泛函分析整理筆記

1、.用w日魚方 四卷t峭 如啪殿醯£避誨 I , ， i , 一 n 4* i i/多N/4人學(xué)泛函分析讀書筆記課程題目：泛函分析任課教師：高云蘭博士學(xué)生姓名：崔繼峰學(xué)生學(xué)號：200810582008年12月10日泛函分析讀書筆記Reading Notes about Functional Analysis崔繼峰所謂的泛函呢，就是一般函數(shù)，泛函分析當(dāng)然就是一般函數(shù)的分析研究。在學(xué)習(xí)泛函之前，需要有扎實的實變函數(shù)知識。大學(xué)期間，曾用半年時間學(xué)過由南開大學(xué)劉炳初教授編著，科學(xué)出版社出版的泛函分析，講課的是哈爾濱工業(yè)大學(xué)的包革軍教授，他講泛函的最大特點是把泛函與幾何圖形有機(jī)結(jié)合，把艱深的純理

2、論講的惟妙惟肖。在進(jìn)入研究生學(xué)習(xí)階段，泛函分析作為計算數(shù)學(xué)研究生的基礎(chǔ)理論課程，是必選的。我們選用的教材是由武漢大學(xué)劉培德教授主編，武漢大學(xué)出版社出版的泛函分析（第二版），該教材是面向本科生的， 系里之所以考慮選擇此教材，是由于考慮到有些學(xué)生在本科階段沒有或者很粗淺的認(rèn)識了泛函分析這門課程，主講該課程的是高云蘭博士，她的方向就是算子方面的研究，所以講解該課程那是輕車熟路了。課時大約是48 學(xué)時（粗略估計）。由于以下兩方面的原因：1）對于泛函分析認(rèn)識很粗淺；2）第一次寫讀書筆記（尤其是專業(yè)課類），不知道如何從略。所以讀書筆記可能從在諸多問題，希望老師見諒！下面我從幾個方面寫本學(xué)期學(xué)習(xí)泛函分析的感

3、受和認(rèn)識。我本著這樣態(tài)度寫該筆記：1）了解泛函是什么，泛函的發(fā)展（很多教材把這個從略）2）把空間的理論知識系統(tǒng)學(xué)習(xí)，對于其他理論的學(xué)習(xí)作拋磚引玉之用。3）學(xué)習(xí)泛函的實際作用（也就是附錄里的濾波器理論的應(yīng)用）。泛函分析是研究拓?fù)渚€性空間到拓?fù)渚€性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù)條件的映射的分支學(xué)科。它是20 世紀(jì) 30 年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、 函數(shù)論以及量子物理等的研究中發(fā)展起來的，它運用幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)的觀點和方法研究分析學(xué)的課題，可看作無限維的分析學(xué)。一、泛函分析的產(chǎn)生十九世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個新的階段。這就是，由于對歐幾里德第五公設(shè)的研究，引出了非歐幾何這門新的學(xué)科；對

4、于代數(shù)方程求解的一般思考， 最后建立并發(fā)展了群論；對數(shù)學(xué)分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統(tǒng)一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準(zhǔn)備了條件。本世紀(jì)初，瑞典數(shù)學(xué)家弗列特荷姆和法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪發(fā)表的著作中，出現(xiàn)了把分析學(xué)一般化的萌芽。隨后，希爾伯特和海令哲來創(chuàng)了“希爾伯特空間”的研究。 到了二十年代，在數(shù)學(xué)界已經(jīng)逐漸形成了一般分析學(xué)，也就是泛函分析的基本概念。由于分析學(xué)中許多新部門的形成，揭示出分析、代數(shù)、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如， 代數(shù)方程求根和微分方程求解都可以應(yīng)用逐次逼近法， 并且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現(xiàn)得就更為突出了。泛函

5、分析的產(chǎn)生正是和這種情況有關(guān)，有些乍看起來很不相干的東西， 都存在著類似的地方。因此它啟發(fā)人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬于本質(zhì)的東西。非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認(rèn)知，n 維空間幾何的產(chǎn)生允許我們把多變函數(shù)用幾何學(xué)的語言解釋成多維空間的影響。這樣， 就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進(jìn)一步推廣，以至最后把歐氏空間擴(kuò)充成無窮維數(shù)的空間。這時候，函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個數(shù)集之間所建立的一種對應(yīng)關(guān)系。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應(yīng)關(guān)系。這里我們先介紹一下算子的概念。算

