中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題8二次函數(shù)與幾何圖形的綜合(精講)試題

1、專題八 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合畢節(jié)中考備考攻略命潁規(guī)律二次函數(shù)與幾何的綜合問(wèn)題一般作為壓軸題呈現(xiàn)，具有知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、解題方法靈活等鮮明特點(diǎn) ，同時(shí)題型變化多樣，如求線段的長(zhǎng)、求圖形的面積、特殊三角形的存在性、特殊四 邊形的存在性、相似三角形的存在性等等 .解潁茶端.1 .二次函數(shù)與線段的長(zhǎng)(1) 一般設(shè)拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X,縱坐標(biāo)為拋物線解析式，與之相關(guān)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為X,縱坐標(biāo)為直線解析式，兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值即為線段的長(zhǎng)度；(2)建立關(guān)于線段長(zhǎng)的二次函數(shù)，通過(guò)求二次函數(shù)的最值進(jìn)而求線段長(zhǎng)的最值；(3)線段長(zhǎng)之和最小的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為對(duì)稱點(diǎn)后用兩點(diǎn)之間線

2、段最短解決.2 .二次函數(shù)與圖形的面積(1)根據(jù)二次函數(shù)中不同圖形的特點(diǎn)選擇合適的方法解答圖形的面積；(2)通過(guò)觀察、分析、概括、總結(jié)等方法了解二次函數(shù)面積問(wèn)題的基本類型，并掌握二次函數(shù)中面積問(wèn)題的相關(guān)計(jì)算，從而體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用；(3)利用二次函數(shù)的解析式求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出相關(guān)線段長(zhǎng)，利用割補(bǔ)方法求圖形的面積.3 .二次函數(shù)與特殊三角形(1)判斷等腰三角形，可以對(duì)頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論；(2)判斷直角三角形，可以對(duì)直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類討論.4 .二次函數(shù)與特殊四邊形此類題型結(jié)合特殊四邊形的判定方法，對(duì)對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行分類討論，求平行四邊形存在類問(wèn)題用平移法解坐標(biāo)較簡(jiǎn)單，其他

3、特殊的平行四邊形結(jié)合判斷方法用邊相等、角為直角或?qū)蔷€的交點(diǎn)坐標(biāo)突破5 .二次函數(shù)與相似三角形結(jié)合相似三角形判定 方法，如果一個(gè)角為直角，只需兩直角邊之比分別相等，此時(shí)要對(duì)對(duì)應(yīng)邊分類討論.中考重難點(diǎn)突破二次函數(shù)與線段的長(zhǎng)例1 (2018遂寧中考改編)如圖，已知拋物線y=ax2 + |x + 4的對(duì)稱軸是直線 x=3，且與x軸相交于 A,B兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè))，與y軸交于C點(diǎn).(1)求拋物線的解析式和 A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N,當(dāng)MNk3時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】(1)由拋物線的對(duì)稱軸 x= 3，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到a的值，進(jìn)

4、而可得出拋物線的解析式，再利用拋物線與x軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0可求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)；(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo).由點(diǎn)B,C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為 m,可表示點(diǎn)M的縱坐標(biāo).又由MN/y軸，可表示出點(diǎn)N的橫縱坐標(biāo)，進(jìn)而可用m的代數(shù)式表 示出MN的長(zhǎng)，結(jié)合MN= 3即可得出關(guān)于 m的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程，分類討論即可得出結(jié)果.3【答案】解：(1) ;拋物線 y = ax2+3x + 4的對(duì)稱軸是直線x= 3,二. 一 != 3,解得a=-,22a41 23，拋物線的解析式為 y = -4x +2x + 4.1 2 3 .一當(dāng) y =

5、 0 時(shí)，一4* +2x+ 4 = 0,解得 xi = 2,x 2= 8.點(diǎn)A的坐標(biāo)為( 2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,0);123(2)當(dāng) x=0 時(shí),y= 4x+2x + 4=4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線BC的解析式為y=kx + b(kw0).將 B(8,0),C(0,4) 代入 y= kx+ b,得18k+b=0,/口 k=- J,解得彳 2b = 4，lb=4,1直線BC的斛析式為y= 2x+4.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 1 -4n2 + |m+ 4j則點(diǎn)N的坐標(biāo)為-2m+ 4 j MN= 4n2+2m+ 4- : 2m 4=-；m + 2m . 4又MN 3, , 1m2+2m =3.

