第九章常微方程數(shù)值解法

1、W Y第9章 常微分方程數(shù)值解法8-1第9章 常微分方程數(shù)值解法8-2第9章 常微分方程數(shù)值解法8-3),()()1()()( nnnyyyxfyxfy或) 18()( )(,()(0yaybxaxyxfxyyyLyxfyxfLipschitzyxf),(),(: )(),(條件李卜希茲滿足只要第9章 常微分方程數(shù)值解法8-4222022224444122221221)0(xyxyxycycxyxdxydyxydxdyyxyyx第9章 常微分方程數(shù)值解法8-5nxxx100)( )(,()(yaybxaxyxfxy第9章 常微分方程數(shù)值解法8-60)( )(,()(yaybxaxyxfxy第9

2、章 常微分方程數(shù)值解法8-7 )(,(0000 xxyxfyy）P1 P2y(x)P0 x2x1x0NabhNnnhxxn), 1 , 0(0對等距節(jié)點)28(,2, 1 )(),(001Nnyxyyxhfyynnnn第9章 常微分方程數(shù)值解法8-8),(),()(,(),()(,(),(),(),()(,(11211111211122222111111111000010001上在近似曲線而用可得：相交于與為斜率，可得切線：為切點，以再以yxPPyxhfyxxyxfyyyxPxxxxyxfyyyxfyxPyxhfyxxyxfyy),( )(,(:)(,(:)(),(111nnnnnnnnnnn

3、nnnnnnnyxhfyxxyxfyyxxxxyxfyyxyyyx相交得與可作直線一般地假定已求出,.),.,2 , 1)()(,1010NiNyyyNixyxyyxxx的近似值的初值問題的與所對應(yīng)的微分方程出在重復(fù)上述過程，即可求10PP：時，可求，當(dāng)近似以1111)(yxxxyy第9章 常微分方程數(shù)值解法8-9)()(2),(),( ),(),(211局部的截斷誤差稱為nnnnnnnnnnnnxyhhxEyxhfyyhxEyxhfyy 112),(2)(,)()(! 2)(,()()(! 2)()()( nnnnnnnnyxfynnnnyxyyxyhxyhxyxhfxyxyhxyhxyhx

4、y，并以的線性部分作為近似式取第9章 常微分方程數(shù)值解法8-10)(3)()(3),(2)(,()(6)()(21)()()(6)(21)(:33112112021nnnnnnnnnnnnnyhhxEyhyxhfyyxyxfyhxyxyhxyfhyyhxf ，去掉誤差項，也稱為中點法公式還可利用三點公式4)-(8 ),(211nnnnyxhfyy第9章 常微分方程數(shù)值解法8-111111)(,()()( )(,()()()(,()(11nnnnnnnnxxnnxxnnxxxxdxxyxfxyxydxxyxfxyxydxxyxfdxxy所以1)(,(nnxxdxxyxf)(,(),(nnnxyx

5、fyxf公式為則有Euleryxhfyyxfxxyynnnnnnnnn),(),()(11yf(x, y)xnxxn+1圖8-2 第9章 常微分方程數(shù)值解法8-12yf(x, y)xnxxn+1圖8-3yf(x, y)xnxxn+1圖8-4),(),(,(),(1111111nnnnnnnnyxhfyyxyxfyxf則有5)-(8 ),(),(2)(,(1111nnnnnxxnnyxfyxfhydxxyxfyynn第9章 常微分方程數(shù)值解法8-13)(2),(2nnyhhxE )(2),(2nnyhhxE )(),(1pnhohxE第9章 常微分方程數(shù)值解法8-141)(,(nnxxdxxyx

6、f)(0)(12)(12),(333hyhfhhxEn 第9章 常微分方程數(shù)值解法8-15111)(ennnyxy于是有記),(,()(), 2 , 1 , 0( 2)(2 )(,()()(12211nnnnnnnnnxyxhfxyynMhyhxyxhfxyxyR 第9章 常微分方程數(shù)值解法8-16)(lim0nnhxyy 第9章 常微分方程數(shù)值解法8-17第9章 常微分方程數(shù)值解法8-188)-(8 ), 1 , 0( ),(),(2),()(11) 1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn) 1(1)(1) 1(11)(11)(1) 1(12 ),(),(2k

7、nknknnknnknknyyhLyxfyxfhyy第9章 常微分方程數(shù)值解法8-19法。改進(jìn)由此導(dǎo)出一種新方法代一次，求解時，每步可以只迭太高，用公式要求不。如果實際計算時精度求再利用。時，或小于預(yù)先給定的，當(dāng)，對足夠大的計算出復(fù)迭代，然后由第二個式子反，首先算出，按較大，如給定收斂。但這樣做計算量時，迭代常數(shù)。因此，當(dāng)為其中EuleryyxyyyyyykyyyyxhLLipschitzLkkkkk)88(),(,)88(),(120211)(11) 1(1)(1) 1(1)(1)2(1) 1 (1)0(100第9章 常微分方程數(shù)值解法8-209)-(8 ),(),(2 ),( 1111nn

8、nnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy校正預(yù)測10)-(8 )(2),(),(2111121kkhyyhkyxfkyxfknnnnnn第9章 常微分方程數(shù)值解法8-21yyfxfxyyxfxyxyhxyhxyhxyxynnnnn )(),()()(21)()()()(21注意到)()( :)()(2)()()(2 : )()()( )(,( )(,(),()()(,(),(31132211211121hOyxyhOxyhxyhxykkhyyhOxyhxyyfhkxfhxyxfhkxyhxfhkyhxfkxyxyxfyxfknnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 于是因此第9章 常微分

9、方程數(shù)值解法8-22的數(shù)值解。求初值問題1)0() 10( yxyy1, 9 .0, 2 .0, 1 .0, 1 .022)(2:, 12)1 (:r)1 ( :10921111110111111xxxxhyhhyyyhyyEuleryyyhyyyhyyhyyyEuleyhhyyyEulernnnnnnnnnnnnnnnnnn取梯形法法計算可以利用才能開始，還要只給定了中點法：法后退法解隱式隱式第9章 常微分方程數(shù)值解法8-23第9章 常微分方程數(shù)值解法8-24Y =-y, y(0)=1的解的解y(1)的近似值的近似值(y(1)=0.367879)h歐拉法歐拉法后退歐拉法后退歐拉法中點法中點法

10、梯形法梯形法0.1.348678.385543.374310.3675730.01.366033.369711.367944.3678770.001.367700.368052.367879.3678760.0001.367800.367800.367881.368020第9章 常微分方程數(shù)值解法8-25第9章 常微分方程數(shù)值解法8-26第9章 常微分方程數(shù)值解法8-27xnhaxnaxhn，則令)(limxyynn即：第9章 常微分方程數(shù)值解法8-28)0( yy第9章 常微分方程數(shù)值解法8-29nnnnnyhyxhfyy)1(),(1)(1 (11nnnnyhy）（所以有：378)1 (1nnh 02 11z z即穩(wěn)定。才能保證歐拉公式