變換不變量與特征向量

1、第五講 變換的不變量與特征向量特征值與特征向量【探究】1.計算下列結(jié)果:【定理1】如果是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常 數(shù)k, k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。其幾何意義是什么?Toya =©,p =4的關(guān)系是怎樣的?以上的計算結(jié)果與【定理2】屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線。q o'a '<0 2<o>1 o'lo 2lb丿2.計算下列結(jié)果:以上的計算結(jié)果與Jo 勺關(guān)系是怎樣的?2丿【應(yīng)用】從幾何角度解釋旋轉(zhuǎn)變換的特征值與特征向量。0、-ba0、a-b4【定義】a bI 設(shè)矩陣A=，如果存在實數(shù) 幾及非零向量使得

2、上,2 d丿則稱是矩陣a的一個特征值。是矩陣a的屬于特征值的一個特征向量。（結(jié)合探究1、2說明，特征值與特征向量）二、特征值與特征向量的計算儀2)1. 設(shè)A=，求A的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量。J 3丿【總結(jié)規(guī)律】7 b 一般的，矩陣A=b的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量2 d丿的求法?！緫?yīng)用】1 2)求A=的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量。(T 4.丿【練習(xí)：P70】-1 0【第五講作業(yè)】x = x1.設(shè)反射變換CT :彳， 對應(yīng)的矩陣為A,則下列不是 A的特征向ly = -y量的是()2. 下列說法錯誤的是()A.矩陣A的一個特征向量只能屬于A的一個特征值 B.每個二

3、階矩陣均有特征向量C.屬于矩陣A的不同特征值的特征向量一定不共線 D. 如果是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意11. 已知向量1 0是矩陣1 1 m的一個特征向量，求 m的值。Ik丿W 2丿1 ）（0 ）rA.B.C.D.6廠1丿的非零常數(shù)k，k 也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。3. 設(shè)，鼻分別是恒等變換與零變換的特征值，則<4 0丿求m的取值4. 投影變換a：0的所有特征值組成的集合為<0 1丿, h5. 矩陣的特征多項式為2 d丿6. 已知A是二階矩陣，且 A"= 0,則A的特征值為 *1 1、7. 若0是矩陣A=的一個特征值，則A的屬于0的特征向量為0

4、X丿8. 已知1、2是矩陣A=的特征值，則A，=I3 n丿T'*1 m"9. 若向量 是矩陣的一個特征向量，則 m=丘2丿10. 求下列矩陣的特征值及其對應(yīng)的所有特征向量：、f2 a)、f1)12. 設(shè)A=，分別求滿足下列條件的所有矩陣A:|是A<3 b 丿、2)fT)的屬于2的一個特征向量。是A的一個特征向量。,2丿x 3十m13. 對任意實數(shù)x,矩陣總存在特征向量,丘-m 2丿范圍。14設(shè)A是可逆的二階矩陣，求證：A的特征值一定不是 0;若是 A的特征值，則1/ '是A1的特征值。1. D2. B3.14. 0 ,5. f()2 =/u_(a d)， ad -be6.07.8.9.110.，=2,fk<2kk -2k2。；入=1,何 =7,-0或.二 _2,/0、r1 -222733k2>I2丿kik丿12.項式證明：=A（ ：）g4kf2k、k式0或九=-1,lk丿k