6、4當(dāng)一!m2 + 2m>0，即 0W mC8 時(shí)，一3m2 + 2m= 3,解得 m= 2,m2= 6,44此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,6)或(6,4). 1同理，當(dāng)一4m+2m< 0,即m>8或m<0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4 2y7,幣1)或(4 + 2J7,木1).綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,6),(6,4),(4 2巾，巾1)或(4 + 25，#1).針對(duì)訓(xùn)捱11.( 2018 安順中考改編)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx + c(a W0)的對(duì)稱軸為直線 x= 1，且拋物線與x軸交 于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其中A(1,0),C(0,3).(1)若直線y=m肝n經(jīng)

7、過(guò)B,C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式;(2)在拋物線的對(duì)稱軸 解：(1)依題意，得x=- 1上找一點(diǎn) M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo).b b .1 a+ b+ c= 0, lc= 3,a=- 1,解得bD=- 2,C = 3,，拋物線的解析式為 y = -x2-2x+ 3.2令 y = 0,則x -2x+ 3=0,解得 x1 = 1,x 2= 3,.點(diǎn) B(3, 0).把 B(3,0),C(0,3)3m+ n= 0,|n = 3,m= 1,解得 cn = 3,代入y = mx+ n,得,直線BC的解析式為y=x+3;(2)設(shè)直線BC與x = 1的交點(diǎn)為M,連接

8、AM.,點(diǎn)A,B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱MA= MB,.MA MC= MB+ MC= BC,，當(dāng)點(diǎn)M為直線BC與x=- 1的交點(diǎn)時(shí)，MA+ MC勺值最小.把 x = - 1 代入 y = x+3，得 y = 2,M(1,2).二次函數(shù)與圖形的面積例2 (2018 達(dá)州中考改編)如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O(0,0),A(1,1),B(1,0).(1)求拋物線的解析式；(2)連接OA,過(guò)點(diǎn)A作ACL OA交拋物線于點(diǎn) C,連接OC求AOC的面積.【解析】(1)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=ax 7 ,然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a,即可得到拋物線的解析式;(2)延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D,易得OA=也，/ DOA= 45°

9、 ,則可判斷 AOD為等腰直角三角形,由此可求出D點(diǎn)坐標(biāo), 利用待定系數(shù)法求出直線 AD的解析式，再結(jié)合拋物線的解析式可得關(guān)于 x的一元二次方程，解方程可得點(diǎn)C的坐標(biāo)， 利用三角形面積公式及 SzxAOB Sa COD- Saao進(jìn)行f算,進(jìn)而得出 AOC勺面積.【答案】解：(1)設(shè)拋物線的解析式為7 y= ax J 2 把 A(1,1)代入 y= ax %2 ,可得 a= 5,拋物線的解析式為72 ,即 y=-2x2+7x;55(2)延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D.A(1,1), /OAC= 90° ,OA=啦,/ DOA= 45。,AOM等腰直角三角形， .OD=/OA= 2,D(0,2)

10、.由點(diǎn)A(1,1),D(0,2), 得直線AD的解析式為y = x + 2.令一二x2 + 二x = x+ 2,解得 xi = 1,x 2= 5.55當(dāng) x = 5 時(shí),y= x + 2 = 3,C(5, 3),.C C 1 1 ,一 S aaoc= Sa cod Sa aod=二 X 2X5 二X2X1= 4.22針對(duì)制推22.( 2018 眉山中考改編)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,3),B(1,0), 其對(duì)稱軸為直線 l：x=2, 過(guò)點(diǎn)A作AC/ x軸交拋物線于點(diǎn)C, / AOB勺平分線交線段 AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為 m.(1)求拋物線的

