第02講 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第02講導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（5類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新I卷，第10題,6分利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求已知函數(shù)的極值點2024年新I卷，第18題,17分利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)的對稱性利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利用不等式求取值范圍2024年新Ⅱ卷，第11題,6分利用導數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性函數(shù)對稱性的應用極值與最值的綜合應用利用導數(shù)研究函數(shù)的零點判斷零點所在的區(qū)間2024年新Ⅱ卷，第16題,15分利用導數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性求在曲線上一點處的切線方程根據(jù)極值求參數(shù)2023年新I卷，第19題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導數(shù)研究不等式恒成立問題2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究不等式恒成立問題利用導數(shù)研究函數(shù)的零點根據(jù)極值點求參數(shù)2022年新I卷，第7題,5分用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)寡的大小比較對數(shù)式的大小2022年新Ⅱ卷，第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導數(shù)研究不等式恒成立問題裂項相消法求和2021年新I卷，第22題,12分利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導數(shù)證明不等式導數(shù)中的極值偏移問題2021年新Ⅱ卷，第22題,12分含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間利用導數(shù)研究函數(shù)的零點2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為13-17分【備考策略】1.理解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)之間的關系2能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并會求單調(diào)區(qū)間3.能夠利用導數(shù)解決與函數(shù)單調(diào)性的綜合問題【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會在解答題考查，同時小題也會考查用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，且近年來導數(shù)和其他版塊知識點關聯(lián)密集，是新高考備考的重要內(nèi)容。知識講解導函數(shù)與原函數(shù)的關系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導＞0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增＜0f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減＝0f(x)在(a，b)上是常數(shù)函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)的定義域；第2步，求出導函數(shù)f′(x)的零點；第3步，用f′(x)的零點將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.[常用結(jié)論]1.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，則x∈(a，b)時，恒成立；若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，則x∈(a，b)時，恒成立.2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則x∈(a，b)時，＞0有解；若函數(shù)f(x)在(a，b)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則x∈(a，b)時，＜0有解.考點一、函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系1．（浙江·高考真題）函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．2．（全國·高考真題）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如下圖，那么的圖像可能是（）A．B．C．D．1．（浙江·高考真題）設是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）A．B．C．D．2．（浙江·高考真題）是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能是下列選項中的（

）

A．

B．

C．

D．

3．（江西·高考真題）已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下面四個圖象中，的圖象大致是（

）A．B．C．D．考點二、利用導數(shù)求不含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．2．（2023·北京·高考真題）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)設函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點個數(shù)．3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.2．2．1．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個零點，求的取值范圍．2．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，，求的取值范圍.3．（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，判斷的零點個數(shù).考點三、利用導數(shù)求可分離型含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，證明：當時，恒成立．2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．3．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．1．（2024·廣東東莞·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．2．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：．3．（2024·新疆·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有三個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.4．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，，數(shù)列滿足，且①比較，，1的大?、谧C明：.5．（2024·廣西桂林·三模）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若且有2個極值點，，求證：．考點四、利用導數(shù)求不可分離型含參函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在唯一的極值點，證明：．2．（2024·廣西河池·模擬預測）已知函數(shù)，定義域為.(1)討論的單調(diào)性；(2)求當函數(shù)有且只有一個零點時，的取值范圍.1．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值范圍.2．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．考點五、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)值或范圍1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．2．（2023·全國·高考真題）設，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.3．（2023·寧夏銀川·三模）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>11．（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2．（2024·江蘇泰州·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·四川綿陽·模擬預測）在區(qū)間上隨機取一個實數(shù)，使在上單調(diào)遞增的概率是（

）A． B． C． D．二、解答題3．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：.4．（23-24高三上·河南·階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．5．（2024·江西南昌·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求的最大值.6．（2024·浙江紹興·模擬預測）已知，.(1)討論的單調(diào)性.(2)若使得，求參數(shù)的取值范圍.7．（2024·河南·三模）已知函數(shù)，且在處的切線方程是．(1)求實數(shù)，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．8．（2024·浙江·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點處的切線與二次曲線只有一個公共點，求實數(shù)a的值．9．（2024·湖北黃岡·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求的圖象在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍.10．（23-24高三上·湖北·期中）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與直線平行，求出這條切線的方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.一、單選題1．（2024·江西宜春·三模）已知，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·云南·模擬預測）已知函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．-1二、解答題3．（2024·四川涼山·三模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍，4．（23-24高二下·湖北武漢·期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值集合.5．（2024·天津河西·三模）已知函數(shù)，，其中．(1)若，求實數(shù)a的值(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若存在使得不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍．6．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．7．（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；(2)求證：．8．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).9．（23-24高二下·山西晉城·階段練習）函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若只有一個解，則當時，求使成立的最大整數(shù)k.10．（2023·河南信陽·模擬預測）設函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，討論函數(shù)的零點的個數(shù).1．（2024·全國·高考真題）（多選）設函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．3．（2022·浙江·高考真題）設函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（ⅰ）若，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）4．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．5．（2021·全國·高考真題）設函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.6．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．7．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論