二次函數(shù)與一元二次方程與一元二次不等式

1、二次函數(shù)與一元二次方程和一元二次不等式二次函數(shù)y = ax2bx c （a = 0）是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基b4ac _ b時，函數(shù)在x處取得最小值- ，無最大值；當(dāng)2a4a處取得最大值4acb，無最小值.4a方程與函數(shù)不僅是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，方程與函數(shù)之間存在著密切的聯(lián)系，二次函數(shù)的圖象與x x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為相應(yīng)的二次方程的解，課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們能利用二次函數(shù)的圖象求二次方程的近似解。本節(jié)我們將進(jìn)一步研究一元二次方程與函數(shù)問題，研究當(dāng)自變量x在某個范圍內(nèi)取值時，函數(shù)的最值問題.同時還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問題在實際生活中的簡單應(yīng)用.【例 1

2、 1】已知二次函數(shù)y = -x2 2x m的部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程2-X 2x m = 0的解為.點(diǎn)橫坐標(biāo)。根據(jù)已知條件y = -X2 2x m，可知拋物線的對稱軸為直線x = 1；根據(jù)圖象可知拋物線與 x x 軸的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x = 3，所以利用拋物線的對稱性知拋物線 與 x x 軸的另一個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為一 1 1，因此，方程-x2 2x m = 0的解為 3 3 和一 1 1。本題 禾U用拋物線的軸對稱性求拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的一元二次方程的根。礎(chǔ)在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量x取任意實數(shù)時的最值情況（當(dāng)a . 0a：0時，bx =2a2-X

3、2x m = 0的根為二次函數(shù)y = -x22xm的圖象與 x x 軸交【例 2 2】二次函數(shù)y = ax2 bx c（a = 0, a,b, c是常數(shù)）中，自變量x與函數(shù)y的對 應(yīng)值如下表：x-1-1_120121 1322 2523 3y-21_41 1742741 11_4-2（1 1 ）判斷二次函數(shù)圖象的開口方向，并寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo).（2） 元二次方程ax2bx弋=0 = 0,a, b, c是常數(shù)）的兩個根x，x2 2的取值范圍是下列選項中的哪一個.1315Xi；： 0,X2 - 2-1；：Xi,2；：X222251 3X10,2 . x?-1 X1，x? . 222 2本題以表格的形

4、式給出二次函數(shù)y二ax2 bx c的部分對應(yīng)值，解題時可以選定三對值，求出二次函數(shù)解讀式，再判斷開口方向，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。但這樣去做計算量較大， 觀察表格的特征發(fā)現(xiàn)，與x =1等距離的 x x 對應(yīng)的函數(shù)值相等，所以直線X二1是拋物線的 對稱軸，因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 1, 2 2）;觀察表格發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x 1時，y y 隨著 X X 的增大 而減小，當(dāng)X：:1時，y y 隨著 x x的增大而增大，所以拋物線的開口向下。（ 2 2） 一元二次方程ax2 bx c = 0（a =0, a, b, c是常數(shù)）的根即為拋物線y = ax2 bx c與 x x 軸交點(diǎn)的15橫坐標(biāo)，觀察表格發(fā)現(xiàn)：與 o

5、 o 之間一定有一個 x x 的值，使y = ax2 bx c= 0 0； 2 2 與一22之間一定有一個 x x 的值，使y =ax2 bx c= 0 0，所以ax2bx 0的兩根, x2的取15值范圍是X1：0,2：X2，故答案為22【例 3 3】已知函數(shù)y二ax2 bx c的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的方程2ax bx c 0的根的情況是（）A A.無實數(shù)根B B.有兩個相等實數(shù)根C C.有兩個異號實數(shù)根D D 有兩個同號不等實數(shù)根分析：本題以圖象的形式給出信息，要判斷關(guān)于x的方程ax2bx c0的根的情況,2 2 2因為ax bx c 0可化為ax bx -2，即y =ax bx-2，所

6、以，方程2ax bx c0的根即為拋物線與直線 y y=- 2 2 的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，作直線 y y=- 2 2,觀察圖象可知直線與拋物線的交點(diǎn)在第四象限，因此交點(diǎn)橫坐標(biāo)都為正，故答案為D D。本題把方2一12分析：程的根轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。【例 4 4】二次函數(shù)y =ax2bxc(auO)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題:(1)寫出方程ax2bx c = 0的兩個根.(2)寫出不等式ax2bx c 0的解集.(3)寫出 y y 隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍.(4)若方程ax bxk有兩個不相等的實數(shù)根，求分析：本題以圖象的形式給出信息 ，考查了二次函數(shù)、二次方程、二次不等

