初中數(shù)學教材中的數(shù)學文化試題賞釋

1、初中數(shù)學教材中的數(shù)學文化試題賞釋屈景蘭潘祥萬20172017 高考考試大綱修訂內容數(shù)學部分的要求是：“在能力要求內涵方面，增加 了基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的要求，增加了數(shù)學文化的要求。同時對能力要求 進行了到位的說明，使能力要求更加明確具體”。在整個考綱的修改部分，特別強調了 要增加對于數(shù)學文化的考查。作為教學一線的老師，除了關注初中數(shù)學教學的實際外， 也不得不圍繞高考這根指揮棒開展一些教學工作。而具體的體現(xiàn)就是在其他兄弟省、市 的中考數(shù)學試卷里就出現(xiàn)了與數(shù)學文化有關的題目。這些題型的出現(xiàn)，其意圖是向通過解題讓孩子感受中國的傳統(tǒng)文化之美并予以傳承。本文就對教材中涉及的數(shù)學文化試題和一些省

2、、市的中考試題做一個簡單的總結以饗同仁。一、源于“實際生活中的收、支”的表示問題。在數(shù)學七年級（上）有理數(shù)這章開始講正、負數(shù)時，知道數(shù)的產生和發(fā)展與生活有關的。如實物計數(shù)，結繩計數(shù)，刻道計數(shù)等是原始社會的計數(shù)方法，說明當時如何用小石子檢查放牧歸來的羊的只數(shù)；用結繩的方法統(tǒng)計獵物的個數(shù)；用在木頭上刻道的方法記錄捕魚的 數(shù)量等等。古時候人們計數(shù)的方法有（結繩）記數(shù)，（籌碼）記數(shù)和（算盤）記數(shù)，而 算籌也是一種表示數(shù)的工具。在中國的古代用算籌進行計算，紅色（或正放）算籌表示 正數(shù)，黑色（或斜放）算籌表示負數(shù)。例 1.1.史料證明：追溯到兩千多年前，中國人就開始使用負數(shù)，且在世界上也是首 創(chuàng)。而中國古

3、代數(shù)學著作九章算術的“方程”一章，在世界數(shù)學史上首次正式引入 負數(shù)。如果收入 10100 0元記作+100+100 元，那么-60-60 元表示（）A.A.支出 4040 元 B.B.收入 4040 元 C.C.支出 6060 元 D.D.收入 6060 元。解析：隨著時代的進步，社會向前發(fā)展，一些繁雜（擺算籌）的計數(shù)方法也得改進。后來的數(shù)學家 們用“+、-”表示正、負數(shù)，知道其涵義后，書寫簡潔又方便。賞釋：以教材中旁白作為切入點，了解古時人們計數(shù)的方式，進而考查正負數(shù)在實際生活中的意義。二、 源于閱讀與思考中的有關問題（一）中國人最先使用負數(shù)K1、2、中國是世界上首先使用負數(shù)的國家。而負數(shù)產

4、生的原因有：一是來源于生活和生產實際；另一個是 解方程的需要。戰(zhàn)國時期李悝所著的法經中已岀現(xiàn)使用負數(shù)的實例：“衣五人終歲用千五百不足四 百五十。”在甘肅居延出土的漢簡中，出現(xiàn)了大量的“負算”以負與得相比較，表示缺少、虧空之 意，由此說明負數(shù)產生于生活實踐的需要；據(jù)世界上第一部關于負數(shù)完整介紹的古算書九章算術記 載，由于在解方程時遇到了小數(shù)減大數(shù)的情況，為了使方程能解，數(shù)學家發(fā)明了現(xiàn)在使用負數(shù)。同時該 書率先給岀了負數(shù)的定義：“今兩算得失相反，要令正負以名之”，并辯證地闡明：“言負者未必負于 少，言正者未必正于多。”比意大利數(shù)學家邦貝利在他的代數(shù)學中給岀負數(shù)的定義要早得多。例2.計算：一8.4+

