2017-2018學年高中數(shù)學第三講圓錐曲線性質的探討創(chuàng)新應用教學案新人教A版選修4-1

1、第三講圓錐曲線性質的探討對應學生用書 P371.正射影的概念給定一個平面a，從一點A作平面a的垂線，垂足為點A,稱點A為點A在平面a上的正射影.一個圖形上JAL所組成的圖形，稱為這個圖形在平面a上的正射影.2.平行射影設直線I與平面a相交，稱直線I的方向為投影方向,過點A作平行于I的直線（稱為 投影線）必交a于一點A,稱點A為A沿I的方向在平面a上的平行射影.一個圖形上各點在平面a上的平行射影所組成的圖形，叫做這個圖形的平行射影.3.正射影與平行射影的聯(lián)系與區(qū)別正射影與平行射影的投影光線與投影方向都是平行的.因此，正射影也是平行射影， 不同的是正射影的光線與投影面垂直.而平行射影的投影光線與投

2、影面斜交.平面圖形的正射 影與原投影面積大小相等而一般平行射影的面積要小于原投影圖形的面積.4.兩個定理（1）_定理 1:圓柱形物體的斜截口是橢（2）定理 2:在空間中，取直線I為軸，直線I與I相交于0點，夾角為a,I圍繞I旋轉得到以0為頂點，I為母線的圓錐面， 任取平面n， 若它與軸I的交角為3（當n與I平行時， 記3= 0） ，則13a，平面n與圓錐的交線為橢圓.23=a，平面n與圓錐的交線為拋物線.33A B, ACA C A E2+AC2AB+AC=BC.A B2+A C2-BC22A BA C/AC+AB2ACABCOS/BAC= 6- 2 . 2,4A E2+A C-BC半-護-2

3、A_B_A=3tza|平面與圓柱面的截線例 2如圖，在圓柱OQ內嵌入雙球，使它們與圓柱面相切， 切線分別為OQ和OQ,并且和圓柱的斜截面相切，切點分別為Fl、F2.求證：斜截面與圓柱面的截線是以Fi、F2為焦點的橢圓.思路點撥 證明曲線的形狀是橢圓， 利用橢圓的定義（平面上到兩個定點 的距離之和等于定長的點的軌跡）來證明.證明如圖，設點P為曲線上任一點，連接PF、PR,則PF、PR分別是 兩個球面的切線，切點為Fi、F2,過P作母線，與兩球面分別相交于K、K2,則PK、PK分別是兩球面的切線，切點為K、Ks.根據切線長定理的空間推廣，知PF=PK,PF=PK,所以PF+PF=PK+PK=K由于

4、Ki為定值，故點P的軌跡是以Fi、F2為焦點的橢圓.片法片法- -規(guī)律，那結規(guī)律，那結-（1）證明平面與圓柱面的截線是橢圓，利用 Dandelin 雙球確定橢圓的焦點，然后利用橢 圓的定義判定曲線的形狀.該題使用了切線長定理的空間推廣（從球外一點引球的切線，切線長都相等）.4.一平面與圓柱面的母線成45角，平面與圓柱面的截線橢圓的長軸為的半徑為_ .cosZBA C=6,則圓柱面5解析：由 2a= 6,即a= 3,又e= cos 45b=c=ea#3=攀2 2 即為圓柱面的半徑.答案：竽5.已知一平面垂直于圓柱的軸，截圓柱所得為一半徑為 成 30角，求截線的長軸、短軸和離心率.解：由題意可知橢

5、圓的短軸為2b= 2X2,短軸長為 4.2 的圓，另一平面與圓柱的軸62b1設長軸長為2a，則有礦 sin 30 = 2， 2a=4b= 8.e=-2a 2思路點撥 本題直接證明，難度較大，故可仿照定理 1 的方法證明，即 Dandelin 雙球法.證明 如圖，在圓錐內部嵌入 Dandelin 雙球，一個位于 平面n的上方，一個位于平面n的下方，并且與平面n及圓 錐均相切.當3a時，由上面的討論可知，平面n與圓錐的交線是 一個封閉曲線設兩個球與平面n的切點分別為Fi、F2,與圓 錐相切于圓Si、S2.在截面的曲線上任取一點P,連接PF、PR.過P作母線交S于Q,交S2于Q,于是PF和PQ是從P

