機械振動習題集

1、第一章 概論1-1概念1. 機械振動系統(tǒng)由哪幾部分組成？其典型元件有哪些？2. 機械振動研究哪三類基本問題？3. 對機械振動進行分析的一般步驟是什么？4. 在振動分析中，什么叫力學模型，什么叫數(shù)學模型？5. 慣性元件、彈性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？6. 什么叫離散元件或集中參數(shù)元件？7. 什么叫連續(xù)體或分布參數(shù)元件？8. 建立機械振動系統(tǒng)力學模型的基本原則有哪些？9. 建立機械振動系統(tǒng)力學模型需要考慮的基本問題？并分析建立下圖中的系統(tǒng)的力學模型。一臺機器（看為一個整體）平置于一塊板上，板通過兩個垂直的支撐塊放置在地面上，試建立其力學模型。機器板支撐塊地基10. 如果一個振動系統(tǒng)是線性的

2、，它必須滿足什么條件？11. 如果一個振動系統(tǒng)的運動微分方程是常系數(shù)的，它必須滿足什么條件？12. 試討論：若從車內(nèi)乘客的舒適度考慮，該如何建立小轎車的振動模型？1-2簡諧運動及其運算1求下列簡諧函數(shù)的單邊復(fù)振幅和雙邊復(fù)振幅（1） （2） （3）答案：（1）（2）（3）2通過簡諧函數(shù)的復(fù)數(shù)表示，求下列簡諧函數(shù)之和，并用“振動計算實用工具”對（2）（3）進行校核（1） （2） （3） 答案：（1）（2）（3）3試計算題1中的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)對應(yīng)的復(fù)振幅，并給出它們的時間歷程4設(shè)、為同頻簡諧函數(shù)，并且滿足。試計算下列問題（1）已知，求（2）已知，求答案：（1） f(t)=85190.82cos(

3、12t+126.45°)（2） x(t)=0.018sin(7t-109.81°)5簡述同向同頻簡諧振動在不同幅值下合成的特點6簡述同向異頻簡諧振動在不同頻率和不同幅值下合成的特點1) 如果頻率比值為無理數(shù)，則沒有共同周期，疊加后為非周期振動。2) 如果頻率比值為有理數(shù)，疊加后的振動周期為他們周期的最小公共周期，如果比值接近1，將出現(xiàn)“拍”現(xiàn)象，如果相差較大，出現(xiàn)“調(diào)制”現(xiàn)象。3) 在“拍”和“調(diào)制”的情況下，幅值相差很大時，合成圖形依然趨于正弦圖形。7簡述垂直方向同頻簡諧振動在不同幅值下合成的特點答： 垂直方向同頻簡諧振動在i. 同相時：不同幅值下為一條直線，直線的斜率等

4、于y方向上振動的幅值比x方向上振動的幅值。ii. 不同相時：為一橢圓，橢圓形狀隨相位和幅值的變化而變化。8簡述垂直方向異頻簡諧振動在不同頻率和不同幅值下合成的特點？答：垂直方向異頻簡諧振動在不同頻率和不同幅值下的合成運動，一般是復(fù)雜的運動，軌道不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動。但是，當兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比時，合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有周期。這種運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形。9利用“振動計算實用工具”，通過輸入具體參數(shù)，觀察1-5題到1-8題振動合成的圖形及其特點答案：（1）同向同頻 幅值由兩者的幅值和相位決定，頻率不變。相位相同時，合成后的幅值為兩者之和，相位相反時

5、，合成后的幅值為兩者之差。其它相位情況介于兩者之間。（2）同向異頻 （3）垂直方向同頻簡諧振動 橢圓l 同幅值 l 不同幅值 （4）垂直方向異頻簡諧振動 合成振動的圖形呈現(xiàn)李普里曲線的形式10用一加速度計測得某結(jié)構(gòu)按頻率25Hz作簡諧振動時的最大加速度為5g（），求此結(jié)構(gòu)的振幅，最大速度和周期答案：11設(shè)有兩個簡諧振動，分別以和表示，試用旋轉(zhuǎn)矢量合成，并寫出在實軸和虛軸上的投影12有兩個垂直方向振動，證明它們的合成運動是一個橢圓答案：由消去t得到根據(jù)橢圓在標準位置旋轉(zhuǎn)一角度后的表達式可以判斷該曲線即為橢圓13 如圖2-1所示，一小車（重）自高處沿斜面滑下，與緩沖器相撞后，隨同緩沖器一起作自由振