6、子也叫算符，在數(shù)學(xué)上，把無限維空間到無限維空間的變換叫做算子。研究無限維線性空間上的泛函數(shù)和算子理論，就產(chǎn)生了一門新的分析數(shù)學(xué)，叫做泛函分析。在二十世紀(jì)三十年代，泛函分析就已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一門獨立的學(xué)科了。二、泛函分析的特點和內(nèi)容泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如， 不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間 ”的點或矢量， 這樣最后得到了“抽象空間 ”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數(shù)空間。泛函分析對于研究現(xiàn)代物理學(xué)是一個有力的工具。n 維空間可以用來描述具有 n 個自由度的力學(xué)系統(tǒng)的運動，實際上需要有新的數(shù)學(xué)

7、工具來描述具有無窮多自由度的力學(xué)系統(tǒng)。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學(xué)系統(tǒng)的例子。一般來說， 從質(zhì)點力學(xué)過渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無窮自由度系統(tǒng)?，F(xiàn)代物理學(xué)中的量子場理論就屬于無窮自由度系統(tǒng)。正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求n 維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)作為工具一樣， 研究無窮自由度的系統(tǒng)需要無窮維空間的幾何學(xué)和分析學(xué)，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。因襲， 泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學(xué)科中。泛函分析是分析數(shù)學(xué)中最“年輕 ”的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函數(shù)論、幾

8、何和代數(shù)的觀點研究無窮維向量空間上的函數(shù)、算子、 和極限理論。他在二十世紀(jì)四十到五十年代就已經(jīng)成為一門理論完備、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科了。半個多世紀(jì)來，泛函分析一方面以其他眾多學(xué)科所提供的素材來提取自己研究的對象，和某些研究手段，并形成了自己的許多重要分支，例如算子譜理論、巴拿赫代數(shù)、拓?fù)渚€性空間理論、廣義函數(shù)論等等；另一方面，它也強(qiáng)有力地推動著其他不少分析學(xué)科的發(fā)展。它在微分方程、概率論、 函數(shù)論、 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理、計算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，還是建立群上調(diào)和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的工具之一。今天， 它的觀點和方法已經(jīng)滲入到不

9、少工程技術(shù)性的學(xué)科之中，已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計算數(shù)學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。近十幾年來，泛函分析在工程技術(shù)方面有獲得更為有效的應(yīng)用。它還滲透到數(shù)學(xué)內(nèi)部的各個分支中去，起著重要的作用。三、 泛函分析空間知識認(rèn)識泛函中存在諸多空間，這里對于幾個重要的空間予以認(rèn)識。1. 度量空間我們在作物理、化學(xué)、生物等實驗時，通過觀察會得到很多值，但總是近似的， 這時自然要考慮近似值與準(zhǔn)確值的接近程度，反映在數(shù)學(xué)上這是一個極限問題。數(shù)學(xué)分析中定義R中點列Xn的極限是X時，我們是用|Xn X|來表示4和X的接近程度，事實上，| xn x | 可表示為數(shù)軸

10、上xn 和 x 這兩點間的距離，那么實數(shù)集R中點列Xn收斂于X也就是指Xn和X之間的距離隨著n 而趨于0,即lim d(Xn,X) 0。于是人們就想，在一般的點集X 中如果也有“距離 ”，那么在點集X 中也可借這一距離來定義極限，而究竟什么是距離呢？1.1 度量空間的定義Definition 1.1 設(shè) X 為 一 非 空 集 合。 若 存 在二元 函 數(shù) d : X X R， 使 得X, y, z X ，均滿足以下三個條件：(1) d(X,y) 0,且 d(X,y) 0 x y (非負(fù)性)(2) d(x,y) d(y,x)(對稱性)(3) d(x,z) d(x,y) d(y,z)(三角不等式

11、)，則稱d為X上的一個距離函數(shù)，(X,d )為度量空間或距離空間，d(x,y)為x,y兩 點間的距離。Notes：若(X,d )為度量空間，Y是X的一個非空子集，則(Y,d )也是一個度量空間，稱為(X, d )的子空間。我們可以驗證：歐式空間Rn， 離散度量空間，連續(xù)函數(shù)空間Ca,b ，有界數(shù)列空間l , p次幕可和的數(shù)列空間lp, p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b(p 1),均滿足距離空間的性質(zhì)。Appendix : p次幕可積函數(shù)空間Lpa,b(p 1)介紹Lpa,b f(t) 11f (t) 1P在a, b上L可積，在Lpa,b中，我們把幾乎處處相等的函數(shù)視為同一函數(shù)。Lpa,b有下列重要