6、到上方球的兩條切線， 因此PF=PQ.同理，PR=PQ.所以PF+P=PQ+PQ=QQ.由正圓錐的對稱性，QQ的長度等于兩圓Si、S2所在平行平面間的母線段的長度而與P的位置無關，由此我們可知在3a時，平面n與圓錐的交線為一個橢圓.方法方法- -規(guī)律規(guī)律小結小結1一一由平面中，直線與等腰三角形兩邊的位置關系拓展為空間內圓錐與平面的截線之后，較難入手證明其所成曲線的形狀，尤其是焦點的確定更加不容易，但可以采用Dan deli n 雙球法，這時較容易確定橢圓的焦點，學生也容易入手證明，使問題得到解決.6圓錐的頂角為 50,圓錐的截面與軸線所成的角為30,則截線是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物

7、線50解析：由a=-丁= 25, $ = 30, $ a,LZS|平面與圓錐面的截線2 例 3證明：定理 2 的結論(1)，即3a時，平面n與圓錐的交線為橢圓.8,短軸長為 4，離心率為長軸長為7截線是橢圓.答案：B87.如圖，已知平面n與圓錐的軸的夾角為3，圓錐母線與軸的夾角為a,a=3,求證：平面n與圓錐的交線為拋物線.證明：當3=a時，平面與圓錐的一部分相交，且曲線不閉合.在圓錐內嵌入一個Dandelin 球與圓錐交線為圓S記圓S所在平面為n, n與n的交線記為m球切n于Fi點.在截口上任取一點P,過P作PU m于A,過P作P吐平面n于B,過P作圓錐的母 線交平面n于C,連接AB PF,

8、BC由切線長定理，PF=PC/ PB平行于圓錐的軸，/APB=3，/BPC=a.PB在 RtABP中，PA= cos3 a=3, PC= PAPF=PA即截口上任一點到定點F和到定直線m的距離相等.截口曲線為拋物線.對應學生用書 P39一、選擇題1.一條直線在一個面上的平行投影是（）A. 條直線B. 個點C. 一條直線或一個點D.不能確定解析：當直線與面垂直時，平行投影可能是點.答案：C2.ABC的一邊在平面a內，一頂點在平面a夕卜，則厶ABC在面a內的射影是（A.三角形B. 直線C.三角形或一直線D.以上均不正確解析：當厶ABC所在平面平行于投影線時，射影是一線段，不平行時，射影是三角形.在

9、 RtBCP中,PC=PBCOSan N G Y 0 M G9答案：D103.下列說法不.正確的是（）A. 圓柱面的母線與軸線平行B. 圓柱面的某一斜截面的軸面總是垂直于直截面C. 圓柱面與斜截面截得的橢圓的離心率與圓柱面半徑無關，只與母線和斜線面的夾角 有關D. 平面截圓柱面的截線橢圓中，短軸長即為圓柱面的半徑解析：顯然 A 正確，由于任一軸面過軸線，故軸面與圓柱的直截面垂直，B 正確，C 顯然正確，D 中短軸長應為圓柱面的直徑長，故不正確.答案：D4.設圓錐的頂角（圓錐軸截面上兩條母線的夾角）為 120,當圓錐的截面與軸成 45 角時，則截得二次曲線的離心率為（）A.#C. 1解析：由題意

10、知a= 60,3= 45,滿足3a，這時截圓錐得的交線是雙曲線，其答案：B二、填空題5用平面截球面和圓柱面所得到的截線形狀分別是 _ 、_ .解析：聯(lián)想立體圖形及課本方法，可得結論.要注意平面截圓柱面所得的截線的不同情 況.答案：圓 圓或橢圓6. 有下列說法1矩形的平行射影一定是矩形；2梯形的平行射影一定是梯形；3平行四邊形的平行射影可能是正方形；4正方形的平行射影一定是菱形；其中正確命題有 _ .（填上所有正確說法的序號）解析：利用平行射影的概念和性質進行判斷.答案：7.在底面半徑為6 的圓柱內有兩個半徑也為 6 的球面，兩球的球心距為13.若作一個平面與這兩個球面相切，且與圓柱面相交成一橢

11、圓，則橢圓的長軸長為_.離心率為cos 45ecos 60111解析：如圖，為圓柱的軸截面，AB為與兩球O和球Q都相切的平面與軸截面的交線，由對稱性知AB過圓柱的幾何中心O由00丄ODOC丄0A故/0GC=ZA0D且0C= 0D=6,所以 Rt00C4RtA0D則A0= 00故AB=2A0=200= 002= 13.顯然AB即為橢圓的長軸，所以AB=13.答案：13三、解答題8.AABC是邊長為 2 的正三角形，BC/平面a,A、B、C在a的同側，它們在a內的射影分別為A、B、。，若厶A B C為直角三角形，BC與a間的距離為 5,求A到a的距離.解：由條件可知A B=A C,/B A C=

