其中= b24ac).|a|今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論.例6若關(guān)于x的一元二次方程 x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)a的取值范圍.解：設(shè)Xi, X2是方程的兩根，則xiX2=a 4V 0,且 A=(-1)2-4(a-4)>0.由得 a<4,由得 av¥ .二.

46、a的取值范圍是a<4.4練 習(xí)1 .選擇題：(1)方程x2 2由kx+3k2 =0的根的情況是有兩個不相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是(A)有一個實數(shù)根(B)(C)有兩個相等的實數(shù)根(D)(2)若關(guān)于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m = 0-1(B) m>4(D) m> 1 ,且 mw04( )1(A) m< 一4(C) mv 1 ,且 mw042 .填空：11(1)右方程X2 3x 1 = 0的兩根分別是 X1和x2,則一十=X1 X2(2)方程 mx2+x2m= 0 (mwQ的根的情況是 .(3)以一3和1為根的一元二次方程

47、是 .3 .已知Ja2 +8a+16+|b-1| = 0,當(dāng)k取何值時，方程 kx2+ax+b= 0有兩個不相等的實數(shù)根?4,已知方程x2- 3x- 1 = 0的兩根為 和X2,求3)( X23)的值.習(xí)題2.1A組1 .選擇題：(1)已知關(guān)于x的方程x2+kx2 = 0的一個根是1,則它的另一個根是()(A) - 3(B) 3(C) -2(D) 2(2)下列四個說法：方程X2+2X7= 0的兩根之和為一2,兩根之積為一7;方程x22x+7= 0的兩根之和為一 2,兩根之積為7;7方程3 x 7 = 0的兩根之和為0,兩根之積為 -一3方程3 x2+2x= 0的兩根之和為2,兩根之積為0.其中

48、正確說法的個數(shù)是()(A) 1 個(B) 2 個(C) 3 個(D) 4 個(3)關(guān)于x的一元二次方程 ax25x+a2+a=0的一個根是0,則a的值是()(A) 0(B) 1(C) T(D) 0,或12 .填空：(1)方程kx2+4x1 = 0的兩根之和為一 2,則k=.(2)方程2x2 x4= 0的兩根為a,氏則a +百=.(3)已知關(guān)于x的方程x2ax3a =0的一個根是一2,則它的另一個根是(4)方程 2x2+2x 1 = 0 的兩根為 x1 和 x2,則 | x1 -x21=3 .試判定當(dāng)m取何值時，關(guān)于x的一元二次方程 m2x2 (2m+1) x+1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根？有

49、兩個 相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？4 .求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2-7x-1 = 0各根的相反數(shù).B組1 .選擇題：若關(guān)于x的方程x2 + (k2 1) x + k + 1 = 0的兩根互為相反數(shù)，則 k的值為 ( )(A) 1 ,或1(B) 1(C) T( D) 02 .填空：(1)若m, n是方程x2+2005x 1 = 0的兩個實數(shù)根，則 m2n+mn2mn的值等于 .(2)如果a, b是方程x2+x1=0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式a3+a2b+ab2+b3的值是一 .3 .已知關(guān)于x的方程x2-kx-2=0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩根為 x1

50、和x2,如果2(x1 + x2)>xx2,求實數(shù)k的取值范圍.4 . 一元二次方程 ax2+bx+ c=0 (aw。的兩根x1和x2.求：(1)| x1 一 x2|和 (2) x13+x23.5,關(guān)于x的方程x2+4x+m=0的兩根為m的值.x1，x2滿足| x1 一x2|=2,求實數(shù)C 組1 .選擇題：(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2x28x+7= 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊長等于()(A) 33(B) 3(C) 6(D) 9(2)若x1，x2是方程2x24x+1=0的兩個根，則x1 +x2的值為()x2 x1，、，、，、，、3(A) 6(B) 4(C) 3(D

51、)一2(3)如果關(guān)于x的方程x2 2(1 m)x + m2= 0有兩實數(shù)根a, 3,則a+ 3的取值范圍為( )一 一 1(B ) a+ 32(C) a+ 3 > 1( D) 尸 1(4 )已知a , b , c是 AABC的三邊長，那么方程cx2 + (a + b)x + & = 0的根的情況是4( )(A)沒有實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根(C)有兩個相等的實數(shù)根(D)有兩個異號實數(shù)根2 .填空：若方程 x2 8x+m= 0 的兩根為 x1, x2,且 3x1+2x2=18,則 m =.3 .已知xi, x2是關(guān)于x的一元二次方程 4kx24kx+k+1 = 0的兩個實數(shù)根.第27頁共36頁667734510.doc2y2x2 y .= xy2=22|X+1)y= 2(x+ 1) y=2x3 ,、(1)是否存在實數(shù)k,使(2xi X2)( xi 2 X2)=成立？右存在，求出