12、性質(zhì)：( 1)對線性運算是封閉的。即若f,g Lpa,b ，則f Lpa,b, f g Lpa,b,其中是常數(shù)。 2) 2) Lpa,b La,b(p 1)。設(shè) f Lpa,b,令 A E(| f | 1) , B E(| f | 1), E a,b,則 bal f dm Al f dm Bl f dmAl f 1Pdm (b a) A b pl f l dm (b a)a 故 f L(a,b) o 3) f,g Lpa,b,定義1 bp"pdp( f ,g) al f (t) g(t) | dm(2.6)則dp是一個距離函數(shù)。稱(Lpa,b,dp)為p次幕可積函數(shù)空間，簡記為Lpa

13、,b。 1.2度量空間有重要的定理Theory 1 對度量空間(X,d)有(1)任意個開集的并集是開集；有限個開集的交集是開集； (2)任意個閉集的交集是閉集；有限個閉集的并集是閉集；(3) X與既是開集又是閉集.Theory 2設(shè)(X,d)是度量空間，x° X, E X，則x0是E的聚點的充要條件是存在 E 中點列 Xn (Xn Xo)，使 d(Xn ,Xo)0(n).Theory 3設(shè)(X, d)是度量空間，E X,x E ,則下面的三個陳述是等價的：(1) x E ;(2) x的任一鄰域中都有E的點；(3)有點列 xn E，使 d(Xn,x0)0(n).Theory 4設(shè)(X,

14、d)是度量空間，E是X的非空子集，則E為閉集的充要條件是E E.要比較透徹的研究度量空間，不得不提到一下內(nèi)容：2.映射的連續(xù)與一致連續(xù)性Definition 2.1 設(shè)X, Y是距離空間，f是X到Y(jié)的一個映射。x° X如果對任何 0,存在 0當(dāng)(x, x0)時，有(fx, fx0)則稱f在x0連續(xù)。又若f在X中每一點都有連續(xù)，則稱 f是X上的連續(xù)映射。若對任何0,存在()0 ,只要 X1, X2 X ,且 d(x1,X2),就有(f(x1)，f (X2)成立，則稱f在X上一致連續(xù)。Example 1(x,Xo)是距離空間X上的連續(xù)函數(shù)，其中xo是X的一周定點。proof:任取x X。

15、因為對x X ,(X,Xo)(x,xo)(x,x )(x,xo)(x,xo)(x,xo)(x ,x)(x, xo)(x,xo) = (x,x) (x,xo)= (x ,x)所以(x,xo)(x ,xo)(x ,x).于是任給0 ,只要取，當(dāng)(x, x ) 時，就有(x,x0)(x ,x0)因此，(x, x0)是X上的連續(xù)函數(shù)Theory 2.1設(shè)(X,d), (Y,)是距離空間，f : XY,x° X ,則下列各命題等價。(1) f在x0連續(xù)；(2)對于fx°的任一鄰域B(Tx0,),都存在x0的一個鄰域B(x0,)使得f B(x0, )B(Tx0,);(3 )對于X 中的

16、任意點列xn,若xnx0(n),則f(xn)f(xO)(n)。proof: (1)(2):由f在x。連續(xù)的定義知，任給 0,存在 0,當(dāng)(x,x0)時有 (fx, fx。).注意(x, x。)即 x B(x。，)，而(fx, fx。)即Tx B(Tx。，)。所以 f(B(x。，) B(Tx。，)。(2) (3):由假設(shè) xnx。，即對 。,存在 N,當(dāng) n>N 時，xn B(x。，).由(2)有 f(xn) B(f(x。)，)，即(f(xn,fx。)，因此 f(xn)f(x。)，(3) (1):反證法。假設(shè)f在x。不連續(xù)，則必存在某個正數(shù)。，使得對-一 人 11于母一個一(n 1,2,)

