Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法

1、【總結(jié)】Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法 非線性理論近期為了把計(jì)算LE的一些問題弄清楚,看了有79本書！下面以呂金虎?混沌 時(shí)間序列分析及其應(yīng)用?、馬軍海?復(fù)雜非線性系統(tǒng)的重構(gòu)技術(shù)?為主線,把目前 已有的LE計(jì)算方法做一個(gè)匯總！1.關(guān)于連續(xù)系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法 連續(xù)系統(tǒng)LE的計(jì)算方法主要有定義 方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇異值分解方法,或者通過求解系統(tǒng)的微分 方程,得到微分方程解的時(shí)間序列,然后利用時(shí)間序列即離散系統(tǒng)的 LE求解 方法來計(jì)算得到.關(guān)于連續(xù)系統(tǒng) LE的計(jì)算,主要以定義方法、Jacobian方法做主 要介紹內(nèi)容.1定義法對(duì)用維連塊動(dòng)力系統(tǒng),二網(wǎng)力 在時(shí)刻

2、以孫為卬心,區(qū)為半徑膿一個(gè) «維的球面.隨著時(shí)間的演化,在t時(shí)刻讀球面即變形為M縫的橢球面.設(shè)該橢球面的第i 個(gè)坐標(biāo)軸方向的半軸長為氏與,那么該系統(tǒng)第i個(gè)L河皿3指數(shù)為*% = hm-inI.t網(wǎng)wM|阿有|此即連續(xù)系統(tǒng)LyaMnw指孩的定義.實(shí)際計(jì)向眇 取忸武飛,0|為d5為常敷,以中為球心,歐兒里痣范敬為d的正交 矢量集.,叫£為初始球,由非線性微分方程讓尸可以分別計(jì)菖出點(diǎn)Q町+如 孫理小、足+%經(jīng)過時(shí)間才后演化的軌跡,設(shè)具終了專分別為了如、際八、杭,那么令 那么國=6一 .加= W3歷L 那么可得新的矢量集? A4NJ由于各個(gè)矢量在演化過程中吉噲向著最大的UapurO

3、T指數(shù)方向31撥,因此需要通過Sthmidt正交化不斷地對(duì)新矢量進(jìn)行置換,即Wulf的文章中提出的GSR方法.表述如下：必就,齒嚴(yán)一 <曲鏟及耀 >蠟,壯；時(shí)刃料叫vcn 5Km k4入出支 口>以 <>>以尸一附出叫排著以砒為球心,范毅為I的正交矢境惠心叫叱了;為新球繼續(xù)進(jìn)行演 化,設(shè)演化至N步時(shí),得到矢量罪化必乜匕巧,且N足夠大,這可以得到Lyapunov 才徽拊近做計(jì)皙公式.卜亨以各n4.4*一竽+$£貼.叫痛計(jì)亶時(shí),可以將d取為1定義法求解 Lyapunov 指數(shù).JPG關(guān)于定義法求解的程序,和 matlab板塊的 連續(xù)系統(tǒng)LE求解程序差不

4、多.以Rossler系統(tǒng)為例Rossler系統(tǒng)微分方程定義程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子,用索計(jì)算Lyapunov指數(shù)%a=0.15,b=0.20,c=10.0%dx/dt =-y-z,%dy/dt =x+ay,%dz/dt =b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);%Y的三個(gè)列向量為相互正交的單位向量Y = X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12);%輸出向量的初始化,必不可少dX = zero

5、s(12,1);% Rossler版引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩陣Jaco = 0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c;dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代碼：%計(jì)算Rossler吸引子的Lyapunov指數(shù) clear;yinit = 1,1,1;orthmatrix = 1 0 0;0 1 0;0 0 1;a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);%初始化輸入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix

6、;tstart = 0; %時(shí)間初始值tstep = 1e-3; %時(shí)間步長wholetimes = 1e5; %總的循環(huán)次數(shù)steps = 10; %每次演化的步數(shù)iteratetimes = wholetimes/steps; %寅化的次數(shù) mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);%初始化三個(gè)Lyapunov指數(shù)Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan

7、= tstart:tstep:(tstart + tstep*steps);T,Y = ode45('Rossler_ly', tspan, y);%取積分得到的最后二不時(shí)刻的值y = Y(size(Y,1),:);%重新定義起始時(shí)刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12);%正交化y0 = ThreeGS(y0);%取三個(gè)向量的模mod=sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1);mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2

8、);mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3);y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);Ip = lp+log(abs(mod);%三個(gè)Lyapunov指數(shù)Lyapunovl(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0'end %作Lyapunov指數(shù)譜圖i = 1:iteratetimes;plot(i,Lya

9、punov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 為 3*3 向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-(a1'*v2)/(a1'*a1)*a1;a3 = v3-(a1'*v3)/(a1'*a1)*a1-(a2'*v3)/(a2'*a2)*a2;A = a1,a2,a3;

10、計(jì)算得到的 Rossler系統(tǒng)的 LE 為0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中計(jì)算得到的 Rossler系統(tǒng)的LE為0.09 0 -9.77需要注意的是一一定義法求解的精度有限,對(duì)有些系統(tǒng)的計(jì)算往往出現(xiàn)計(jì)果和理論 值有偏差的現(xiàn)象.正交化程序可以根據(jù)上面的擴(kuò)展到 N*N向量,這里就不加以說明了,對(duì) matlab用 戶來說應(yīng)該還是比擬簡單的！Jacobian方法通過資料檢索,發(fā)現(xiàn)論壇中用的較多的LET工具箱的算法原理就是Jacobian方法.根本原理就是首先求解出連續(xù)系統(tǒng)微分方程的近似解,然后對(duì)系統(tǒng)的 Jacobian 矩陣進(jìn)行QR分解,計(jì)算Jacobian矩陣特征值的

11、乘積,最后計(jì)算出 LE和分?jǐn)?shù)維. 經(jīng)過計(jì)算也證實(shí)了這種方法精度較高,對(duì)目前常見的混沌系統(tǒng),如Lorenz、Henon、Duffing等的Lyapunov指數(shù)的計(jì)算精度都很高,而且程序編寫有一定的規(guī) 范,個(gè)人很推薦使用.雖然我自己要做的系統(tǒng)并不適用于 孑LET工具箱可以在網(wǎng)絡(luò)上找到,這里就不列出了！關(guān)于 LET工具箱如果有問題, 歡送參加本帖討論！Jacobian法求解 Lyapunov 指數(shù).JPG對(duì)離散動(dòng)力系統(tǒng),或者說是非線性時(shí)間序列,往往不需要計(jì)算出所有的Lyapunov指數(shù),通常只需計(jì)算出其最大的 Lyapunov指數(shù)即可.“198弈,格里波 基證實(shí)了只要最大Lyapunov指數(shù)大于零,

12、就可以肯定混沌的存在 目前常用的計(jì)算混沌序列最大 Lyapunov指數(shù)的方法主要有一下幾種：(1)由定義法延伸的Nicolis方法(2) Jacobian方法(3) Wolf 方法(4) P范數(shù)方法(5) 小數(shù)據(jù)量方法其中以Wolf方法和小數(shù)據(jù)量方法應(yīng)用最為廣泛,也最為普遍.下面對(duì)Nicolis方法、Wolf方法以及小數(shù)據(jù)量方法作介紹.(1) Nicolis 方法這種方法和連續(xù)系統(tǒng)的定義方法類似,而且目前應(yīng)用很有限制,因此只對(duì)其理論 進(jìn)行介紹,編程應(yīng)用方面就省略了Nicolis方法求最大LE.JPG(2) Wolf方法Wolf方法求最大LE.JPGWolf方法的Matlab程序如下: func