11、解析式；(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連接PE,PO,當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形AOPE勺面積最大？并求出其最大值.解：(1)由拋物線的對(duì)稱性易得D(3,0),設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x 1)(x 3).把 A(0,3)代入 y=a(x - 1)(x 3),得 3 = 3a,解得a= 1,，拋物線的解析式為y = x2-4x+3;(2)由題意知 P(m,m24m+ 3).。呼分/AOB/AOB= 90° , ./AOEf 45° ,AO既等腰直角三角形，AE= OA= 3,E(3,3).易得OE的解析式為y=x.過(guò)點(diǎn)P作PG/y軸，交OE于點(diǎn)G,則G(m,m),PG

12、= m (m2 4m+ 3) = R+ 5m 3.S 四邊形 AOPE= Saaoe|- Sapoe= 2*3X3+ PG。AE9.1、 ，2一 =2+2X( m + 5 m 3) x 33 215=-2m + ym當(dāng)m= 5時(shí)，四邊形AOPE勺面積最大，最大值是75. 28類型3二次函數(shù)與特殊三角形例3 (2018 棗莊中考改編)如圖，已知二次函數(shù)y=ax2 + |x + c(a W0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B,C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB,AC.(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A,N,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)

13、.【解析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可得出答案；(2)分別以A,C兩點(diǎn)為圓心，AC長(zhǎng)為半彳5畫弧，與x軸交于三個(gè)點(diǎn)，由AC的垂直平分線與 x軸交于一個(gè)點(diǎn)，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】解：(1)二.二次函數(shù)y=ax2+3x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)C(8,0),c= 4,64a + 12+ c=0,1r1a=,解得彳4£= 4,，二次函數(shù)的表達(dá)式為 y= - 4x2 +2x+ 4;2 2) -. A(0,4),C(8,0),AC= 42+ 82=4 5.以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半彳5作圓，交x軸于點(diǎn)N,則ANk AC,故4NAC是以NC為底邊的等腰三角形，此時(shí)N點(diǎn) 坐標(biāo)

14、為(8,0)；以點(diǎn)C為圓心，AC長(zhǎng)為半彳5作圓，交x軸于點(diǎn)N,則CN= CA,故4ACN是以NA為底邊的等腰三角形，此時(shí)N點(diǎn) 坐標(biāo)為(8 4",0)或(8 +4的,0);作AC的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)N,則NA= NC,故4ANC是以AC為底邊的等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)N為BC的中點(diǎn).令 y= - 4x2 +/x+4= 0，解得 xi= 8,x 2= - 2，此時(shí) N 點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）.綜上所述，點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)以點(diǎn)A,N,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一8,0),(8 4 書,0),(3,0) 或(8 + 44,0).針對(duì)訓(xùn)建33 .( 2018 蘭州中考)如圖，拋

15、物線 y=ax2+bx 4經(jīng)過(guò) A( - 3,0),B(5,4)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C,連接AB,AC,BC.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)求證：AB平分/ CAO(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得4ABM是以AB為直角邊.的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);1a = 6,9a 3b 4=0, g5a+5b-4=-4,若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)解：將A(-3,0),B(5,4)代入y=ax2+bx4,得解得I b=-也6拋物線的表達(dá)式為y = 6x2- 55x-4;(2)證明:AO= 3,OC=4,AC= 5.取 D(2,0),則 AD= AC= 5.由兩點(diǎn)間的距離公式可知BD=7

16、(5 2) 2+ ( 4 0) 2 =5. .(0, -4),B(5, -4),. BC= 5.AD= AC= BD= BC.，四邊形ACB虛菱形，/ CAB= / BAD 1 AB平分/ CAO 解：如圖，拋物線的對(duì)稱軸交 x軸與點(diǎn)E,交BC與點(diǎn)F, 過(guò)點(diǎn)A,B分別作 M ALAB,MB± AB,交對(duì)稱軸于點(diǎn) M ,M. 5拋物線的對(duì)稱軸為x = |,11 AE5_1A(-3,0),B(5,-4), .tan /EAB=萬(wàn).5. Z M AB= 90 , .tan /M AE= 2. . M E= 2AE= 11,，M 11 i： 2同理，tan /MBF= 2.p55又 BF=