17、有*口 酒足(xn,x。)，但(f (xn), f (x。)。這與 nnf (xn) f(x。)矛盾。Theory 2.2設(shè)(X,d) , (Y,)是距離空間，f : X Y。則f是連續(xù)映射的充分 必要條件是，對 Y中的任一開集G,其原象f 1(G) xx X, f(x) G是開proof: 必要性，不妨設(shè)f 1(G)非空。任取x0 f 1(G),即f(x。)G。因G是開集，故存在 。,使B(f(x。)，)G。由于f連續(xù)，所以又t 。，有 0, 使得 f(B(x。，) B(f(x。)，) G。即 f(x。，) f 1(G)。說明 x。是 f 1(G)的內(nèi) 點，故f 1(G)是開集。充分性：任取

18、x。 X ,對任意的。，取開集G B(f (xo),)，則x。 f 1(G),由假設(shè)f 1(G)是開集，因而存在 。，使B(x。，) f 1(G),故 f(B(Xo, ) G B(f(Xo),),即 f 在 x。連續(xù)。Definition2.2 設(shè)(X,d) , (Z,)是兩個度量空間，f : X X Z ,點 (xo,yo) X X ,若對任意 0,都存在(xo，yo，) 0,使得當(dāng)(x, y) X X, 且0) , d(y,yo) 時，恒有(f (x,y), f(Xo,yo) 成立，則稱二元映射 f在(xo,yo)點是連續(xù)的。若f在X X上每點都連續(xù)，則稱f是X X上點連續(xù) 二元映射。若上

19、述 與點(x0,yo)無關(guān)，則稱f在X X上一致連續(xù)。Theory 2.3度量空間(X,d)中的距離函數(shù)d(x,y)是X X上的連續(xù)二元函數(shù)。3完備性實數(shù)空間R具有完備性，即R中任何基本列必收斂于某實數(shù)?，F(xiàn)在我們將 這些概念引到一般距離空間中來。3.1 完備性概念Definition 3.1設(shè)xn是距離空間X中的一個點列，若對任何0,存在N,當(dāng)m,n>N時，有(xm,xn)則稱xn是X中的一個基本列(或Cauchy列)。如果X中的任何基本列都在 X中收斂，則稱X是完備的距離空間。Theory 3.1設(shè)(X,d)是度量空間,則(1)收斂點列是基本列；(2)基本列是有界的；(3)若基本列含有

20、一收斂子列，則該基本列收斂，其極限即該子列之極限。proof: (1)設(shè) xn、xX,且xnx。則 0 , NN,當(dāng) nN 時，d(xn, xm) 一，從而 n , m N 時，2d(xn ,xm) d(xn,x) d(x, xm ) 一 一 。22(2)設(shè)xn為一基本列，則對 1,存在N,當(dāng)n N時，有(xN1,xn)1,記 M max (Xi，Xni),區(qū)-)，(xn ,Xn )1,則對任何 m,n ,均有(xn , xm )(xn , xN 1 )(xm,xN 1) M M 2M 成立，即xn有界。設(shè)xj為一基本列，且Hi是xn的收斂子列，xnx(i).于是，0, Ni N ,當(dāng) m,n

21、 Ni 時，d(xn,xm) 一 ； N2 N ,當(dāng) iN2 時，2d(xn ,x)。取N max N1, N2,則當(dāng) n N, i N 時，q i N ,從而有 i2d(Xn,X) d(Xn,Xni) d(Xni,X) ，故 Xn x(n ) o2 2Example 2 Ca,b是完備的距離空間。proof:設(shè)Xn是Ca,b中的基本列，即任給 0,存在N,當(dāng)m,n>N時,(Xm,Xn)即maXXm Xn故對所有的tC a,b, XmXn(t)由一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則，知存在連續(xù)函數(shù)x，使xn在a,b上一致收斂于X，即(Xm,x)0(n)，且x Ca,b.因此Ca,b完備。Examp

22、le 3 空間Lpa,b( p 1)是完備的距離空間。proof:取xn是Lpa,b中的基本列，即任給 0,存在N,當(dāng) m,n>N 時,(Xm , Xn )( e于是對1/2k有nk,且nk+1>nk使Xm(t)小 Pzi1/PXn(t) dt)(Xnk 1, Xn )(xnk 1 (t )Xnk(t)pdt)1/p12k由Holder不等式，得bxnk1(t)Xnk(t) )dt1科(bb(a xnk 1 (t )a)1/q1/ pXnk (t) dt) p(出)1/q11) q18故有Xnk 1(t)xnk(t)dt (b a)1/q由前面定理知xnkk 1Xnk (t)(n乎