13、tion lambda_1=lyapunov_wolf(data,N,m,tau,P)%該函數(shù)用來計(jì)算時(shí)間序列的最大 Lyapunov指數(shù)-Wolf方法% m:嵌入維數(shù)！ 一般選大于等于10% tau:時(shí)間延遲！ 一般選與周期相當(dāng),如我選 2000% data:時(shí)間序列！可以選1000;% N:時(shí)間序列長度滿足公式：M=N-(m-1)*tau=24000-(10-1)*1000=5000% P:時(shí)間序列的平均周期,選擇演化相點(diǎn)距當(dāng)前點(diǎn)的位置差,即假設(shè)當(dāng)前相點(diǎn)為 I,那么 演化相點(diǎn)只能在|I J卜P的相點(diǎn)中搜尋 ！ P=周期=600% lambda_1:返回最大lyapunov指數(shù)值min_po

14、int=1 ;%&&要求最少搜索到的點(diǎn)數(shù)MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索范圍次數(shù) %FLYINGHAWK%求最大、最小和平均相點(diǎn)距離max_d = 0;min_d = 1.0e+100;腺大相點(diǎn)距離 %ft小相點(diǎn)距離avg_dd = 0;Y=reconstitution(data,N,m,tau);咐目空間重構(gòu)可將此段程序加到整個(gè)程序中,在時(shí)間循環(huán)內(nèi),可以保存時(shí)間序列的地方.見完整程序M=N-(m-1)*tau;%重構(gòu)相空間中相點(diǎn)的個(gè)數(shù)for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d

15、+ (Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,j);endd = sqrt(d);if max_d < d max_d = d;endif min_d > d min_d = d;endavg_dd = avg_dd + d;endendavg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1);% 平均相點(diǎn)距離dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; 點(diǎn)時(shí),對(duì)max_eps的放寬幅度min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ;max_eps = min_d + 2 * dlt_eps ;%)?f在min_epsmax_eps中找不

16、至U演化相項(xiàng)化相點(diǎn)與當(dāng)前相點(diǎn)距離的最小限%&&演化相點(diǎn)與當(dāng)前相點(diǎn)距離的最大限% 從P+1M-1個(gè)相點(diǎn)中找與第一個(gè)相點(diǎn)最近的相點(diǎn)位置(Loc_DK)及其最短距 離DKDK = 1.0e+100;%第i個(gè)相點(diǎn)到其最近距離點(diǎn)的距離Loc_DK = 2;%第i個(gè)相點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最近距離點(diǎn)的下標(biāo)for i = (P+1):(M-1)%限制短暫別離,從點(diǎn)P+1開始搜索d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1)*(Y(k,i)-Y(k,1); end d = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK =

17、d;一Loc_DK = i; end end%以下計(jì)算各相點(diǎn)對(duì)應(yīng)的李氏數(shù)保存到lmd()數(shù)組中% i為相點(diǎn)序號(hào),從1至iJ(M-1),也是i-1點(diǎn)的演化點(diǎn)；Loc_DK為相點(diǎn)i-1對(duì)應(yīng)最 短距離的相點(diǎn)位置,DK為其對(duì)應(yīng)的最短距離% Loc_DK+1為Loc_DK的演化點(diǎn),DK1為i點(diǎn)到Loc_DK+1點(diǎn)的距離,稱為演化距離% 前i個(gè)log2 ( DK1/DK )的累計(jì)和用于求i點(diǎn)的lambda值sum_lmd = 0 ;%存放前i個(gè)log2 (DK1/DK )的累計(jì)和for i = 2 : (M-1)%計(jì)算演化距離DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)

18、-Y(k,Loc_DK+1)*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1);endDK1 = sqrt(DK1);old_Loc_DK = Loc_DK ;%保存原最近位置相點(diǎn)old_DK=DK; 一% 計(jì)算前i個(gè)log2 (DK1/DK )的累計(jì)和以及保存i點(diǎn)的李氏指數(shù)if (DK1 = 0)&( DK = 0)sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2); endlmd(i-1) = sum_lmd/(i-1);此處可以保存不同相點(diǎn)i對(duì)應(yīng)的李氏指數(shù),見完整程 序.%以下尋找i點(diǎn)的最短距離：要求距離在指定距離范圍內(nèi)盡量短,與DK1的角度最小point_