6、動。彈簧常數(shù)，斜面傾角為，小車與斜面之間摩擦力忽略不計。試求小車的振動周期和振幅。，第二章 單自由度系統(tǒng)的振動理論2-2單自由度系統(tǒng)振動1 求圖示系統(tǒng)的固有頻率。其中（a）（b）圖中，不計桿的質(zhì)量m和抗彎剛度EI；（c）（d）圖中，簡支梁的抗彎剛度為EI，質(zhì)量不計。受力情況如圖所示。圖2-1答案：（a）； (b)； （c）；(d) 2求圖示系統(tǒng)固有頻率。（a）圖為一單擺，擺球質(zhì)量m，擺長L。（b）圖中兩個彈簧在距單擺固定端a處連接。（c）圖為一倒立擺，兩彈簧在距底端a處連接。圖2-2答案：(a)；(b)；(c) 3求圖示系統(tǒng)固有頻率。（a） 圖中，水平方向的兩桿視為彈性系數(shù)為k1，k2的彈簧，

7、四個彈簧的連接關(guān)系為：k1與k2串聯(lián)后與k3并聯(lián)，再與k4串聯(lián)。（b） 圖中，滑輪和繩子的質(zhì)量以及繩子的彈性略去不計。圖2-3答案：(a) ；(b)4 圖2-4所示，豎直桿的頂端帶有質(zhì)量時，測得振動頻率為。當帶有質(zhì)量時，測得振動頻率為。略去桿的質(zhì)量，試求出使該系統(tǒng)成為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時頂端質(zhì)量為多少？圖2-4答案：5 如圖2-5所示，具有與豎直線成一微小角的旋轉(zhuǎn)軸的重擺，假設(shè)球的重量集中于其質(zhì)心處，略去軸承中的摩擦阻力，試確定僅考慮球的重量時，重擺微小振動的頻率。圖2-5答案：6 兩個滑塊在光滑的機體槽內(nèi)滑動（見圖2-18），機體在水平面內(nèi)繞固定軸以角速度轉(zhuǎn)動。每個滑塊質(zhì)量為，各用彈簧常數(shù)為的彈

8、簧支承。試確定其固有頻率。圖2-18答案：7 確定圖2-6所示系統(tǒng)的固有頻率。圓盤質(zhì)量為。圖2-6答案：8 確定圖2-7系統(tǒng)的固有頻率，滑輪質(zhì)量為。繩子的質(zhì)量和彈性不計。圖2-7答案：9 質(zhì)量為m半徑為r的圓盤在半徑為R的軌道上做純滾動，確定圖2-8系統(tǒng)的固有頻率。圖2-8答案：10用三根長度為的細線將一質(zhì)量半徑的剛性圓盤吊在天花板上，吊點三等分圓周（1）求圓盤繞其垂直中心線作回轉(zhuǎn)運動的固有頻率（2）求圓盤只作水平橫向振動（不旋轉(zhuǎn)）的固有頻率圖2-9答案：（1）（2）11橫截面為質(zhì)量為的圓柱型浮子靜止在比重為的液體中。設(shè)從平衡位置壓低，然后無初速度釋放，如不計阻尼，求浮子振動響應(yīng)圖2-10答案

9、：圖2-1512 各彈簧已預(yù)緊（受拉），求圖示系統(tǒng)的固有頻率。圖2-11答案： 12求等截面型管內(nèi)液體振動周期，阻力不計，管內(nèi)液柱總長度圖2-12答案：T=13如圖所示，兩個滾輪以相反方向等速轉(zhuǎn)動，兩個滾輪中心距，上面放置一塊重量長度的棒，棒于滾輪的磨檫系數(shù)µ，現(xiàn)將棒的重心c推出對稱位置o,試證棒將作簡諧運動，并請導(dǎo)出磨檫系數(shù)的表達式圖2-16解：設(shè)左輪支反力為F1,右輪支反力為F2，去水平x為廣義坐標，對某一偏離對稱中心可列平衡方程：由于F1*2a=W*(a+x) F2*2a=W*(a-x) F1+F2=W可推得F1-F2=x綜上可得：-x=0由方程可知系統(tǒng)做簡諧振動14 如圖2-

10、13所示，一小車（重）自高處沿斜面滑下，與緩沖器相撞后，隨同緩沖器一起作自由振動。彈簧常數(shù)，斜面傾角為，小車與斜面之間摩擦力忽略不計。試求小車的振動周期和振幅。圖2-13答案：，15重物懸掛在剛度為的彈簧上并處在靜平衡位置，另一重物從高度為處由靜止開始自由降落到上而無彈跳，求振動響應(yīng)圖2-14答案：16 某儀器中一元件為一等截面的懸臂梁，質(zhì)量可以忽略。在梁的自由端有兩個集中質(zhì)量m1與m2，由電磁鐵吸住。今在梁靜止時打開電磁鐵開關(guān)，使m2突然釋放，試求m1的響應(yīng)。圖2-15答案：17 一均質(zhì)半圓盤，質(zhì)量為m,半徑為r,自由地鉸接于它的中心，如圖所示?，F(xiàn)以初角度釋放，求半圓盤在小擺角振蕩的響應(yīng)。圖

11、2-16解：轉(zhuǎn)矩方程：; ；質(zhì)心與盤中心距離;運動方程：；響應(yīng)：；。18重噸的重物在吊索上以勻速下降，由于吊索嵌入滑輪卡子，突然停止，重物作上下自由振動。已知吊索在2噸重物靜載作用下伸長5，吊索自重不計，求重物振動頻率和吊索中的最大張力答案： 19如圖，已知圖示狀態(tài)，彈簧已有初壓力如平臺撤除，求重塊下落距離圖2-17答案：5.4cm2.3 簡諧激勵下的強迫振動1. （1） 已知m=3, c=1, k=12, , 求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案：（2） 已知m=5, c=8, k=20, , 求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案：（3） 已知m=10, c=15, k=18, , 求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案：（4） 已知m=12,

12、c=15, k=20, , 求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案：（5） 已知m=600, k=1176000, , , 求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案：（6） 已知m=6, c=25, k=800, , 求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案：（7） 已知m=10, c=15, k=40, , 求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案：（8） 已知m=10, c=15, k=40, , 求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答案：2. ，p(t)的大小如下圖的所示，求其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。（取一項即可）答案： , 取第一項3已知頻響函數(shù)曲線，當時，分別畫出幅頻曲線級相頻曲線的大致形狀。答：幅頻H0u相頻q04. 已知頻響函數(shù)曲線，當時，分別畫出幅頻曲線級相頻曲線的大致形狀。答：幅頻H0u相頻q0

13、5. 已知頻響函數(shù)曲線，當時，分別畫出幅頻曲線級相頻曲線的大致形狀。答：幅頻H0u相頻q06. 已知頻響函數(shù)曲線，當時，分別畫出幅頻曲線級相頻曲線的大致形狀。答：幅頻H0u相頻q07. 對于已知m，c，k的系統(tǒng)判定其頻響特性曲線大致形狀 (1)m=2450kg, c=39600Ns/m k=320000N/m 計算出=0.707(2) m=2450kg, c=28000Ns/m k=320000N/m 計算出=0.5(3)m=2450kg, c=16800Ns/m k=320000N/m計算出=0.3(4) m=2450kg, c=44800Ns/m k=320000N/m計算出=0.8 單自

14、由度系統(tǒng)的頻響特性為 ，可以為參數(shù)來研究的變化特性。已知m，c，k的情況下，計算出，即可判定頻響特性曲線的大致形狀改用系統(tǒng)固有參數(shù)表示的頻響特性為其幅值 相位角 幅頻特性（縱坐標為，橫坐標為）圖中從下往上依次表示的取值為1，0.7，0.5，0.4，0.3，0.2，0.1，0經(jīng)過簡要推導(dǎo)可知當時，存在峰值，出現(xiàn)在處 當時，曲線單調(diào)遞減相頻特性這里總是小于零的一個值，因此穩(wěn)態(tài)振動的相位總是遲后于激勵的相位，并且激勵頻率越高遲后越大；當激勵頻率等于系統(tǒng)固有頻率時，響應(yīng)與激勵的相位差，與阻尼比無關(guān)2.4 非簡諧激勵下的強迫振動1、f(t)=3t2+1 () 為周期為2的周期函數(shù)，將它展開成傅里葉級數(shù)答

