高等數(shù)學-微積分下-課件-華南理工大學 (10)

1、1/27一、全微分的定義一、全微分的定義二、全微分存在的必要條件二、全微分存在的必要條件第三節(jié)第三節(jié) 全微分及其應(yīng)用全微分及其應(yīng)用三、全微分存在的充分條件三、全微分存在的充分條件五、作業(yè)五、作業(yè)四、小結(jié)四、小結(jié)2/27函數(shù)的變化情況函數(shù)的變化情況.偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時函數(shù)的變化率函數(shù)的變化率.現(xiàn)在來討論當各個自變量同時變化時現(xiàn)在來討論當各個自變量同時變化時3/27先來介紹先來介紹全增量全增量的概念的概念),(yxfz 設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù),時時、增增量量yx ),(),(yxfyyxxfz 的的在點在點稱為稱為),(),(yxyxf為了引進全微分的定

2、義為了引進全微分的定義,全增量全增量. .處分別有處分別有在點在點、當變量當變量),(yxyx域內(nèi)有定義域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量函數(shù)取得的增量全增量全增量. .一、全微分的定義一、全微分的定義的某鄰的某鄰在點在點),(yxP4/27全微分的定義全微分的定義的的全全增增量量在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz ),( oyBxAz ,有有關(guān)關(guān)、僅僅與與、其其中中yxBA,)()(22yx yBxA , yx 、處處),(yx處的處的全微分全微分. .可表示為可表示為),(yxfz 可微分可微分, ,在點在點),(yx則稱函數(shù)則稱函數(shù)稱為函數(shù)稱為函數(shù)記作記作,dz即即.dyBxAz

3、函數(shù)若在某平面區(qū)域函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時內(nèi)處處可微時, 則稱則稱可微函數(shù)可微函數(shù). .這函數(shù)在這函數(shù)在D內(nèi)的內(nèi)的而不依賴于而不依賴于),(),(yxfyyxxfz ),(yxfz 在在5/27注注yxz 與與是是d. 1 之差是比之差是比與與 zzd. 2全微分有類似一元函數(shù)微分的全微分有類似一元函數(shù)微分的兩個性質(zhì)兩個性質(zhì): :的的線性函數(shù)線性函數(shù);高階無窮小高階無窮小. .全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).6/27二、全微分存在的必要條件二、全微分存在的必要條件)( oyBxAz 由全微分的定義有由全微分的定義有可得可得 z0lim 0

4、多元函數(shù)可微必連續(xù)多元函數(shù)可微必連續(xù) 連續(xù)的定義連續(xù)的定義不連續(xù)不連續(xù)的函數(shù)的函數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)),(),(yxyxfz在點在點 可微分可微分,則函數(shù)在該點連續(xù)則函數(shù)在該點連續(xù). )(lim0 oyBxA 一定是一定是不可微不可微的的.定理定理1 1證證. .7/27.dyyzxxzz 定理定理2 2( (可微的必要條件可微的必要條件) )如果函數(shù)如果函數(shù)在點在點),(yxfz 的的則該函數(shù)在點則該函數(shù)在點),(yx可微分可微分,),(yx,必存在必存在且函數(shù)且函數(shù)),(yxfz ),(yx在點在點的全微分為的全微分為yzxz 、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)證證. .)( oyBxAz 總成立總成立,)()

5、,(1PUyyxxP 如果函數(shù)如果函數(shù)),(),(yxPyxfz在點在點 可微分可微分,8/27),()0,(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0 xz同理可得同理可得.yzB 時，時，當當0 y上式仍成立上式仍成立, 此時此時|,|x .dyyzxxzz 9/27如如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf二元函數(shù)可微一定存在兩個偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)可微一定存在兩個偏導(dǎo)數(shù).但兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微但兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微.(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得)0)0 , 0()0 , 0( yxff,)0 , 0(處有處有

6、在點在點)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 處有處有在點在點)0 , 0(10/27則則22)()(yxyx 220)()(limxxxxxyx ,21 )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 說明它不能隨著說明它不能隨著0 而趨于而趨于0,0時時當當 因此因此,.)0 , 0(處不可微處不可微函數(shù)在點函數(shù)在點如果考慮點如果考慮點),(1yxP 沿直線沿直線xy 趨近于趨近于),0 , 0(),( o 0lim 各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件的必要條件而不是充分條件.說明說明11/27),(),(yxfyyxxf

7、z ),(),(yyxfyyxxf 證證),(),(yxfyyxf 在該點的某一鄰域內(nèi)必存在在該點的某一鄰域內(nèi)必存在的意思的意思.定理定理3 3的的如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz ,),(連續(xù)連續(xù)在在、yxyzxz .可微分可微分(今后常這樣理解今后常這樣理解).用微分中值定用微分中值定理理(可微分的充分條件可微分的充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點假定偏導(dǎo)數(shù)在點P(x,y)連續(xù)連續(xù), 就含有就含有偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(yx則該函數(shù)在點則該函數(shù)在點偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)三、全微分存在的充分條件三、全微分存在的充分條件12/27),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 xxyxfx 1),(