5、104.2+5.7解：原式=8.44.2+（10+5.7）=12.6+15.7=3.1解析：主要是有理數(shù)加減法則及運算律的考查。賞釋：有理數(shù)加減法則，在我國的古代數(shù)學著作九章算術的“方程” 一章中，并給岀名為“正 負術”的算法。而“正負術”就是今天的正負數(shù)加減法則。遺憾的是未能總結岀今天所學習的乘除法法 則。直到1299年元代朱世杰的算學啟蒙中才有明確記載：“同名相乘為正，異名相乘為負，同名 相除所得為正，異名相除所得為負。”這與我們現(xiàn)在學習的有理數(shù)乘除法法則是一致的。（二）與“方程史話3”有關的方程試題人們對方程的表示及解法的研究有很久遠的歷史。不管是公元820年左右中亞西亞的數(shù)學家阿爾花拉

6、子米著的對消與還原，還是公元前200前50年古代中國的數(shù)學著作九章算術及宋元時期數(shù)學家創(chuàng)立的“天元術”，用“天元”表示未知數(shù)（與現(xiàn)今代數(shù)中的列一元方程解應用題的方法基本上 是一致）而建立方程。這種方法的代表著作是數(shù)學家李冶寫的測圓海鏡，書中的“立天元一”就相當于現(xiàn)在的設未知數(shù)X。而后的清代數(shù)學家李善蘭把國外數(shù)學著作翻譯過來，就將equation一詞譯為“方 程”，即含有未知數(shù)的等式稱為方程，沿用至今。例 3.3.在九章算術的“方程”一章里，一次方-是由算籌布置而成的，如圖 i i 圖 2 2,圖中各行從左到111111J J .II出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù) x,x, y y 的系數(shù)與相應的常數(shù)

7、刖二!！J J UjLUjL111111 = =|1|1把圖 1 1 所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式圖出來，就是（1 1）寫出圖 2 2 所示的算籌圖所表示的方程組;（2 2）請你求出在（1 1）中寫出的方程組的解.分析：由圖 1 1 可得 1 1 個豎直的算籌數(shù)算 1 1，一個橫的算籌數(shù)算 1010,每一橫行是一個方 程，第一個數(shù)是 x x 的系數(shù)，第二個數(shù)是 y y 的系數(shù)，第三個數(shù)是相加的結果：前面的表示 十位，后面的表示個位，由此可得圖 2 2 的表達式.（1 1）根據(jù)圖 1 1 所示的算籌的表示方法，可推出圖 2 2 所示的算籌的表示的方程組：2x2x y y 1111；4

8、x4x 3y3y 2727 ；（2 2）X2-2-得，-y=-5-y=-5，即 y=5y=5，把 y=5y=5 代入得，4x+34x+3X5=275=27，x=3.x=3.所以方程組的解為:點評：考查列二元一次方程組；關鍵是讀懂圖意，得到所給未知數(shù)的系數(shù)及相加結果.例4.（2017年連云港市）算法統(tǒng)宗里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客來到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空?！眲t客人有 _ 位，客房有 _間。例5.（2016.銅仁）我國古代名著九章算術中有一題“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今鳧雁俱起，問何日相逢？” （鳧：野鴨）設野鴨與大雁從南海和北海同時起飛，經過x

9、天相遇，可列方程為（）1 1 1 11 11 1A.（9-79-7） x x 1 1B.（9 9 7 7） x x 1 1C.（一-一） x x 1 1D.） x x 1 17 7 9 97 79 9例6.元代朱世杰所著的算學啟蒙里有這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里， 駑馬先行一十二日，問良馬幾日追及之？”良馬 _天可以追上駑馬。解析：三個題都是列方程與解方程的問題，是課程標準要求及考查的知識點。賞釋：對上述三個試題，均是我國古典數(shù)學著作算法統(tǒng)宗、九章算術、算學啟蒙（人教版 七年級上P112中的注釋）中的方程問題。而對一次方程或一次方程組的解法在九章算術中有比較完 整的論述

10、。讓學生了解我國數(shù)學文化的輝煌成就，進而增強民族自豪感和學習數(shù)學的信心。過去代數(shù)的研究主要是對方程的研究。在我國南宋數(shù)學家楊輝所著田畝比類乘除算法中有這樣 一個問題：“直田積（矩程組右列項，表述人們對方程的表示及解法的研究有很久遠的歷史。不管是公元820年左右中亞西亞的數(shù)學家阿爾形面積）八百六十四步，只云闊與長共六十步，問闊及長各幾步。答：闊二十 四步，長三十六步?！边@個問題實際上是古代的一元二次方程問題。（二） 源于生活中的長度測量問題無論何時，在日常的生活或生產中，人們經常會遇到計算和測量。隨著科學的不斷發(fā)展，而計量單 位也不斷的在更新，精確度也提高了。我們見過的測長度的工具有：木尺、塑料