15、案：f(t)= 2、設(shè)x(t)如圖所示，試求其傅里葉級數(shù)展開。答案：3. 設(shè)x（t）如圖所示，試求其復(fù)Fourier級數(shù)展開。答案：4. 求下列周期為的函數(shù)的Fourier級數(shù)展開。(1) 答案：(2) ，答案：(3) ；答案：（4）答案：5、f(x)是周期為2的周期函數(shù)，將它在()上的 表達式為，將f(x)展開成傅里葉級數(shù)答案： 7. 已知:,c= ,=,=,激振力頻率w=3rad/s, 試用“振動計算實用工具”計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)8. 單自由度系統(tǒng)受到激振力f 的作用，f 的變化規(guī)律如圖所示遞減三角脈沖，初始條件為：, 不計阻尼，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解：應(yīng)用Duhamel積分，分別計算t <

16、 t0, t >t0, 兩個區(qū)間的響應(yīng)。當t < t0 時，當t > t0時，大于t0的部分積分為零，所以 8. 物體振動時受到與運動方向相反的動摩擦力作用，動摩擦系數(shù)，物體的質(zhì)量可集中在一點，振幅，彈簧系數(shù)，求等效粘性阻尼。解： 9. 結(jié)構(gòu)阻尼是材料本身的內(nèi)摩擦阻尼，其耗散的能量與振幅平方成正比，求結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù)，質(zhì)量，彈簧系數(shù)時的等效粘性阻尼。解： 10. 已知一個非線性阻尼振動系統(tǒng)，系統(tǒng)受到150N的干摩擦力，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為，求系統(tǒng)的等效阻尼。答：第三章：單自由度振動理論的應(yīng)用1. 如圖3-1所示的模型，質(zhì)量受到正弦激勵，f(t)=,m=170千克，k=7000N/m，c

17、=1700Ns/m，作質(zhì)量位移的頻響曲線圖3-1答案： 下圖為計算工具中本模型的一族幅頻曲線(僅形狀一致，橫縱坐標需乘相應(yīng)系數(shù))系統(tǒng)參數(shù)m,c,k決定阻尼比當時，存在峰值，出現(xiàn)在處 當時，曲線單調(diào)遞減本題=0.779，形狀應(yīng)介于上圖最下方兩條曲線之間。下圖為計算工具中本模型的一族相頻曲線(僅形狀一致，橫坐標需乘相應(yīng)系數(shù))這里總是小于零的一個值，因此穩(wěn)態(tài)振動的相位總是遲后于激勵的相位，并且激勵頻率越高遲后越大；當激勵頻率等于系統(tǒng)固有頻率時，響應(yīng)與激勵的相位差，與阻尼比無關(guān)2. 圖3-2所示為簡化車輛在路面上通行的振動模型，y(t)=，m=1000kg, k=350kN/m，c=18700Ns/m

18、，求質(zhì)量位移的頻響曲線圖3-2答案： 下圖為計算工具中本模型的一族幅頻特性曲線本題阻尼比=0.5，因此曲線同上圖中下起第三條曲線下圖為相頻曲線1. 已知頻響函數(shù)曲線，當時，分別畫出幅頻曲線級相頻曲線的大致形狀。答：幅頻H0u相頻q02. 已知頻響函數(shù)曲線，當時，分別畫出幅頻曲線及相頻曲線的大致形狀。答：幅頻H0u相頻q03. 已知頻響函數(shù)曲線，當時，分別畫出幅頻曲線及相頻曲線的大致形狀。答：幅頻H0u相頻q01. 在如圖所示系統(tǒng)中,已知m=2kg , C=256Ns/cm, K=20N/cm , 激勵力為F=16sin60t (式中t 以s 計，F(xiàn) 以N計)。以質(zhì)量m的位移作為輸出。1) 試求

19、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2) 試確定系統(tǒng)的輸入，輸出方程3) 求出系統(tǒng)的頻響表達式并畫出頻響圖。答：1) x=0.00104sin(60t-/2) (cm)2) 輸入：p(t)=F=16sin60t 輸出：v(t)=x(t)3) 2 空桶重39. 2kN，浮在水面上，而水面的高度按y=(4/9)sin(3t/2)的規(guī)律上下浮動。桶的水平截面積均為5m2。如初始位移和初速度為零，水的阻尼力與相對速度成正比，阻尼系數(shù)C=16kNs/m，求桶作強迫振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答：1）x=cm2）輸入：p(t)=y=(4/9)sin(3t/2) 輸出：v(t)=x(t)3） 3. 確定圖3-18所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。假定。