17、-,FM= 5, M1 9 L22'綜上所述，拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn),5類型4二次函數(shù)與四邊形5 - 3 5M； 11 j或二一2 29j使得4ABM是以AB為直角邊的直角三角形例4 (2018 河南中考改編)如圖，拋物線y=ax2+6x + c交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,直線y=x5經(jīng) 過(guò)點(diǎn)B,C.(1)求拋物線的解析式；(2)過(guò)點(diǎn)A的直線交直線 BC于點(diǎn)M,當(dāng)AML BC時(shí)，過(guò)拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P(不與點(diǎn)B,C重合)，作直線AM的平行線 交直線BC于點(diǎn)Q,若以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；【解析】(1)利用直線BC的解 析式確定點(diǎn)B,C的坐標(biāo)，然后

18、利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；(2)先利用拋物線的解析式求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再判斷 OCB為等腰直角三角形，繼而得到/ OBC= / OCB= 45° ,則 AMB為等腰直角三.角形，進(jìn)而求出點(diǎn) M的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線BC的解析式設(shè)點(diǎn) P,Q的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，即可列出等式方程，解方程即可得到點(diǎn) P的橫坐標(biāo).【答案】解：(1)當(dāng)x=0時(shí),y =- 5,則C(0, -5).當(dāng) y = 0 時(shí),y =x-5= 0,解得 x=5，則 B(5,0).25a+30+c = 0,|c = - 5,，拋物線的解析式為把 B(5,0),C(0, 5)代入 y = ax2+ 6x+

19、 c,得a= - 1, 解得，c= - 5,. 2 .y = x + 6x 5;(2)令 y=- x2+6x5=0，解得 xi= 1,x2= 5,A(1,0).B(5,0),C(0, 5), / BAC= 90° ,. OC斯等腰直角三角形，. / OBC= / OCB= 45° 又AMLBC,.AM昉等腰直角三角形， .AM= -22AB= "22X4=2 .2.以點(diǎn)A,M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,AM/ PQ,. PQ= AM= 2/2,PQ± BC.作PDLx軸交直線 BC于點(diǎn)D,則/PDQ= 45 ° ,PD=/PQ=/X2

20、啦=4. 2設(shè) P(m,m+6m-5),則 D(m,m 5).當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC上方時(shí)，PD= - n2 + 6m- 5 (m 5)=R+5m= 4,解得 m= 1(舍去),m 2=4;當(dāng)點(diǎn) P在直線 BC下方時(shí),PD= m-5 ( n2+ 6m- 5) = n25m= 4,解得 ms="2,m4 = 2綜上所述，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4,5+®5 一的w 2針4.( 2018 濟(jì)寧中考改編)如圖，已知拋物線 y=ax2+bx + c(a W0)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3,0),B( 1,0),C(0, 3).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn) B,

21、C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在 ，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：(1)把A(3,0),B( 1,0),C(0, 3)代入y = ax2+bx+c,得§a + 3b+c=0, a= 1,1ab + c=0, 解得b= 2,1P= - 3,、c= - 3,，該拋物線的解析式為y=x22x3;(2)存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3,把 B(1,0)代入，得一k3=0,即 k=- 3,直線BC的解析式為y=- 3x-3.設(shè) Q(x,0),P(m,m 22m 3).當(dāng)四邊形BCQ函平行四邊形時(shí)，BC/PQ,且BC=

22、PQ.由B( 1,0),C(0, 3),得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3,即R 2m- 3= 3,解得m= 1 ± 巾，此時(shí) P(1 + 巾,3)或 P(1 (7,3);當(dāng)四邊形BCP©平行四邊形或四邊形是以BC為對(duì)角線的平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一3,即m2 2m- 3=3,解得 m= 0 或 m= 2,此時(shí) P(2, 3).綜上所述，存在以點(diǎn)B,C,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，P的坐標(biāo)為(1 +g,3)或(1 g,3),(2,-3).類型5二次函數(shù)與相似三角形例5 (2018 德州中考改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x1與拋物線y=-x2+bx + c交于A,B兩 點(diǎn)