11、尺、卷尺、鋼卡尺、游 標卡尺等。如果對測量精度要求不高，我們也可用肘、拃、步長等來估計距離。如我國的傳統(tǒng)中醫(yī)理論 中依據(jù)經絡脈理尋求穴位等，也有測量。例7.索竿之長問題一支竹竿一條索，索比竿子長一托。 對折索子來量竿， 卻比竿子短一托。 則索長_ 托，竿長_托。解析：這是生活中的一個測量問題。一托是一個人的兩只手臂伸直的長度，與人的手臂長短有關， 一般人的一托是5尺，就是1.7米左右。賞釋：主要應搞清楚古時候的計量有哪些，可以不必糾纏與現(xiàn)在長度有何關聯(lián)，沒必要考察。雖是 一個從測量問題，實則歸為方程問題。例8.（2017.瀘州，2016.太原）已知三角形的三遍長分別為a,b,C,求其面積問題，

12、中外數(shù)學家曾經進行過深入的研究，故希臘的幾何學甲海倫給岀求其面積的海倫公式a b cp;我國南宋時期數(shù)學家秦九韶（約1202-1261）曾提岀利用三角形的三邊求其面積的秦九a2b2c2-2），若一個三角形的三邊分別為2,3, 4，其面積是（A315D315n3.15門158422解析:此題是源于二次根式這章中“閱讀與思考”中海倫一秦九韶公式（三斜求積公式）的介紹為背景， 考查學生對二次根式代值計算化簡問題。賞釋：秦九韶在1247年完成的著作數(shù)書九章就總結了這個公式。而數(shù)書九章是一部劃時代的數(shù) 學巨作，全書共18卷，81題，分九大類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建 類、軍旅

13、類、市易類。而此書實用性強，所設問題復雜，解題步驟詳，對“大衍求一術”（一次同余組 解法）和“正負開方術（高次方程的數(shù)值解法）等有深入研究。（三）源于“楊輝三角”問題20112011 版初中數(shù)學課程標準指出：數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn) 代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)。 在數(shù)學教學中，結合學生已有認知和知識水平 應當注重發(fā)展學生的“數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能 力、推理能力和模型思想”。除了培養(yǎng)發(fā)展基本的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學思想外，還要把“應 用意識和創(chuàng)新意識”兩方面的精神貫穿在教育教學中。作為教學一線的教育者應結合教 材中提供的素材，適當?shù)倪M行拓展、延

14、伸，使學生的知識面得以拓寬，為后續(xù)的學習打 下基礎；而下面兩個地方的中考試題就是一個很好的例證，也為我們的教學開展指明了方向。例9.（2016四川廣安）我國南宋數(shù)學家楊輝用三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角” 這個三角形給岀了（a+b）n（n=1，2，3，4）的展開式的系數(shù)規(guī)律（按a的次數(shù)由大到小的順序）1 1(a+b)1=a+b1 2 1(a+b)2=a2+2ab+b21331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b314641(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4請依據(jù)上述規(guī)律：寫岀（X2）2016展開式中含X2014項的系數(shù)是：S Sp(pp(pa)(pa)

15、(pb)(pb)(pc)c)，其中韶公式S Sa a2b b2( (X-解析：在初中數(shù)學教材八年級（上）整式的乘法與因式分解這一章中學習了幕的意義和整式乘法公式，而完全平方公式實際上楊輝三角的特殊。本題主要考查幕的運算和整式乘法運算首先確 定 X X2014是展開式中第幾項，根據(jù)楊輝三角即可解決問題.解：（X X -）2016展開式中含 X X2014項的系數(shù)，根據(jù)楊輝三角，就是展開式中第二項的系數(shù)，即-20162016 2=2= - 40324032 .故答案為-40324032 例10.（2014.四川省巴中市）圖中是我國古代數(shù)學家楊輝最早發(fā)現(xiàn)的，稱為“楊輝三角形”.它的岀現(xiàn)比西方要早五百