23、處處成立)，即Xnk(t) Xnk 1(t)收斂，從而部分和k 1Xn1 (t)Xn2(t) Xn2 (t) Xn3 (t)幾乎處處收斂(k 一8)因此存在一個函數(shù)以下證明在 Lpa,b中,xn(t) x(t)(nXnk 1(t)Xnk(t) = Xn1(t)xnk (t)x(t)，使 lim Xnk (t) x(t)k k)，且 x(t)Lpa,b。由假設(shè)，任給& >用在N,當(dāng)m,n>N時,Xm(t) Xn(t) pdt p任意固定一個應(yīng)用法杜定理n,使 n>N,取 k0>N,當(dāng) k>k0時 m=nk>nN>N,故有bpaXn(t) Xnk

24、(t)出 pbI plim Xn(t)Xnk (t) dta kbplimXn (t) Xnk(t) dtk a又因blim Xn(t) a k所以有(xn,x)0(n最后，由pbp(Xn,X)XnJt)出 a Xn(t) Xm 出 )。X(t) X(t) Xn(t)Xn(t)而 Xn(t) X(t)與 Xn(t)Lpa,b。故得 X(t) Lpa,b我們知道，有理數(shù)空間是不完備的，但添加一些點以后得到的實數(shù)空間是完 備的，而完備的實數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間不可比擬的好的性質(zhì)與廣泛的應(yīng) 用。對于一般的距離空間也是一樣，完備性在許多方面起著重要作用。 那么是否 對于任一不完備的距離空間都可以添加

25、一些點使之成為完備的距離空間呢？答 案是肯定的。下面給出空間完備化的定義與結(jié)論。設(shè)X,Y是距離空間，T:X-Y ,如果對任何的xi,x2CX,都有(Tx1,Tx2)(X1,X2)則稱T是X到Y(jié)上的等距映射，并稱X與Y等距?？梢宰C明，對于每一個距離空間 X,必存在一個完備化的距離空間 X0,使 得X等距于X0中的一個稠密子空間X',如果除去等距不計，X0還是唯一確定的。 4可分性在實數(shù)空間R中，有理數(shù)處處稠密，且全體有理數(shù)是可列的，我們稱此性質(zhì) 為實數(shù)空間R的可分性。同時，實數(shù)空間 R還具有完備性，即R中任何基本列 必收斂于某實數(shù)?，F(xiàn)在我們將這些概念引到一般距離空間中來。Definiti

26、on 4.1 設(shè)X是距離空間， A B X,如果對任何 x B ,總存在 xn A,使xn x(n ),則稱A在B中稠密(或A是B的稠密子集)。又 若B=X ,通常稱A在X中處處稠密。Theory 4.1設(shè)(X,d)是度量空間，A在B中稠密與下列各命題互相等價，(1) B A (其中A A A的聚點稱為A的閉包)。(2)對任何x B及 0,N (x) (x的鄰域)內(nèi)都含有A的點。(3)任取一個0, S(x, )x A B。即由以A中每一點為中心 為半徑的開球組成的集覆蓋Bo另外，稠密集還有如下性質(zhì)：若A在B中稠密，B在C中稠密，則A在C 中稠密。Definition 4.2距離空間X叫做可分的

27、，是指在X中存在一個稠密的可列子集。A X叫做可分的，是指存在X中的可列子集B,使B在A中稠密，即B Ao歐氏空間Rn是可分的，因為坐標(biāo)為有理數(shù)的點組成的集構(gòu)成Rn的一個可列稠密子集?？臻gCa,b是可分的，可以證明：具有有理系數(shù)的多項式的全體Po在Ca,b中稠密，而Po是可列集還可以證明空間Lpa,b,1P等都是可分的。存在著不可分的距離空間?？紤]l中的子集A X (Xi,X2, ,Xn, )Xn 0 或 1 則當(dāng) x,yCA,x y時，有(x, y) 1。因0,1中每一個實數(shù)可用二進(jìn)制表示，所以A與0,1一對應(yīng)，故A不可列。1 一 一假設(shè)l可分，即存在一個可列稠密子集 A0,以A0中每一點為