8、 11),(),(.),(),( yxfyyxxfyxyxfxxx令令連連續(xù)續(xù)在在點點由由)0, 0(01 yx 其其中中13/27xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z yx21 , 00 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx處可微處可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy xyxfx ),(x 1 yyxfy ),(y 2 21 20,0.y 當時),(),(yyxfxyxfzyx yx21 14/27記全微分為記全微分為.dddyyzxxzz .ddddzzuyyuxxuu 通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分通常把二元函數(shù)的全微分等于它

9、的兩個偏微分之和之和疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.一元函數(shù)的許多微分性質(zhì)一元函數(shù)的許多微分性質(zhì),(一階一階)全微分形式的不變性全微分形式的不變性.同樣有同樣有:習慣上習慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合稱為二元函數(shù)的微分符合這里仍適用這里仍適用.),(zyxfu 如三元函數(shù)如三元函數(shù)則則15/27解解. .,2xyyexxz ,xyxeyz yyzxxzzyxyxyxddd212121例例1.1.計算函數(shù)計算函數(shù)xyexz 2在點在點)2 , 1(的全微分的全微分.所以所以.d)d1(222yexe 16/27解解. .),2sin(yxyxz ),2sin(

10、2)2cos(yxyyxyz yyzxxzzddd),4(),4(),4( ).74(82 ,4),2cos( yxyxyz當當求函數(shù)求函數(shù)例例2.2.d,4d時的全微分時的全微分 yx17/27解解. .例例3.3. 計算計算02. 2)04. 1(的近似值的近似值. ),(yxfz設(shè)設(shè)利用函數(shù)利用函數(shù)yxyxf ),(在點在點 ),(00yx處的可微性處的可微性, 可得可得 02. 2)04. 1( )02. 2,04. 1(f )2, 1(f02. 0004. 021 .08. 1 ,yx)2, 1(04. 0 x02. 0 yzf )2, 1( )2, 1(fzdyfxfyx )2,

11、1()2, 1(.dzz 近似公式近似公式18/271、考慮二元函數(shù)、考慮二元函數(shù) f (x, y)的下面的下面4條性質(zhì)條性質(zhì): f (x, y)在點在點(x0 , y0)處連續(xù)處連續(xù), f (x, y)在點在點(x0 , y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), f (x, y)在點在點(x0 , y0)處可微處可微,f (x, y)在點在點(x0 , y0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在.若用若用“”QP 表示可由性質(zhì)表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)推出性質(zhì)Q,則有則有(A) . (B) . (C) . (D) . 練習題練習題19/27下下列列處處可可微微在在點點設(shè)設(shè)二二元元函函數(shù)數(shù),)

12、,(),(yxyxfz ),(),(),(),()(yxfyxfyxyxfByx處處兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點),(),(),(),()(yxfyxfyxyxfDyx處處兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點連續(xù)連續(xù).D結(jié)論結(jié)論不正確不正確的是的是( ).都存在都存在,),(),()(處連續(xù)處連續(xù)在點在點yxyxfA,),(),()(某鄰域內(nèi)有界某鄰域內(nèi)有界在點在點yxyxfC2、20/27 )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(222yxyxyxyxyxf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)).()0 , 0(點點在在,)(極極限限不不存存在在A,)(不不連連續(xù)續(xù)B,)(可可微微分分C.)0 , 0(),0 ,

13、0(.存存在在yxffDD3、21/274 4、是非題、是非題, 0)0 , 0(, 0)0 , 0(, |),( yxffxyyxf則則可可得得設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù).)0 , 0(),(的的全全微微分分是是零零在在點點從從而而yxf(非非)事實上事實上,由由偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義可可求求得得設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù), | xyz 在在點點)0 , 0(處處有有, 0)0 , 0(, 0)0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx |yx yx 0lim22200)()()(limxxxxyx |2|lim0 xxx 021 22/27全微分的定義全微分的定義全微分的計算全微分的計算多元函數(shù)極

14、限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系(注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別)四、小結(jié)四、小結(jié)可微分的必要條件、可微分的必要條件、 可微分的充分條件可微分的充分條件23/27 對對一元函數(shù)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：可微可微 可導(dǎo)可導(dǎo) 連續(xù)連續(xù) 有極限有極限 對對多元函數(shù)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：偏導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)連續(xù) 可微可微 連續(xù)連續(xù) 有極限有極限 有偏導(dǎo)有偏導(dǎo)24/27在原點在原點(0,0)可微可微.yzxz ,并非必要條件并非必要條件.如如 0, 00,1

15、sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函數(shù)函數(shù)注注兩個偏導(dǎo)數(shù)兩個偏導(dǎo)數(shù)在點在點連續(xù)連續(xù)可微的充分可微的充分),(yx僅是函數(shù)僅是函數(shù)在點在點),(yx),(yxfz 條件條件,偏導(dǎo)數(shù)在原點偏導(dǎo)數(shù)在原點(0,0)不連續(xù)不連續(xù).25/27在原點在原點(0,0)可微可微. 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函數(shù)函數(shù)xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxxx 220)(1sin)(lim事實上事實上,0 26/27)0 , 0()0 ,0(fyxfz 2222)()(1sin)()(yxyx 0lim )()(22yx 0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf201sinlim z 0 0)0 , 0()0 , 0(yfxfyx 于是于是,)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx )( o同樣同樣, 0)0 , 0( yf