高三數(shù)學第一輪復習 和角公式 倍角公式和半角公式 新人教B版

1、名師伴你行名師伴你行名師伴你行兩角和與差兩角和與差的正弦、余的正弦、余弦和正切公弦和正切公式式(1)(1)會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式余弦公式. . (2)(2)會用兩角差的余弦公式推導出兩角會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式差的正弦、正切公式. .(3)(3)會用兩角差的余弦公式推導出兩角會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系的內(nèi)在聯(lián)系. .名師伴你行 在選擇題、填空題以及解答題中出現(xiàn)最多的題型在選擇題、填空題

2、以及解答題中出現(xiàn)最多的題型就是三角求值問題就是三角求值問題.解答這類題目需要重視應用三角公解答這類題目需要重視應用三角公式對三角式進行變換，需要有熟練的恒等變形能力，式對三角式進行變換，需要有熟練的恒等變形能力，故求值題仍將是今后命題的重點內(nèi)容故求值題仍將是今后命題的重點內(nèi)容.1.cos(-)=coscos+sinsin(C(-) cos(+)= (C (+) ) sin(-)=sincos-cossin(S (-) ) sin(+)= (S (+) ) tan(-)= (T (-) ) tan(+)= (T (+) ) t ta an nt ta an n1 1t ta an n- -t t

3、a an n tantantantan- -1 1tantantantan coscos-sinsin sincos+cossin 名師伴你行 前面前面4個公式對任意的個公式對任意的,都成立都成立,而后面兩個公式成而后面兩個公式成立的條件是立的條件是k+ ,k+ ,kZ,且且+k+ (T(+)需滿足需滿足),-k+ (T(-)需滿足需滿足)kZ時成立時成立,否否則是不成立的則是不成立的.當當tan,tan或或tan()的值不存在時的值不存在時,不不能使用公式能使用公式T ()處理有關問題處理有關問題,應改用誘導公式或其它方應改用誘導公式或其它方法求解法求解. 2.要辨證地看待和角與差角要辨證地

4、看待和角與差角,根據(jù)需要根據(jù)需要,可以進行適當可以進行適當?shù)淖儞Q的變換: =(+)-,=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-)等等.2 2 2 2 名師伴你行3.二倍角公式二倍角公式sin2= ;cos2= = = ;tan2= .4.半角公式半角公式sin = ;cos = ;tan = .2sincos cos2-sin2 2cos2-1 1-2sin2 tan2tan2- -1 12tan2tan2 2a a2 2a a2 2a a2 2coscos- -1 12 2coscos+ +1 1coscos+ +1 1coscos- -1 1名師伴你行 5.函數(shù)函數(shù)f()=acos

5、+bsin(a,b為常數(shù)為常數(shù)),可以化為可以化為f()= 或或f()= ,其中其中 可由可由a,b的值唯一確定的值唯一確定.) )sin(sin(b ba a2 22 2 ) )c co os s( (b ba a2 22 2 名師伴你行注意角之間的關系注意角之間的關系,切化弦切化弦,從題設代數(shù)式從題設代數(shù)式聯(lián)系與三角函數(shù)公式結(jié)構(gòu)的差異聯(lián)系與三角函數(shù)公式結(jié)構(gòu)的差異,尋找解題思路尋找解題思路,同時將同時將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或通過約分消掉非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或通過約分消掉.求求2sin50+sin10(1+ tan10)的值的值.3o o2 28 80 02 2s si in n名師伴你行原式

6、原式= 2sin50+sin10(1+ ) sin80=(2sin50+sin10 ) sin80=(2sin50+2sin10 ) cos10=(2sin50+ ) cos10= 2cos10=2 sin60=2 = . c co os s1 10 0s si in n1 10 03 3o oo o2 2 c co os s1 10 0s si in n1 10 03 3c co os s1 10 0o oo oo o2 22 2 c co os s1 10 0s si in n1 10 03 3c co os s1 10 02 21 1o oo oo o2 c co os s1 10 0s

7、 si in n4 40 02 2s si in n1 10 0o oo oo o2 2 c co os s1 10 02 2s si in n6 60 0o oo o2 22 223 36 6名師伴你行對于給角求值問題對于給角求值問題,往往所給角都是非特殊角往往所給角都是非特殊角,解決解決這類問題的基本思路有這類問題的基本思路有: (1)化為特殊角的三角函數(shù)值化為特殊角的三角函數(shù)值; (2)化為正、負相消的項，消去求值；化為正、負相消的項，消去求值； (3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進行約分求值. 名師伴你行求下列各式的值求下列各式的值:（1） ;（2）sin8

8、sin8sin15sin15- -cos7cos7 sin8sin8cos15cos15sin7sin7 +. .c co os s5 55 5c co os s5 50 0c co os s4 40 0c co os s3 35 5) )t ta an n1 10 03 3( (1 1c co os s1 10 02 2s si in n5 50 0+名師伴你行3230tan130tan1)3045tan(15tancos8cos15 cos8sin15sin8sin15sin8sin15cos8cos15 sin8cos15sin8cos15cos8sin15sin8sin15- )8-c