23、，其中A(m,0),B(4,n),該拋物線與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于另一點(diǎn)D.(1)求m,n的值及該拋物線的解析式；(2)連接BD,CD,在線段CD上是否存在點(diǎn) Q,使得以A,D,Q為頂點(diǎn)的三角形與 ABD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)把點(diǎn)A,B的坐標(biāo)代入y=x- 1求出m與n的值，確定點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，然后代入y = x2+bx+c求出b與c的值即可；(2)由點(diǎn)C,D的坐標(biāo)易得直線 BC的解析式為y = x- 5,再由直線AB的解析式易得 AB/ CD,因此/ ADC= /BAD. 分類討論：當(dāng) DA。AABD或4DQ/4ABD時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求出D

24、Q的長(zhǎng)，即可求出點(diǎn) Q的坐標(biāo).【答案】解： 把點(diǎn)A(m,0),B(4,n) 代入y=x1，得m= 1,n = 3,.A(1,0),B(4,3).b = 6,c = 5,y= x2+ bx+ c 經(jīng)過(guò) A,B 兩點(diǎn)，-1 + b+c= 0, 解得16+4b+c=3,，該拋物線的解析式為y=x2+6x 5;(2)在線段CD上存在點(diǎn)Q,使得以A,D,Q為頂點(diǎn)的三角形與 ABD相似. 由 中結(jié)果可知 C(0, -5),D(5,0),直線CD的解析式為y=x5.又直線AB的解析式為y = x1, .AB/ CD, / BAD= Z ADC.設(shè) Q(x,x -5)(0 <x<5). AB AD

25、當(dāng) AAB中 ADAQ 時(shí)，=RQDA DQ即”=*解得DQ=臂, 4 DQ3由兩點(diǎn)間的距離公式，得(x-5)2+(x-5)2=警:，解得x = 7或x = !3(舍去),此日QJ -8)當(dāng)AB4DQA時(shí)，暮 AD= 1,即DQ= 3短 DQ DA,(x -5)2+(x -5)2= (3 啦)2,解得x= 2或x= 8(舍去),此時(shí)Q(2, 3).綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,一3, -3.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，直線AB與x軸相交于點(diǎn) M,與y軸相交于點(diǎn)E,拋物線與y軸相交于點(diǎn)F,在直線AB上有一點(diǎn)P,若/OP璃/MAF,求APOE的面積.解：把點(diǎn)B1-3, 2y=a5-2)22,

26、解得 a=1,拋物線的解析式為y =x-2j-2,(2)由中結(jié)果得A2, 2 ,F g -4 .設(shè)直線AB的解析式為_ 1 ,2=k+b,y= kx + b,由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，得I 2=-k+b,2k = 2解得,b=- 1直線AB的解析式為y=- 2x-1,OE= 1,FE = 3.4若/OPMh / MAF,則當(dāng) OP/ AF 時(shí)，OP& FAE,，OP= OE= g=4, FA FE 3 3444OP= 3FA=寸i 2C -少'-2 + 7 落.4 3設(shè)點(diǎn) P(t, -2t-1),則 OP=3之十 ( 2t 1) 2 =乎,3即(15t +2)(3t +2) = 0，解

27、得 ti=->,t 2=-|. 153 2一，一一 ，由對(duì)稱性知，當(dāng)11= 15時(shí)，也滿足/ OPMh / MAF,，t1,t 2的值都滿足條件.C1 一，一 5 POE= 2OE- |t| ,.當(dāng) t=一當(dāng)日,S*- 1X1X ：2=：； 15215 15當(dāng) t =一日時(shí),S AOP1 X | = .323 3綜上所述， POEM積為 1或1.15 3畢節(jié)中考專題過(guò)關(guān)1.( 2018-自貢中考改編)如圖，拋物線y=ax2+bx 3過(guò)A(1,0),B( 3,0)兩點(diǎn)，直線AD交拋物線于點(diǎn) D,點(diǎn)D 的橫坐標(biāo)為一2,點(diǎn)P(m,n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn).DQ(1)求直線AD及拋物線的解析式；(

28、2)過(guò)點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn) Q,求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)?a= 1,=b=2,y = x2+ 2x- 3.解：把(1,0),( -3,0)代入 y=ax2+bx3,得a + b 3= 0,; c c解得 9a 3 b 3 0,.拋物線的解析式為當(dāng) x= 2 時(shí),y = ( 2)2+2X ( 2) 3= 3, 即 D(2, 3).設(shè)直線AD的解析式為y=kx + b'.k=1,卜=-1,將 A(1,0),D( -2, 3)代入，得k+ b' =°，丘/口Cl ，c解得2k+b = 3,直線AD的解析式為y=x1；(2)由(1)可