16、年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的！“楊輝三角形”中有許多規(guī)律，如它的每一行數(shù)字正好對應了a bn（n為自然數(shù)）的展開式中a按次數(shù)從大到小排列的2 2 2項的系數(shù)，例如a b a 2ab b展開式中的系數(shù)1、2、1恰好對應圖中第三行的數(shù)字；再如33223a b a 3a b 3ab b展開式中的系數(shù)1、3、3、1恰好對應圖中第四行的數(shù)字.請認真觀察此圖，寫出4a b的展開式為11 1(a+b)1=a+b1 2 1(a+b)2=a2+2ab+b21331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b31464 1(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【答案】

17、a44a3b6a b 4abb4賞釋：在我國古代，“幕”的早期含義是泛指方形的東西。到三國時代，劉徽給九章算術作注 時第一次在數(shù)學中使用幕表示乘積。到明朝徐光啟翻譯幾何原本時，用“自乘之數(shù)曰幕”來解 釋幕，明確給出了幕下了定義。后來，隨著數(shù)學家們的深入研究，在15911591 年法國數(shù)學家韋達的代數(shù)名著分析方法入門中才有現(xiàn)代意義的幕的概念。在教學中，我們應清楚地告知：幕是乘方的 結果，不是乘方。對于題中談到的楊輝三角，實際上是高中數(shù)學教材中“二項式定理”學習的內容。我國南宋時期杰出的數(shù)學家和教育家楊輝在公元12611261 年著詳解九章算術中載有“開方作法本源”圖，使得賈憲的成果得以保存。由于

18、“開方作法本源”圖出自楊輝的著作，后人稱“開方作法 本源”圖為楊輝三角。事實上，楊輝作注：“出釋鎖算術，賈憲用此術”。所以，著名數(shù)學家華羅庚教授曾建議稱之為“賈憲一楊輝三角”，現(xiàn)在“賈憲三角” “楊輝三角”并用，對于這個科學成果，比西方早 500500 年左右。我國古代有這樣的數(shù)學成就，是非常值得驕傲的，是能激發(fā)中華民族自 豪感的。（四）源于“勾股定理”證明問題2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣。因為這個定理重要、基本，還貼近人們的生活實際。自古以來，上至帝王將相，下至平民百姓都愿意探討、研究證明證明。證明方法較多。對于證明法，感 興趣者可參閱人教版八年級（下）P30“閱讀與思考”中

19、的畢達哥拉斯證法、趙爽弦圖證法、加菲爾德證法；也可在互聯(lián)網上搜閱其他證法。而世界上第一次給岀勾股數(shù)組通解公式的是九章算術一書。同時，我們知道困擾數(shù)學界300多年的費馬大定理可以看作是從勾股數(shù)組引岀的類比、推廣后的數(shù)學問題。由此可知勾股定理的影響是深遠的，在其他領域的作用是不可估量的。例11.如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的若ACAC 6 6,BCBC 5 5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長是 _ 解析：本題是勾股定理的應用計算問題。解答時應明確周長是哪些線段的長度之和。賞釋：對于勾股

20、定理的應用問題，在人教版教材的第十七章P29的10題和P39的10題這兩題均選自九章算術。而這兩題經改編，卻在有些省市作為中考題展現(xiàn)。如“蕩秋千”問題和“折竹抵地”問題?！竟垂啥ɡ響米兪健浚?1)(2017.東營)我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？ ”題 意是：如圖1所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達 點B處，則問題中葛藤的最短長度是圖1圖2(2)(2017襄陽)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學

21、的驕傲.如圖2所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和 一個小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(a+b)2=21,大正方形的面積為13，則小正方形的面積為()A.3 B.4 C.5 D.6(3)我國明代有一位杰出的數(shù)學家程大位在所著的直指算法統(tǒng)宗里有道“蕩秋千 ”的問題：“平地秋千未起 ，踏板一尺立地 ，送行二步與人齊 ，五尺人高曾記； 仕女佳人爭蹴 ， 終朝笑語歡嬉 ，良工高士素好奇 ，算出索長有幾？ ”解析詩的意思告訴我們：當秋千靜止在地上時，秋千的踏板離地的距離為 一尺，將秋千的踏板往前推兩步，這里的每一步合五尺，秋千的踏板與人一 樣高，這個人的身高為五尺，當然這是秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，要求這個秋千的繩索有多長？要解決這個古詩中的問題，我們可以先畫出圖形，再運 用勾股定理求解（4）（2017年.荊州）九章算術中的 “折竹抵地 ”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去 根六尺 問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈 =10=10 