Bloom Filter概念和原理

1、Bloom Filter概念和原理焦萌 2007年1月27日 Bloom Filter是一種空間效率很高的隨機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它利用位數(shù)組很簡潔地表示一個集合，并能判斷一個元素是否屬于這個集合。Bloom Filter的這種高效是有一定代價(jià)的：在判斷一個元素是否屬于某個集合時，有可能會把不屬于這個集合的元素誤認(rèn)為屬于這個集合（false positive）。因此，Bloom Filter不適合那些“零錯誤”的應(yīng)用場合。而在能容忍低錯誤率的應(yīng)用場合下，Bloom Filter通過極少的錯誤換取了存儲空間的極大節(jié)省。集合表示和元素查詢下面我們具體來看Bloom Filter是如何用位數(shù)組表示集

2、合的。初始狀態(tài)時，Bloom Filter是一個包含m位的位數(shù)組，每一位都置為0。為了表達(dá)S=x1, x2,xn這樣一個n個元素的集合，Bloom Filter使用k個相互獨(dú)立的哈希函數(shù)（Hash Function），它們分別將集合中的每個元素映射到1,m的范圍中。對任意一個元素x，第i個哈希函數(shù)映射的位置hi(x)就會被置為1（1ik）。注意，如果一個位置多次被置為1，那么只有第一次會起作用，后面幾次將沒有任何效果。在下圖中，k=3，且有兩個哈希函數(shù)選中同一個位置（從左邊數(shù)第五位）。     在判斷y是否屬于這個集合時，我們對y應(yīng)用k次哈希函數(shù)，如果所

3、有hi(y)的位置都是1（1ik），那么我們就認(rèn)為y是集合中的元素，否則就認(rèn)為y不是集合中的元素。下圖中y1就不是集合中的元素。y2或者屬于這個集合，或者剛好是一個false positive。錯誤率估計(jì)前面我們已經(jīng)提到了，Bloom Filter在判斷一個元素是否屬于它表示的集合時會有一定的錯誤率（false positive rate），下面我們就來估計(jì)錯誤率的大小。在估計(jì)之前為了簡化模型，我們假設(shè)kn<m且各個哈希函數(shù)是完全隨機(jī)的。當(dāng)集合S=x1, x2,xn的所有元素都被k個哈希函數(shù)映射到m位的位數(shù)組中時，這個位數(shù)組中某一位還是0的概率是：其中1/m表示任意一個哈希函數(shù)選中這一位

4、的概率（前提是哈希函數(shù)是完全隨機(jī)的），(1-1/m)表示哈希一次沒有選中這一位的概率。要把S完全映射到位數(shù)組中，需要做kn次哈希。某一位還是0意味著kn次哈希都沒有選中它，因此這個概率就是（1-1/m）的kn次方。令p = e-kn/m是為了簡化運(yùn)算，這里用到了計(jì)算e時常用的近似： 令為位數(shù)組中0的比例，則的數(shù)學(xué)期望E()= p。在已知的情況下，要求的錯誤率（false positive rate）為：(1-)為位數(shù)組中1的比例，(1-)k就表示k次哈希都剛好選中1的區(qū)域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已經(jīng)提到了，現(xiàn)在來看第一步近似。p只是的數(shù)學(xué)期望

5、，在實(shí)際中的值有可能偏離它的數(shù)學(xué)期望值。M. Mitzenmacher已經(jīng)證明2 ，位數(shù)組中0的比例非常集中地分布在它的數(shù)學(xué)期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分別將p和p代入上式中，得：        相比p和f，使用p和f通常在分析中更為方便。最優(yōu)的哈希函數(shù)個數(shù)既然Bloom Filter要靠多個哈希函數(shù)將集合映射到位數(shù)組中，那么應(yīng)該選擇幾個哈希函數(shù)才能使元素查詢時的錯誤率降到最低呢？這里有兩個互斥的理由：如果哈希函數(shù)的個數(shù)多，那么在對一個不屬于集合的元素進(jìn)行查詢時得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函數(shù)的個數(shù)少，那么位數(shù)