28、心，以-為半 3徑作開球，所有這樣的開球覆蓋l ,也覆蓋Ao因A0可列，而A不可列，則必 有某開球內(nèi)含有A的不同的點，設(shè)x與y是這樣的點，此開球中心為 Xo,于是1121(x, y)(x,x0)(x0,y)-333矛盾，因此l不可分。5賦范線性空間與Banach空間Definition 5.1 設(shè)X是實(或復(fù))線性空間，如果對于 X中每個元素x按照一定 的法則對應(yīng)于一個實數(shù)| x ,滿足： (1)|x| 0,|x| 0的充分必要條件是x ;(2)1 x | |x|();(3)|x y| |x”y|,則稱國是對勺范數(shù),稱(Xj.|)為賦范線性空間，或簡稱 X為賦范線性空間。設(shè)X是賦范線性空間，對

29、于x,y X及K令(x,y) |x y ,那么從范數(shù)的定義可以驗證 p(x,y滿足距離的所有條件，我們稱這樣得到的距離 為由范數(shù)| |誘導(dǎo)出的距離，這時X構(gòu)成一個距離空間。已知賦范線性空間是特殊的距離空間，如果 p (x,雙范數(shù)所誘導(dǎo)出來的距離， 那么這種距離和線性運算之間存在著以下關(guān)系。對任何x,y X及 K有(1) (x y, )(x,y);(x) (x).反之，設(shè)X是線性空間，又其上有距離(x,y),滿足上述條件(1)和(2),我們定義|x|(x,)可以驗證它滿足范數(shù)條件，并且由這個范數(shù)誘導(dǎo)出來的距離即原來的距離(x,y)0這就是說，對于具有線性運算的距離空間，如果它的距 離與線性運算之

30、間滿足條件(1), (2),即可成為賦范線性空間。既然任何一個賦范線性空間都可以看成是距離空間，那么距離空間中的鄰 域、開集、閉集、可分性與完備性、列緊性與緊性等概念都可以相應(yīng)定義。下面 給出賦范線性空間中的收斂概念。Definition 5.2 ：設(shè)X是賦范線性空間，x, xn X (n=1,2,3, )；若% x 0(n)，則稱點列xn依范數(shù)收斂于x,記作lim xn x ,有時簡記為xnx(n )。nDefinition 5.3:完備的賦范線性空間稱為Banach空間。對于課本上的內(nèi)容就做這些筆記吧，因為其他重要內(nèi)容書本很透徹的講解了，況且如果照顧很多細(xì)節(jié)內(nèi)容的話，哪個也寫不清楚，只能把

31、握重要的和熟悉的內(nèi)容，方法。我接下對泛函分析應(yīng)用舉例來說明學(xué)習(xí)泛函到底有什么用？(這是很多初學(xué)者困惑的地方，我個人認(rèn)為)我把這本部分內(nèi)容作為筆記的附錄內(nèi)容。Appendix:(本附錄非常適合于對濾波器的基本概念和術(shù)語不是十分熟練的讀者，但是該例子可以適當(dāng)說明泛函的廣泛最用)A.1 l2(Z)理論及定義首先，我們介紹l2(Z)上的線性算子的一個一般結(jié)論。Theory A.1設(shè)F :l2(Z)12(Z)為一平移可交換的連續(xù)線性算子，則存在序列(h”z 12(Z),使得對任何x (x)z 12(Z),均有下式成立：FX khk nXn(A.1)n Z且 H L (0, 2 ),則2proof:設(shè) F

32、 : l (Z)而且，函數(shù) H() k ZhkeikL (0, 2 ),舊 |H|。反之，若(hk)k z 12(Z)(A.1)式定義了一個平移可交換的連續(xù)線性算子，且l2(Z)為一平移可交換的連續(xù)線性算子，ek kZ為l2(Z)的標(biāo)準(zhǔn)基，且ek0, n k,，則Fe° l2(Z)。令h (hk),因為F具有平移可1, n k.交換性，所以對任何k ZFekhk nen(A.2)n Z成立。我們轉(zhuǎn)到光譜領(lǐng)域并定義算子 ： L2(0, 2 ) L2(0, 2 )為：X( ) Y( )ykeik , X( ) kzxkeikL2(0, 2 ),其中(yk) F(xk)。k Z k Z由于