9、os(15 sin8cos15)8-sin(15 -(1)原式原式 名師伴你行. .2 22 25 5c co os s5 5c co os s2 22 25 5c co os s9 95 5s si in n2 22 2c co os s5 5) )2 22 25 50 0c co os s2 22 25 50 0( (s si in n2 22 2c co os s5 55 50 0c co os s2 22 2s si in n5 50 0c co os s5 5) )2 23 31 10 0s si in n2 21 11 10 0( (c co os s2 22 2s si in n

10、5 50 0) )3 35 5c co os s( (4 40 0s si in n1 10 03 3c co os s1 10 02 2s si in n5 50 0s si in n4 40 0s si in n3 35 5c co os s4 40 0c co os s3 35 5) )c co os s1 10 0s si in n1 10 03 3( (1 1c co os s1 10 02 2s si in n5 50 0=+=+=+=+=+=-（2）原式）原式 名師伴你行已知已知tan=- ,cos= ,(0,).(1)求求tan(+)的值；的值；(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)= s

11、in(x-)+cos(x+）的最大值）的最大值.55312名師伴你行 【分析】【分析】 (1)先求出先求出tan的值的值,再求再求tan(+)的值的值.(2)求出求出,的正、余弦，再展開化簡的正、余弦，再展開化簡. 【解析】【解析】 (1)由由cos= ,=(0,),得得sin= ,tan=2,所以所以tan(+)= =1.(2)因為因為tan=- ,(0,),所以所以sin= ,cos=- ,f(x)=- sinx- cosx+ cosx- sinx=- sinx.所以所以f(x)的最大值為的最大值為 .55315 tantan-1tantan55210110355355555525對于給值

12、求值問題對于給值求值問題,即由給出的某些角的三角函數(shù)即由給出的某些角的三角函數(shù)的值的值 , 求另外一些角的三角函數(shù)值求另外一些角的三角函數(shù)值,關鍵在于關鍵在于“變角變角”，使使“所求角所求角”變?yōu)樽優(yōu)椤耙阎且阎恰?，若角所在象限沒有確定，若角所在象限沒有確定，則應分類討論則應分類討論.應注意公式的靈活運用應注意公式的靈活運用,掌握其結(jié)構(gòu)特征掌握其結(jié)構(gòu)特征,還要會拆角、拼角等技巧還要會拆角、拼角等技巧.已知已知為第二象限角為第二象限角,sin= ,為第一象限角為第一象限角,cos= ,求求tan(2-)的值的值.13553名師伴你行 【解析】【解析】解法一解法一: ,為第二象限角為第二象限角,

13、sin= ,cos= ,tan= .tan2= .為第一象限角為第一象限角,cos= ,sin= ,tan= ,tan(2-)= . tan2tan1tan2tan)2tan(5354sin12 43cossin 724tan1tan22 1351312cos12 5122532045127241512724名師伴你行解法二：解法二：為第二象限角，為第二象限角，sin= ,cos= .為第一象限，為第一象限，cos= ,sin= .故故sin2=2sincos= ,cos2=1-2sin2= ,sin(2-)=sin2cos-cos2sin=- ,cos(2-)=cos2cos+sin2sin

14、=- ,tan(2-)= .13554sin-12 1312cos-12 532524257325253325204253204)-cos(2)-sin(2 若若sin= ,sin= ,且且,為銳角為銳角,求求+的值的值.欲求欲求+,先求先求+的一個三角函數(shù)值的一個三角函數(shù)值,再再由由,的范圍確定出的范圍確定出+的值的值.551010,為銳角為銳角,且且sin= ,sin = , cos= ,cos= . cos(+)=coscos-sinsin= . 又又,均為銳角均為銳角,0+,+= .55101055210103224 名師伴你行 (1)通過求角的某種三角函數(shù)值來求角通過求角的某種三角函

15、數(shù)值來求角,在選取函數(shù)在選取函數(shù)時時,可遵照下列原則可遵照下列原則: 已知正切函數(shù)值已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù)選正切函數(shù); 已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是的范圍是(0， )，選正、余弦皆可；若角的范圍是（，選正、余弦皆可；若角的范圍是（0，），選余弦較好；若角的范圍是），選余弦較好；若角的范圍是( )，選正弦，選正弦較好較好. (2)解這類問題的一般步驟為解這類問題的一般步驟為: 求角的某一個三角函數(shù)值求角的某一個三角函數(shù)值; 確定角的范圍確定角的范圍; 根據(jù)角的范圍寫出所求的角根據(jù)角的范圍寫出所求的角. 2 2,2 名師伴你行已知已知0 ,0 ,且且3sin=sin(2+),4tan =1-tan2 ,求求+的