6、組中的0就多。為了得到最優(yōu)的哈希函數(shù)個數(shù)，我們需要根據(jù)上一小節(jié)中的錯誤率公式進(jìn)行計(jì)算。  先用p和f進(jìn)行計(jì)算。注意到f = exp(k ln(1 ekn/m)，我們令g = k ln(1 ekn/m)，只要讓g取到最小，f自然也取到最小。由于p = e-kn/m，我們可以將g寫成根據(jù)對稱性法則可以很容易看出當(dāng)p = 1/2，也就是k = ln2· (m/n)時，g取得最小值。在這種情況下，最小錯誤率f等于(1/2)k (0.6185)m/n。另外，注意到p是位數(shù)組中某一位仍是0的概率，所以p = 1/2對應(yīng)著位數(shù)組中0和1各一半。換句話說，要想保持錯誤率低，最好讓位數(shù)組有一

7、半還空著。  需要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，p = 1/2時錯誤率最小這個結(jié)果并不依賴于近似值p和f。同樣對于f = exp(k ln(1 (1 1/m)kn)，g = k ln(1 (1 1/m)kn)，p = (1 1/m)kn，我們可以將g寫成同樣根據(jù)對稱性法則可以得到當(dāng)p = 1/2時，g取得最小值。位數(shù)組的大小下面我們來看看，在不超過一定錯誤率的情況下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n個元素的集合。假設(shè)全集中共有u個元素，允許的最大錯誤率為，下面我們來求位數(shù)組的位數(shù)m。  假設(shè)X為全集中任取n個元素的集合，F(xiàn)(X)是表示X的位數(shù)組。那么對于集合X中任

8、意一個元素x，在s = F(X)中查詢x都能得到肯定的結(jié)果，即s能夠接受x。顯然，由于Bloom Filter引入了錯誤，s能夠接受的不僅僅是X中的元素，它還能夠 (u - n)個false positive。因此，對于一個確定的位數(shù)組來說，它能夠接受總共n + (u - n)個元素。在n + (u - n)個元素中，s真正表示的只有其中n個，所以一個確定的位數(shù)組可以表示個集合。m位的位數(shù)組共有2m個不同的組合，進(jìn)而可以推出，m位的位數(shù)組可以表示    個集合。全集中n個元素的集合總共有    個，因此要讓m位的位數(shù)組能夠表示所有n個

9、元素的集合，必須有    即：    上式中的近似前提是n和u相比很小，這也是實(shí)際情況中常常發(fā)生的。根據(jù)上式，我們得出結(jié)論：在錯誤率不大于的情況下，m至少要等于n log2(1/)才能表示任意n個元素的集合。  上一小節(jié)中我們曾算出當(dāng)k = ln2· (m/n)時錯誤率f最小，這時f = (1/2)k = (1/2)mln2 / n?，F(xiàn)在令f，可以推出這個結(jié)果比前面我們算得的下界n log2(1/)大了log2 e 1.44倍。這說明在哈希函數(shù)的個數(shù)取到最優(yōu)時，要讓錯誤率不超過，m至少需要取到最小值的1.44倍?？?/p>

10、結(jié)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，我們常常會碰到時間換空間或者空間換時間的情況，即為了達(dá)到某一個方面的最優(yōu)而犧牲另一個方面。Bloom Filter在時間空間這兩個因素之外又引入了另一個因素：錯誤率。在使用Bloom Filter判斷一個元素是否屬于某個集合時，會有一定的錯誤率。也就是說，有可能把不屬于這個集合的元素誤認(rèn)為屬于這個集合（False Positive），但不會把屬于這個集合的元素誤認(rèn)為不屬于這個集合（False Negative）。在增加了錯誤率這個因素之后，Bloom Filter通過允許少量的錯誤來節(jié)省大量的存儲空間。  自從Burton Bloom在70年代提出Bloom Fil

11、ter之后，Bloom Filter就被廣泛用于拼寫檢查和數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)中。近一二十年，伴隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和發(fā)展，Bloom Filter在網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域獲得了新生，各種Bloom Filter變種和新的應(yīng)用不斷出現(xiàn)。可以預(yù)見，隨著網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的不斷深入，新的變種和應(yīng)用將會繼續(xù)出現(xiàn)，Bloom Filter必將獲得更大的發(fā)展。參考資料1 A. Broder and M. Mitzenmacher. Network applications of bloom filters: A survey. Internet Mathematics, 1(4):485509, 2005.2 M. Mitzenmacher.