12、90.設AA=x，在直角梯形AA C C中,A C2= 4 (5 x)2,由AB2+AC2=B C2,得 2X4(x5)2=4,x=52.即A到a的距離為 52.9.若圓柱的一正截面的截線為以3 為半徑的圓，圓柱的斜截面與軸線成60,求截線橢圓的兩個焦點間的距離.解：設橢圓長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則b= 3,22. 2八2小3c c=ab= 6 3 = 27.兩焦點間距離 2c= 2 27= 6 3.10.如圖所示，圓錐側面展開圖扇形的中心角為2n,AB CD是圓錐面的正截面上互相垂直的兩條直徑，過CD和母線VB的中點E作一截面，求截面與圓錐的軸線所夾的角的大小，并說明截線是什么圓

13、錐曲線？解：設O0的半徑為R,母線VA= l,2nR則側面展開圖的中心角為十=,2n,a= cos 60=3X2=6,12n圓錐的半頂角a=13連接OE / O E分別是AB VB的中點, OE/ VAnVOLAr又ABL CD VOL CDCDL平面VAB平面CDEL平面VAB即平面VAB為截面CDE勺軸面,/VOE為截面與軸線所夾的角，即為&又圓錐的半頂角與截面與軸線的夾角相等，故截面CDE與圓錐的截線為一拋物線.模塊綜合檢測對應學生用書 P45（時間：90 分鐘，滿分：120 分）、選擇題（本大題共 10 小題，每小題 5 分，滿分 50 分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是

14、符合題目要求的）1. RtABC中,CD是斜邊AB上的高，該圖中只有x個三角形與ABC相似，貝U x的值為（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：由題所給圖形為射影定理的基本圖形，ACDBCD均與厶ABC相似.答案：B2.已知：如圖,?ABCDK EF/ AC交AD DC于E、F,AD BF的延長線交于M則下列等式成立的14A.AD=AE- AMB.AD=CF- DCC.AD=BC ABD.AD=AE- ED解析：在?ABCDKAD/ BC AB/ DC15答案：A3對于半徑為 4 的圓在平面上的投影的說法錯誤的是（）A 射影為線段時，線段的長為8B.射影為橢圓時，橢圓的短軸可能為8C.射影

15、為橢圓時，橢圓的長軸可能為8D.射影為圓時，圓的直徑可能為4解析：由平行投影的性質易知射影為圓時，直徑為8.答案：D4如圖，用平面去截圓錐，所得截面的形狀是（）解析：用平面去截圓錐，如題圖：平面與圓錐的側面截得一條弧線，與底面截得一條線段，所以截面的形狀應該是D.答案：DC. 40D. 60解析：因為PA PB是OO的切線，所以/0A4/0B290,而/50,所以/AOB=360 90 90 50 =130, DF/ABAD_BFAM BMDM/ BCBF CFBMDC/ EF/ ACAE CFAD=DC.AD_AE二AMADAD=AE- AM5.如圖，PA PB是O0的切線，AC是OO的直徑

16、，/則/BO度數(shù)為（）A. 50B. 2516又因為AC是OO的直徑，所以/BO= 180 130 =50.17答案：A6.如圖，已知OO的直徑AB與弦AC的夾角為 35,過C點的切線PC與AB的延長線交于點P,那么/P等于（）A. 15B. 20C. 25D. 30解析：OA= OCA=Z1,/POC=2/A=70./ OCL PCP= 90/POC=20.答案：B7如圖，AB為OO的直徑，C為OO上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D/DAB=80，則/ACO等于（A. 30B. 35C. 40解析：CD是OO的切線,D. 45OCLCD又ADLCD - OC/ AD由此得/ACO=

17、ZCAD/OC= OA/CA=ZACO /CAD=/CAO故AC平分/DAB/CAO=40又/AC=ZCAO/ACO=40答案：C8.（天津高考）如圖，ABC是圓的內接三角形，/BAC的平分線交圓 于點D,交BC于點E,過點B的圓的切線與AD的延長線交于點F.在上述 條件下，給出下列四個結論：BD平分/.CBFFW=FD- FAAE- CE=BE- DEAF-BD= AB- BF則所有正確結論的序號是（）A.C.B.D.解析：因為/BAD=ZFBD/DBC=/DAC又AE平分/BAC即/BAD=/DAC所以/FBD=/DBC所以BD平分/CBF結論正確；18易證ABDABDF,所以AF=Bp所