7、式這三個二次之 間的關(guān)系。(1(1)方程ax2bx0的根即拋物線y = ax2 bx c(a = 0)與 x x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，觀察圖象得方程ax2bx 0的兩根為Xi=1,X2=3；(2) 不等式ax2bx c 0的解集即拋物線y =ax2 bx c(a = 0)位于 x x 軸上方的那一段的 x x 的范圍，觀察圖象得不等式ax2bx c 0的解集為1：x：3；(3)拋物線的增減性是以對稱軸為界，拋物線的對稱軸為x = 2，結(jié)合圖象得對稱軸右邊y隨x的增大而減小，所以x 2；22(4)方程ax bxk的解為拋物線y = ax bx c( 0)與直線y = k的交點(diǎn)，所以當(dāng)k : 2時，拋

8、物線與直線有兩個交點(diǎn)，即方程ax2bx c = k有兩個不相等的實數(shù)根的k的取值范圍是k : 2。【例 5 5】當(dāng)-2乞x乞2時，求函數(shù)y =x2- 2x - 3的最大值和最小值.分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時相應(yīng)自變量x的值.解：作出函數(shù)的圖象.當(dāng)x=1時，ymin，當(dāng)x=-2時，ymax=5.【例 6 6】當(dāng)1乞X乞2時，求函數(shù)y = _X2- X 1的最大值和最小值.解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)X=1時，ymin二_1，當(dāng)x=2時，ymax=5.由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量X的給定范圍內(nèi)，對應(yīng)的圖象是拋物

9、線上的一段那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值.根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量X的范圍的圖象形狀各異下面給出一些常見情況：位置.【例 7 7】當(dāng)x _0時，求函數(shù)y可以看出：當(dāng)x =1時，ymin- -1，無最大值.所以，當(dāng)X _0時，函數(shù)的取值范圍是y _ -1.【例 8 8】當(dāng)t zx豈t 1時，求函數(shù)15八產(chǎn)2沙工的最小值(其中t為常數(shù)).分析：由于X所給的范圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對125解:函數(shù) 7 -的對稱軸為X二1.畫出其草圖.(1)(1)當(dāng)對稱軸在所給范圍左側(cè).t 1時:當(dāng)X =t時,ymin15；(2)(2

10、)當(dāng)對稱軸在所給范圍之間.當(dāng)X =1時，ymin=丄212-1當(dāng)對稱軸在所給范圍右側(cè).即t _1 _t 1= 0 _t _1時:2；t 1：1= t : 0時：2_(t 1)_=丄t2_3.2 21t2_3,t :：: 02綜上所述：y -3,0 _ t _ 1在實際生活中，我們也會遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問題：【例 9 9】某商場以每件 3030 元的價格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m( (件) )與每件的銷售價x( (元) )滿足一次函數(shù)m = 162 - 3x,30 _ x _ 54.(1)(1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)(

11、2)若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利 潤為多少？解：(1)(1)由已知得每件商品的銷售利潤為(x-30)元,那么m件的銷售利潤為y二m(x -30)，又m二162 -3x.y =(x30)(162 3x) 3x2252x 4860,30乞x m 54(2)(2)由(1)(1)知對稱軸為x =42，位于x的范圍內(nèi)，另拋物線開口向下.當(dāng)x =42時，ymax二-3 422252 42-4860 = 432-當(dāng)每件商品的售價定為 4242 元時每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432432 元.課后自我檢測A A 組21.1._ 拋物線y = x (m4)x+

12、2m3，當(dāng)m=_ 時，圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m=_ 時，圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m=_ 時，圖象過原點(diǎn).2.2. 用一長度為IM M 的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為3.3. 求下列二次函數(shù)的最值：2(1)(1)y = 2x4x 5；(2)(2)y = (1x)(x 2).4 4求二次函數(shù)y =2x2-3x 5在-2乞x乞2上的最大值和最小值，并求對應(yīng)的x的值.t5,t1222 _5 5.對于函數(shù)y=2x，4x-3，當(dāng)x- 0時，求y的取值范圍.6 6 求函數(shù)y = 3 -5x - 3x -2的最大值和最小值.7 7.已知關(guān)于x的函數(shù)y =x2 (2t 1)x t2-1，當(dāng)t

13、取何值時，y的最小值為 0 0?& &若不等式x2+bx +c 0的解為一 1 1 xx20對R恒成立，則1的取值范圍是 _27.7. 不等式(a-2)x，2(a-2)x-4：0對一切實數(shù) x x 恒成立，則實數(shù) a a 的取值范圍是21 1& &一元二次不等式ax bx 20的解是x，則a b的值是23課后自我檢測參考答案1 1. 4 4 1414 或 2,-2,-22m 1693 3. (1)(1)有最小值 3 3,無最大值；(2)(2)有最大值一，無最小值.43314 4當(dāng)X時，ymin；當(dāng)X= -2時，ymax=19485 5. y _ -55y/326