33、傅里葉變換為等距變換，從而F為有界線性算子且I | | F|。在(A.2)中兩邊同時用傅里葉變換可得：Ferhn kein H( )eik 。由的定義知，F(xiàn)ekH( )eik ,由線性性可知，n Z對任何有限的二角和Xn均有FXn H( )Xn成立。我們斷言對所有X L2(0, 2 )，此式成立。事實上，設(shè)Xn有限的三角和且Xn XL2(0, 2 ),由的連續(xù)性知，F(xiàn)Xn X L2(0, 2)。又HL2(Q 2 ), HXL1(0, 2),而I|h(Xn x)IL IIhLIIxn xJ當(dāng)N 時，上式的右邊趨于0,于是 1一，.2HXn HX L1(0, 2 )。再加上 HXn FXn FX

34、L2(0, 2 ),從而函數(shù) FX和HX幾乎處處相等。即，對a.e. (0, 2 ), (FX)( ) H( )X()。這里，純粹是應(yīng)用測度、積分及泛函分析知識來證明H L (0, 2 )且舊| 忖c 一般的結(jié)論是：設(shè)(X,)為可測空間，g l2(x,)且對所有g(shù) L2(X,)均有 gf L2(X,)成立。則G： L2(X, )L2(X,)為有界線性變換，其中G定義為：-2f L (X, ) , Gf gf ;(ii) g L (X,)且冏 |g| o然而由于它有豐富的整數(shù)群結(jié)構(gòu)及對偶群 T ,所以有一種更好的方法來處理。為了證明H L (0, 2 ),我們考慮這種特殊的單位向量Xn(1 1

35、ei(.Ni(N 1)( e因為 |Xn|21> Xn HXn ,所以戶nUI。 通過計算得 I 2122FXn( ) 2 0 Kn()H( ) d ,其中Kn() Xn()2sin N2sin、rr、 一一2為Fejer核。因而KN H ()FXn()l2 一一2、，F(xiàn)，于是 Kn H L (0, 2 )夫d2. d一2.于N 一致成立。又L1(0, 2 ),Kn H 在 L1(0, 2 )中趨近于 H ,故2, 一 .八 ,.>、H| L (0, 2 )。概括起來，我們已證明對于三角多項式，均有 FXn HXn成、一.、一 .一.IBHI、一一立，且已證明H L (0, 2 )

36、且|川 F 。又已證明得H L (0, 2 ),于是立 即可知對任何X L2(0, 2 ), fx hx成立且|h| 舊I，從而結(jié)論的一方得 以證明。為了證明結(jié)論的另一方，我們假定(hk)kz l2(Z)且H L(0, 2)。對x l2(Z),定義F為：Fx khk nXnh x ,(A.3)n Z(注意hk nXn通常稱為h和X的離散卷積。)下面我們需證明Fx l2(Z) , F有n Z界且F H ,(線性性及平移可交換性顯然。)這可由20 H( )X( )eik dhk n xn n Z(A.4)及前半部分的證明直接得出。證明結(jié)束 這個定理為離散濾 波器白l2理論奠定了基礎(chǔ)。事實上，我 們

37、定義 濾波器F ：l2(Z) l2(Z)為平移可交換的連續(xù)線性映射。雖然在不同的定義域、值域及 拓?fù)淅铮瑸V波器有不同的定義，但不管是哪中情形，濾波器總是連續(xù)且平移不變 的。l2的范圍符合我們的要求。定義濾波器F的脈沖響應(yīng)為Fe。 h ,序列h (hjk z也稱為濾波器。若只有有限個hk不為0,我們稱此濾波器有有限脈沖響應(yīng)(FIR),則它是一個FIR濾波器。否則，則它具有無窮脈沖響應(yīng)(IIR)。實際應(yīng)用中，濾波器均是有限的，但并不是 說IIR濾波器沒有用處；它們在理論上起著重要的作用，應(yīng)用中也可以用有限濾 波器來逼近。然而存在有限濾波器被設(shè)計為有限的，例如把有限濾波器與具有緊支撐的小波聯(lián)系起來。

38、目前我們將考慮一般的情形，只假定 (hk)kz l2(Z)0定義F的轉(zhuǎn)移函數(shù)為2 周期函數(shù)ikH ( )hke 。k Z習(xí)慣上，常用F()指5的轉(zhuǎn)移函數(shù)。設(shè)T為l2(Z)上的有界線性算子，其伴隨算子 T定義為(Tx, y) x,T y), x, y l2(Z)。若F為濾波器(hk),通過簡單計算可得F為濾波器(h k),從而F ( ) F()。A.2 一般的2信號通道數(shù)濾波器組 一般的2一信號通道數(shù)濾波器組如圖 A.1所示：22圖A.1 一般的2信號通道數(shù)濾波器組雖然我們試圖強(qiáng)調(diào)量化和傳送在實際應(yīng)用中的存在重大問題，但這里假定它們都是理想的。設(shè)分光濾色片F(xiàn)o和Fi經(jīng)過亞抽樣(D算子)，然后上抽

