函數(shù)模型及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)與題型歸納

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第十節(jié)二函型及其應(yīng)用高考明方向1 .了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的增長(zhǎng)特征 ，結(jié)合具 體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類 型增長(zhǎng)的含義.2 . 了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函 數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用.備考知考情1 .利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題及建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn) 題，是高考命題的熱點(diǎn).2 .常與函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值以及基本不等式、導(dǎo)數(shù) 的應(yīng)用交匯命題，考查建模能力及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的 能力.3 .選擇題、填空題、解答題三種題型都有考查，但以解答 題為主.一、知識(shí)梳理名師一號(hào)P35知識(shí)點(diǎn)一幾類函數(shù)模型函數(shù)解析式文檔

2、一次函數(shù) 模型f(x)=ax+b(a, b 為常數(shù)，aw0)二次函數(shù) 模型f (x) =ax+bx + c(a, b, c 為常數(shù)，aw0)指數(shù)型函 數(shù)模型f (x) =bax+c(a, b, c 為常數(shù)，a>0,且 awl)對(duì)數(shù)型函 數(shù)模型f(x) = blog ax + c(a , b, c 為常數(shù)，a>0,且 a*1)幕函數(shù)型 函數(shù)模型f(x) = ax + b(a , b 為常數(shù)，aw 0)知識(shí)點(diǎn)二三種增長(zhǎng)型函數(shù)之間增長(zhǎng)速度的比較1 .指數(shù)函數(shù)y = ax(a>1)與幕函數(shù)y = xn(n>0)：在區(qū)間(0 , +00)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的 一定范圍

3、內(nèi)ax會(huì)小于xn,但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)， 因而總存在一個(gè)xo,當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>xn.2.對(duì)數(shù)函數(shù)y = log ax(a> 1)與幕函數(shù)y = xn(n>0)：對(duì)數(shù)函數(shù)y= log ax(a>1)的增長(zhǎng)速度，不論a與n值 的大小如何，總會(huì) 慢于y=xn的增長(zhǎng)速度，因而在定義域內(nèi) 總存在一個(gè)實(shí)數(shù)xo,當(dāng)x>xo時(shí)，有l(wèi)og ax<xn由1、2可以看出三種增長(zhǎng)型的函數(shù)盡管均為增函數(shù)， 但它們的增長(zhǎng)速度不同，且不在同一個(gè)檔次上，因此在(0,+ 00)上，總會(huì)存在一個(gè)xo,當(dāng)x>x0時(shí)，有ax>xn>log ax.注意：名師一

4、號(hào)P36問(wèn)題探究問(wèn)題1、2問(wèn)題1解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟是什么？(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系, 初步選擇數(shù)學(xué)模型；建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn) 化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)， 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.以上過(guò)程用框圖表示如下：?jiǎn)栴}2在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意哪些易錯(cuò)的問(wèn)題？(1)函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見(jiàn)的解題錯(cuò)誤.所以，要理解 題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型. 要特別關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的自變量的取值范圍，合理確定函 數(shù)的定義域.(3)注意問(wèn)題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué) 解對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.二、

5、例題分析：(一)三種函數(shù)模型增長(zhǎng)速度的比較例1.名師一號(hào)P36對(duì)點(diǎn)自測(cè)5、65.判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打或“X”)(1)函數(shù)=2x的函數(shù)值比y = x2的函數(shù)值大.()(2)幕函數(shù)增長(zhǎng)比直線增長(zhǎng)更快.()(3)不存在 xo,使 ax0<x0<log aXo.()(4)f(x)=x2, g(x) =2X、h(x) = log2X,當(dāng) x C (4 , + 00)時(shí)，包有 h(x)< f (x)< g(x).()答案(1) X (2) X(3) X (4) V思考：如何證明：任意x (4 , +00) , x2<2x，|!成立。6.在某種新型材料的研制中，實(shí)

6、驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí) 驗(yàn)數(shù)據(jù).現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些 數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是( )x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y=2x B , y=log2x C . y=(x21) D . y=2.61cosx解析由表格知當(dāng)x = 3時(shí)，y=1.59,而A中y=23 =128,不合要求，B 中 y=log 23C (1,2)接近，C 中 y = (3 1)=4,不合要求，D中y=2.61cos3<0 ,不合要求，故選 B.(二)函數(shù)模型應(yīng)用題 例1.名師一號(hào)P36對(duì)點(diǎn)自測(cè)11.一根蠟燭長(zhǎng)20 cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃

7、燒 5 cm,燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的()解析由題意知h= 20- 5t (0<t <4),故選B.例2.名師一號(hào)P36高頻考點(diǎn)例1(2014 武漢調(diào)研)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù) f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為：Mf(x)=f(x+1)f(x).某公司每月生產(chǎn)x 臺(tái)某種產(chǎn)品的收入為R(x)元，成本為C(x)元，且R(x)=3 000x-20x P(x) = 20 x-125 2+74 125 , 22 )當(dāng)x=62或x = 63時(shí)，P(x)取得最大值74 120元；因?yàn)镸Px)=2 480 40x是減函數(shù)，所以當(dāng)x=1時(shí)，MPx)取得最大