20、4. 在如圖所示系統(tǒng)中,已知m=2kg , K=20N/cm , 激勵力為F=16sin60t (式中t 以s 計，F(xiàn) 以N計)，C=256Ns/cm。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。答：x=0.00104(60t+/2) (cm)5. 求下圖中系統(tǒng)右支撐端有簡諧運動時的振動微分方程。1) 試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2) 試確定系統(tǒng)的輸入，輸出方程3) 求出系統(tǒng)的頻響表達式并畫出頻響圖。答案：1）振動方程： 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 其中 , 2）輸入：p(t)=Kx2= 輸出：v(t)=x(t)3) 6. 求如下圖所示系統(tǒng)在兩端都有支撐運動時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖中，式中答案：7 如下圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，在質(zhì)量塊上作用有簡諧力

21、kg，同時在彈簧固定端有支撐運動 cm ，試寫出此系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。已知，.答案：8. 主動隔振的力學模型如圖所示，其中m=1000kg，k=4000N/m, C=800Ns/m, ，以作用在m上的力為激勵時(1) 輸出為基礎(chǔ)上產(chǎn)生的力時，求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)函數(shù)，并寫出其頻響函數(shù)繪出曲線；(2) 當輸出為m的位移時，求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)函數(shù)寫出頻響函數(shù)并繪出曲線。(1)(2) 9. 如圖所示為一個慣性力激勵系統(tǒng)，偏心距，以的角速度運動，總質(zhì)量m=100kg，彈簧剛度k=400N/m，阻尼c=50Ns/m，求物塊m的位移響應(yīng)，并繪出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線。答案：；10. 一機器重4410N，支承在彈簧隔振器上，彈簧的靜

22、變形為0.5cm。機器有一偏心重，產(chǎn)生偏心激勵力，為激勵頻率，為重力加速度，不計阻尼，機器轉(zhuǎn)速為1200r/min時求：a) 傳入地基的力； b) 機器的振幅。答案：a) ;b) 第五章 多自由度系統(tǒng)振動5-1 寫出圖中所示軸盤扭振系統(tǒng)的剛度矩陣。答案： 5-2 寫出圖示彈簧阻尼質(zhì)量系統(tǒng)的剛度矩陣和阻尼矩陣。答案：5-3 寫出圖中所示梁的柔度矩陣。梁本身的質(zhì)量忽略不計，抗彎剛度為E I。（提示：用材料力學簡支梁的撓度公式）答案：5-4 下圖中三級擺的廣義坐標為， 求自由振動的微分方程。答案： 5-5 下圖所示船用動力裝置，它由兩個同樣的發(fā)動機組成，它們的回轉(zhuǎn)部分對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別是跟。發(fā)動

23、機的轉(zhuǎn)速相同，帶動轉(zhuǎn)動慣量為的螺旋推進器旋轉(zhuǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)速比為，系統(tǒng)的軸的剛度分別為跟，且減速器的齒輪的轉(zhuǎn)動慣量略去不計。試建立系統(tǒng)的自由振動微分方程答案： 式中：5-6 如圖所示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，,建立系統(tǒng)運動微分方程。答案： 5-7圖示一無質(zhì)量均質(zhì)簡支梁，彎曲剛性常數(shù)為EJ，上有集中質(zhì)量m1m2m3m，在第一個質(zhì)量上作用有激振力。試建立其運動微分方程。5-8在圖示系統(tǒng)中，各質(zhì)量只能沿鉛垂方向運動。在質(zhì)量4m上作用有鉛垂激振力，求系統(tǒng)的無阻尼強迫振動的運動微分方程。5-9一汽車簡化模型如圖所示，各尺寸均以標出，求汽車的自由振動微分方程式。答案： 5-10如圖所示的三自由度系統(tǒng)，若，求系統(tǒng)自由振動微分方程式。答案： 5-11一發(fā)電機廠的汽輪機及其隔振系統(tǒng)的簡化模型如圖所示，導(dǎo)出對xy坐標的振動微分方程。 答案： 振動微分方程：5-12求如圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率及主陣型。設(shè)，。答案：5-13一軸盤扭振系統(tǒng)如圖所示，求自由振動的微分方程式。答案：第五章 (二)5-1 如圖所示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，,求各階固有圓頻率及主振型。答案：5-2對指定的廣義坐標