18、以AB- BF=AF- BD結論正確；由切割線定理，得BF=AF- DF結論正確；由相交弦定理，得AE- DE=BE- CE結論錯誤.選 D.答案：D9如圖，P為圓外一點，PA切圓于點A, PA=8,直線PCB交圓于C, B兩點，且PC=4,ADL BC垂足為點D,ZABC=a，/ACB=3, 連接AB AC則Sin：等于（）sin31A.4C. 2D. 4解析：由PA=PC-PB,有 64= 4PB PB=16.又ZABC=a,ZACB=3,ADLBCAB=ADsina,AC=ADsin3在厶PABHAPCA中 ,ZB=ZPACZP為公共角,PABAPCAADAC APsin38 sina1

19、 = 即- - -=_，2歹BP AD 16sin3 2sina答案：B10.如圖，在厶ABC中 ,ADLBC于D,下列條件:CD ACZB+ZDAC=90,ZB=ZDACAD=ABAB=BD- BC其中一定能夠判定厶ABC是直角三角形的共有（）A. 3 個B. 2 個C. 1 個D. 0 個解析： 驗證法： 不能判定ABC為直角三角形， 因為ZB+ZDAC=90,而ZB+ZDAB=90,則ZBAD=ZDAC同理ZB=ZC,不能判定ZBADbZDAC等于 90;而中ZB=ZDACZC為公共角，則厶ABCADAC又厶DAC為直角三角形，所以ABC為直角三CD AC角形；在中，由AD=AB可得AC

20、E4BAD則ZBAD=ZCZB-ZDAC所以ZBAD-Z1B.219B20DA= 90 ;而中AB=BD- BC即BB=AC/B為公共角，則ABSADBA即厶ABC為直角三角形.所以正確命題有 3 個.答案：A二、填空題（本大題共 4 個小題，每小題5 分，滿分 20 分把答案填寫在題中的橫線11 （廣東高考）如圖，圓O的半徑為A B C是圓周上的三點，滿足/ABG=30,過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P,則PA=解析：如圖，連接0A由/ABC=30,得/AO= 60是PA= OAan 60 =3.答案：312 .如圖，AB是OO的直徑,/BCE=解析：如圖，連接AD則/ADB=90,

21、且/DAC=ZB,所以 cos /BCE=cosDA yj102- 82= 3AB=10 = 5.3答案：313.如圖，AB是直徑,徑的長為解析：因為AB是直徑,所以CD=AD- BDCDL AB于D, CD= 4-J3,AD: DB=3 : 1,則直CDL AB于D,因為AD：DB=3： 1，設DB= x，則AD= 3x.所以(4 . 3)2= 3x-x.所以x= 4.所以AB=16.答案：1614.如圖，ABC中,AD/ BC連接CD交AB于E,且AE：EB=1 :2,過E作EF/ BC交AC于F,若SMDE=1，則SAEF=B2122解析：AD/ BCADEABCEBE CE2AE=DE

22、=1.EF CE2-EF/AD-AD=DC=3.ADEWAFE的高相同，SAEFEF2SADEAD32答案：3三、解答題（本大題共 4 個小題，滿分 50 分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）2315.（本小題滿分 12 分）如圖，已知在梯形ABCDK AD/ BC是CD的中點，EF/BC交AB于F,FG/ BD交AD于G求證：AG=DG證明： AD/ EF/ BC E是CD的中點,F是AB的中點.又FG/ BDG是AD的中點.AG=DG16.（本小題滿分 12 分）如圖，AE是圓O的切線，A是切點，AD丄OE于D,割線EC交圓O于B, C兩點.（1）證明：Q D B, C四點共圓;設/DB= 50,/QD= 30，求/QEC勺大小.解：（1）證明連接OA OC貝U OAL EA由射影定理得EA=ED- EO由切割線定理得EA=EB- EC故ED- EQ= EB- EC即ED=EO又/DEB=/QEC所以BDE因此Q D, B, C四點共圓.連接OB因為/OEG-ZOCB-/CO= 180,結合（1）得/OE= 180-/OCB/COE24=180/OBG-ZDBE=180/OB(180 /DBC=/DB/ODG