12、 Compressed Bloom Filters. IEEE/ACM Transactions on Networking 10:5 (2002), 604612.3 /fabian/courses/CS600.624/slides/bloomslides.pdf4 0/seminar/2006_11_23/hash_2_yaxuan.ppt數(shù)學(xué)之美系列二十一 布隆過濾器（Bloom Filter）2007年7月3日 上午 09:35:00發(fā)表者：Google（谷歌）研究員 吳軍 在日常生活中，包括在設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)軟件時，我們經(jīng)常

13、要判斷一個元素是否在一個集合中。比如在字處理軟件中，需要檢查一個英語單詞是否拼寫正確（也就是要判斷它是否在已知的字典中）；在 FBI，一個嫌疑人的名字是否已經(jīng)在嫌疑名單上；在網(wǎng)絡(luò)爬蟲里，一個網(wǎng)址是否被訪問過等等。最直接的方法就是將集合中全部的元素存在計(jì)算機(jī)中，遇到一個新元素時，將它和集合中的元素直接比較即可。一般來講，計(jì)算機(jī)中的集合是用哈希表（hash table）來存儲的。它的好處是快速準(zhǔn)確，缺點(diǎn)是費(fèi)存儲空間。當(dāng)集合比較小時，這個問題不顯著，但是當(dāng)集合巨大時，哈希表存儲效率低的問題就顯現(xiàn)出來了。比如說，一個象 Yahoo,Hotmail 和 Gmai 那樣的公眾電子郵件（email）提供商，

14、總是需要過濾來自發(fā)送垃圾郵件的人（spamer）的垃圾郵件。一個辦法就是記錄下那些發(fā)垃圾郵件的 email 地址。由于那些發(fā)送者不停地在注冊新的地址，全世界少說也有幾十億個發(fā)垃圾郵件的地址，將他們都存起來則需要大量的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器。如果用哈希表，每存儲一億個 email 地址， 就需要 1.6GB 的內(nèi)存（用哈希表實(shí)現(xiàn)的具體辦法是將每一個 email 地址對應(yīng)成一個八字節(jié)的信息指紋 50%，因此一個 email 地址需要占用十六個字節(jié)。一億個地址大約要 1.6GB， 即十六億字節(jié)的內(nèi)存）。因此存貯幾十億個郵件地址可能需要上百 GB 的內(nèi)存。除非是超級計(jì)算機(jī)，一般服務(wù)器是無法存儲的。今天，我們介紹一

15、種稱作布隆過濾器的數(shù)學(xué)工具，它只需要哈希表 1/8 到 1/4 的大小就能解決同樣的問題。布隆過濾器是由巴頓.布隆于一九七零年提出的。它實(shí)際上是一個很長的二進(jìn)制向量和一系列隨機(jī)映射函數(shù)。我們通過上面的例子來說明起工作原理。假定我們存儲一億個電子郵件地址，我們先建立一個十六億二進(jìn)制（比特），即兩億字節(jié)的向量，然后將這十六億個二進(jìn)制全部設(shè)置為零。對于每一個電子郵件地址 X，我們用八個不同的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器（F1,F2, .,F8） 產(chǎn)生八個信息指紋（f1, f2, ., f8）。再用一個隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器 G 把這八個信息指紋映射到 1 到十六億中的八個自然數(shù) g1, g2, .,g8?，F(xiàn)在我們把這八個位置的二進(jìn)制全部設(shè)置為一。當(dāng)我們對這一億個 email 地址都進(jìn)行這樣的處理后。一個針對這些 email 地址的布隆過濾器就建成了。（見下圖）現(xiàn)在，讓我們看看如何用布隆過濾器來檢測一個可疑的電子郵件地址 Y 是否在黑名單中。我們用相同的八個隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器（F1, F2, ., F8）對這個地址產(chǎn)生八個信息指紋 s1,s2,.,s8，然后將這八個指紋對應(yīng)到布隆過濾器的八個二進(jìn)制位，分別是 t1,t2,.,t8。如果 Y 在黑名單中，顯然，t1,t2,.,t8 對應(yīng)的