19、num = 0; % &&在指定距離范圍內(nèi)找到的候選相點(diǎn)的個(gè)數(shù)cos_sita = 0 ;%&&夾角余弦的比擬初值要求一定是銳角zjfwcs=0 ;%&&增加范圍次數(shù)while (point_num = 0)%*搜索相點(diǎn)for j = 1 : (M-1)if abs(j-i) <=(P-1)%&&候選點(diǎn)距當(dāng)前點(diǎn)太近,跳過！continue;end %*計(jì)算候選點(diǎn)與當(dāng)前點(diǎn)的距離dnew = 0;for k = 1 : mdnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,j);enddnew =

20、sqrt(dnew);if (dnew < min_eps)|( dnew > max_eps ) %&環(huán)在距離范圍,跳過! continue;end%*計(jì)算夾角余弦及比擬DOT = 0;for k = 1 : mDOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j)*(Y(k,i)-Y(k,old_Loc_DK+1); endCTH = DOT/(dnew*DK1);if acos(CTH) > (3.14151926/4)%&&不是小于 45 度的角,跳過！continue;endif CTH > cos_sita%&&新夾角小于過

21、去已找到的相點(diǎn)的夾角,保存cos_sita = CTH;Loc_DK = j;DK = dnew;endpoint_num = point_num +1;endif point_num <= min_point max_eps = max_eps + dlt_eps;zjfwcs =zjfwcs +1;if zjfwcs > MAX_CISHU %&& 超過最大放寬次數(shù),改找最近的點(diǎn)DK = 1.0e+100;for ii = 1 : (M-1)if abs(i-ii) <= (P-1)%&&候選點(diǎn)距當(dāng)前點(diǎn)太近,跳過！continue;endd

22、 = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,ii)*(Y(k,i)-Y(k,ii);endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;一Loc_DK = ii;endendbreak;endpoint_num = 0 ;%&&擴(kuò)大距離范圍后重新搜索cos_sita = 0;endendend%取平均得到最大李雅普諾夫指數(shù)(此處只有一個(gè)值,假設(shè)為正說明體系是混沌的, 假設(shè)為負(fù)那么說明體系是周期性確實(shí)定性運(yùn)動(dòng)) lambda_1=sum(lmd)/length(lmd);程序中用到的

23、reconstitution函數(shù)如下：此段程序可直接放在時(shí)間循環(huán)內(nèi)部,即 可以保存時(shí)間序列的地方.見完整程序范例.function X=reconstitution(data,N,m,tau)%該函數(shù)用來重構(gòu)相空間% m 為嵌入空間維數(shù)% tau為時(shí)間延遲% data為輸入時(shí)間序列% N為時(shí)間序列長度% X 為輸出,是m*n維矩陣M=N-(m-1)*tau;%相空間中點(diǎn)的個(gè)數(shù)for j=1:M%相空間重構(gòu)for i=1:mX(i,j)=data(i-1)*tau+j);endend這里聲明一下,這些程序并非我自己編寫的,均是轉(zhuǎn)載,其使用我已經(jīng)驗(yàn)證過,絕對(duì)可以運(yùn)行！(3)小數(shù)據(jù)量方法說小數(shù)據(jù)量方

24、法是目前最實(shí)用、應(yīng)用最廣泛的方法應(yīng)該不為過吧,呵呵！小數(shù)據(jù)量方法求最大Lyapunov指數(shù).JPG上面兩種方法,即 Wolf方法和小數(shù)據(jù)量方法,在計(jì)算 LE之前,都要求對(duì)時(shí)間 序列進(jìn)行重構(gòu)相空間,重構(gòu)相空間的優(yōu)良對(duì)于最大 LE的計(jì)算精度影響非常大！因 此重構(gòu)相空間的幾個(gè)參數(shù)確實(shí)定就非常重要.(1)時(shí)間延遲主要推薦兩種方法 自相關(guān)函數(shù)法、CC方法自相關(guān)函數(shù)法一一對(duì)一個(gè)混沌時(shí)間序列,可以先寫出其自相關(guān)函數(shù),然后作出自 相關(guān)函數(shù)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像.根據(jù)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果,當(dāng)自相關(guān)函數(shù)下降到初始值 的1 1/e時(shí),所得的時(shí)間t即為重構(gòu)相空間的時(shí)間延遲.CC方法一一可以同時(shí)計(jì)算出時(shí)間延遲和時(shí)間窗口,個(gè)人推薦