29、得 P(m,m 1),Q(m,m 2+2m- 3), . l = (m 1) (m + 2m- 3),2即 l = m m+ 2(2wmc 1),配方，得l =1 2 92尸4,，1 . 一當(dāng)m= - 2日,PQ最長(zhǎng).2.( 2018 荷澤中考改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y = ax2+bx 5交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B(5,0)和點(diǎn) C(1,0).(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn) 標(biāo)和4ABP的最大面積.解：(1) ,拋物線 y= ax2+bx5交y軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí),ABP的面積最大,A,交x軸于點(diǎn)B(5,0)和點(diǎn)C(1,0),求出

30、此時(shí)點(diǎn)P的坐25a5b 5= 0, a+b-5= 0,a= 1, 解得*b= 4,，該拋物線的解析式為y=x2+4x5;(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(p,p 2+4p5),如圖.由點(diǎn) A(0, 5),B(當(dāng) x = p 時(shí),y = p 5.,.OB= 5,2 .Q (p5) (p+4P5) S>A ABF= 2 ' J55 2 25一2收卜了點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)5V p<0,5當(dāng)p=日ts取得最大值，.125此時(shí)S= 一r，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 852'357,即當(dāng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為535 .1252， "4時(shí)，ABP的面積最大，此時(shí)ABP的面積是 3.( 201

31、8 泰安中考改編)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y = ax2+ bx+c交x軸于點(diǎn) 交y軸于點(diǎn)C(0,6),在y軸上有一點(diǎn) E(0, -2),連接AE.A(-4,0),B(2,0),(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使4AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.34,解：(1) .二次函 數(shù) y=ax2+ bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A( 4,0),B(2,0),C(0,6),p6a-4b+c=0, 4a+2b+c=0,解得 b=lc= 6,，二次函數(shù)的表達(dá)式為y = - 4x2 |x+ 6;(2)在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P,使4AEP為等腰三角

32、形.拋物線 y= 4x2|x+6 的對(duì)稱軸為 x=1,.設(shè) P(-1,n).又.舊0, 2),A( 4,0),PA=m十:,PE=( n+2) 2,AE= 16+4 = 2或.當(dāng) PA= PE時(shí)，9T孑=，1 + (n+2) 2,解得n= 1,此日中P( 1,1)；當(dāng) PA= AE時(shí),9+n2 =2a/5,解得 n= ±，11,此時(shí) P( 1, ±/11);當(dāng) PE= AE時(shí),，1+ ( n+2) 2 =25,解得 n=-2± Ji9,此時(shí) P( 1, -2± 中9).綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一1,1),( -1, ±/)或(一1, 2

33、7;S9).4.( 2018 上海中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線 y=gx'+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn) A( 1,0)和點(diǎn)頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90。，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處.(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)求線段CD的長(zhǎng)；(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)C移到原點(diǎn)O的位置，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，如果點(diǎn)M在y軸上，且以O(shè),D,E,M 為頂點(diǎn)的四邊形面積為 8,求點(diǎn)M的坐標(biāo).解：把 A( 1,0),B F，2 代入 y=gxbx+c,得'b=2,5 c= 2,解得 5、c=2' 125，這條拋物線的表達(dá)式為y

34、=-x+2x+2；(2) - y=- 1(x -2)2+9,.Cj2, 2 j拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.如圖，設(shè) CD= t,則 D?, 9-t .由題意，得/PDC= 90° ,DP=DC= t,c ，9，. .P? + t, 2-t )把 P? + t, 2-1 代入 y = 2x2+2x+2，可得t1=0(舍去),t 2=2.線段CD的長(zhǎng)為2;(3)由(2)易知 P4, 2 jD?, 2 ；，平移后,E點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 2).L/15設(shè) M(0,m),則2 1m|+2+2 I 2=8,7 m= ±2,，點(diǎn)M的坐標(biāo)為°,一b-3/，拋物線的解析式為y = 2x2-33x；(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為x,I*? 3V3x .5.( 2018 綿陽(yáng)中考