8、值2 440元.故利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差為71 680元., C(x) =500x + 4 000(x N*),現(xiàn)已知該公司每 月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過(guò)100臺(tái).(1)求禾I潤(rùn)函數(shù)P(x)以及它的邊際利潤(rùn)函數(shù) MPx);(2)求利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差.解析：(1)由題意，得x C 1,100,且xCN*.P(x) =R(x) C(x) =(3 000 x-20x2) -(500x+4 000) 2= 20x2+2 500x-4 000 ,MPx) = P(x+1) P(x)=-20(x+ 1)2+2 500( x+1) -4 000 2 (20x2+ 2 50

9、0x-4 000) =2 48040x.注意：名師一號(hào)P36高頻考點(diǎn) 例1規(guī)律方法二次函數(shù)是我們比較熟悉的基本函數(shù)，建立二次函數(shù) 模型可以求出函數(shù)的最值，解決實(shí)際中的最優(yōu)化問(wèn)題，值得注意的是：一定要注意自變量的取值范圍 ，根據(jù)圖象的對(duì)稱軸與定義域在數(shù)軸上表示的區(qū)間之間 的位置關(guān)系討論求解.例3.名師一號(hào)P36高頻考點(diǎn) 例2一片森林原來(lái)面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年 砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半 時(shí)，所用時(shí) 問(wèn)是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積 的4，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的一.(i)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解

10、析：1(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0<x<1),則a(1 x) =2 a,1即(1 x)1°=1，解得 x=12) 10 .(2)設(shè)經(jīng)過(guò)m年剩余面積為原來(lái)的彳，則 a(1 -x) m= *a,即1 101 2 m 1q = 2j , n=2,解得 m= 5,故到今年為止，該森林已砍伐了 5年.注意：名師一號(hào)P37高頻考點(diǎn) 例2規(guī)律方法(1)指數(shù)函數(shù)模型常與增長(zhǎng)率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問(wèn) 題中有人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)問(wèn)題 可以利 用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)表示.應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模 型將有關(guān)已知數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模 型.y

11、= a(1 +x) n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解 .例4.名師一號(hào)P37高頻考點(diǎn) 例3某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)2015年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)，11 1的和p(x)(單包：萬(wàn)人)與x的關(guān)系近似地酒足p(x)=,x(x+ 1)(39 2x)( x e N*,且x<12),已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位：元)與x的近似關(guān)系是q(x) =35且.且7工工<12)一(1)寫(xiě)出2015年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試問(wèn)2015年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大，最大月旅游消費(fèi)總額為多少元？解析：(1)當(dāng) x=1 時(shí)，f(1) =p(1) =37,當(dāng) 2&

12、amp;x& 12,且 xC 2時(shí)，f (x) =p(x) -p(x-1)=，(x+ 1)(39 2x) 2(x1)x(41 -2x)=3x2 +40x,驗(yàn)證x= 1也滿足此式，所以 f(x) = 3x2+ 40x(x M,且 10x012).(2)第x個(gè)月旅游消費(fèi)總額為g(x)=實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(-3x2+40x)(35 - 2yX-t£ N：且 1 冠工這6),(-3.V+40X)(xeN，1 且 7WrW12),-即 g(x)=,6f 185f+1 400x(xGN*,且IWxSG), |-480x+6 400(xeN 且7WxS12).當(dāng)10X&6,且x N*時(shí)，

13、g' (x) =18x2370X+1 400,令 g' (x) =0,解彳4x = 5或x=0(舍去).9當(dāng) 10x<5 時(shí)，g' (x)>0,當(dāng) 5<x06 時(shí)，g' (x)<0, 當(dāng) x = 5 時(shí)，g(x)max= g(5) =3 125(萬(wàn)元).當(dāng)70x&12,且xC N時(shí)，g(x)= 480x + 6 400 是減函數(shù)，當(dāng) x = 7 時(shí)，g(x)max= g(7) =3 040(萬(wàn)元).綜上，2015年5月份的旅游消費(fèi)總額最大，最大旅游 消費(fèi)總額為3 125萬(wàn)元.注意：名師一號(hào)P37高頻考點(diǎn) 例3規(guī)律方法(1)很多實(shí)際

14、問(wèn)題中，變量間的關(guān)系不能用一個(gè)關(guān)系式 給出，這時(shí)就需要構(gòu)建分段函數(shù)模型， 如出租車的票價(jià)與路程的函數(shù)就是分段函數(shù).(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào) 性等方法.在求分段函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先求每一段上的最 文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案值，然后比較得最大值、最小值.練習(xí)：溫故知新P32第6題某輛汽車購(gòu)買(mǎi)時(shí)的費(fèi)用是15萬(wàn)元，每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)、 路橋費(fèi)、汽油費(fèi)等約為1.5萬(wàn)元，年維修保養(yǎng)費(fèi)用第一年 3000元，以后逐年遞增3000元，則這輛汽車報(bào)廢的最佳年 限（即年平均費(fèi)用最少）是答案：10年函數(shù)模型應(yīng)用題專項(xiàng)突破從近三年的高考試題來(lái)看，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn) 題是高考的熱點(diǎn)，題型主要以解答題為主，難度中等偏高, 常與導(dǎo)數(shù)、最值交匯，主要考查建模能力，同時(shí)考查分析 問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【典例】 某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池（不 計(jì)厚度）.設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積 為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米, 該蓄水池的總建造成本為12 000冗元(冗為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)