25、使用這種方法！(2)平均周期平均周期的計(jì)算可以采用FFT方法.在matlab幫助中有一個(gè)太陽黑子的例子,現(xiàn) 摘錄如下：load sunspot.dat濮載數(shù)據(jù)文件year = sunspot(:,1);% 取年份信息wolfer = sunspot(:,2); plot(year,wolfer) title('Sunspot Data')Y = fft(wolfer);%讀取黑子活動(dòng)數(shù)據(jù)%繪制原始數(shù)據(jù)圖%快速FFT變換N = length(Y);%FFT變換后數(shù)據(jù)長度Y(1) = ;%去掉Y的第一個(gè)數(shù)據(jù),它是所有數(shù)據(jù)的和power = abs(Y(1:N/2).A2;%求功率譜

26、nyquist = 1/2;freq = (1:N/2)/(N/2)*nyquist;% 求頻率plot(freq,power), grid on% 繪制功率譜圖xlabel('cycles/year')title('Periodogram')period = 1./freq;%?份(周期)plot(period,power), axis(0 40 0 2e7), grid on%繪制年份功率譜曲線ylabel('Power')xlabel('Period(Years/Cycle)')mp,index = max(power);%

27、求最高譜線所對(duì)應(yīng)的年份下標(biāo)period(index)%i下標(biāo)求出平均周期(3)嵌入維數(shù)目前嵌入維數(shù)的主要計(jì)算方法是采用Grassberge和Procaccia提出的GP算法計(jì)算出序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)d,然后利用嵌入維數(shù) m>=2d+1,選取適宜的嵌入維數(shù).GP算法程序如下： function ln_r,ln_C=G_P(data,N,tau,min_m,max_m,ss)% the function is used to calculate correlation dimention with G-P algorithm% 計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)的GP算法時(shí)間序列長度時(shí)間延遲最小的嵌入維數(shù)% data:

28、the time series時(shí)間序歹 U % N: the length of the time series% tau: the time delay% min_m:the least embedded dimention m % max_m:the largest embedded dimention m 最大的嵌入維數(shù)% ss:the stepsize of r的步長%skyhawkfor m=min_m:max_mY=reconstitution(data,N,m,tau);%reconstitute state spaceM=N-(m-1)*tau;%the number of p

29、oints in state spacefor i=1:M-1for j=i+1:Md(i,j)=max(abs(Y(:,i)-Y(:,j);%calculate the distance of each twoend%points in state spacd算狀態(tài)空間中每兩點(diǎn)之間的距離endmax_d=max(max(d);%the max distance of all points 得到所有點(diǎn)之間的最大距離 d(1,1)=max_d;min_d=min(min(d);%the min distance of all points 彳馬至 U所有點(diǎn)間的最短距離 delt=(max_d-m

30、in_d)/ss;%the stepsize of r得至U r 的步長for k=1:ssr=min_d+k*delt;C(k)=correlation_integral(Y,M,r);%calculate the correlation integral ln_C(m,k)=log(C(k);%lnC(r) ln_r(m,k)=log(r);%lnrfprintf('%d/%d/%d/%dn',k,ss,m,max_m);endplot(ln_r(m,:),ln_C(m,:);hold on;endfid=fopen('lnr.txt,w,);fprintf(fid

31、,'%6.2f %6.2fn',ln_r);fclose(fid);fid = fopenClnC.txt'.'w');fprintf(fid,'%6.2f %6.2fn',ln_C);fclose(fid);程序中的correlation_integral函數(shù)如下：function C_I=correlation_integral(X,M,r)%the function is used to calculate correlation integral%C_I:the value of the correlation integral%X:the reconstituted state space,M is a m*M matrix%m:the embedding demention%M:M is the number of embedded points in m-dimensional sapce%r:the radius of the Heaviside function,sigma/2<r<2sigma%calculate the sum of all the values of He