39、樣(D算子)， 再合成(或重建)Go和Gi,而后輸出 若丫() Fo( )X()為濾波器Fo的輸出結(jié)果，則經(jīng)過亞抽樣后，信號表示為Yo( ) k Zy2kei2k?？捎涀?1Yo( )Fo( )X( ) Fo(2類似的1Y1( ) 2 Fi( )X( ) Fi(故輸出X為：)X(),)X() o1-(A.5)(Fo( )Go( ) F1()G( )X().注意這個輸出包括輸入信息的兩種形式：原始信號X()加上它的混疊X( )1(Fo()Go()F1( )G1( )X( )X( )。信號處理專家告訴我們，這一部分不是我們需要的，故為了得到精確的重建，第一步是令X( )的系數(shù)為0,即：Fo()Go

40、( ) F1()G1( ) 0,(A.6)為了使輸出恰好等于輸入的信息，必須有：Fo( )Go( ) F1( )G1( ) 2(A.7)實際應(yīng)用中，這個要求放寬為：Fo( )Go( ) F1( )G( ) 2e in , n Z ,(A.8)這表示原始信號可以被延遲。(A.6)和(A.8)是兩個非常經(jīng)典的關(guān)系式，已在過去的二十多年里應(yīng)用多種方法得 到了解決”。下面介紹它們的幾個解。Esteban和Galand選取Fi( ) Fo(),Go( ) Fo(),Gi( )Fo()。易發(fā)現(xiàn)它們滿足(A.6),而條件(A.8)變?yōu)?2inFo( )Fo() 2ein。其中n必須為奇數(shù)，由于當(dāng)時，改變了上

41、式左邊的符號，所以Esteban和Galand稱這些濾波器為鏡像正交濾波器(QMFs).稱為 鏡像”的原因是：若把函數(shù)Fo延拓為單位圓環(huán)域上的解析函數(shù)Fo(z)hkZn，k Z則F1(z) F2( z),且當(dāng)z變?yōu)閦時，濾波器關(guān)于原點鏡像對稱。正交”的思想稍稍復(fù)雜點，Esteban和Galand考慮的是實的對稱FIR濾波器2N 1Fo( )hkeik ,k 0且當(dāng)0 k N時，hk N 1 hN k。這些條件隱含了濾波器F0和Fi的相位相差 一： 2 因而相位是正交的。遺憾的是，只有 Haar濾波器(253)滿足這些條件。為了確定此狀況，Smith和Barnwell引入了以下條件(考慮實濾波器

42、)238, 239:Fi( ) e in F；() , n 為奇數(shù)，G0( ) Fi() e in F0(),Gi( )F0() e in Fi().這些濾波器被命名為共腕正交濾波器(CQFs)。顯然關(guān)系式(A.6)成立，而條件(A.8) 化為F°( )2 |F0()|2 2。于是問題轉(zhuǎn)化為尋找滿足此關(guān)系的濾波器F。實際應(yīng)用中，人們希望F。為有限濾波器(FIR)且有因果關(guān)系”。因果關(guān)系是指沒有輸入便沒有輸出，或正式的 說，若Xk 0 (k 0),則(Fx)k 0 (k 0)。易發(fā)現(xiàn)有限因果濾波器必具有以下 形式：Fo( )hkeik。k 0首先我們指定G0 F0 , G1 F1。則問題為尋找滿足(A.6)和(A.8)的F0和F1。 但條件為Fo()Fo( ) Fi()Fi( ) 0,(A.6)22F0( )|Fi( )2,(A.8)這正是定理3.1中的矩陣為酉的條件。這些條件在定理 3.1的證明中十分重要。 經(jīng)簡單計算可知(A.6 )和(A.8)隱含了(3.1)。在其它方向，這個隱含更具技巧性。最后，初學(xué)者應(yīng)注意的是在這件事情上有許多約定。有些作者對Yi()保留了奇系數(shù)而不是偶系數(shù)，這種情況下1Yi( ) - F1( )X(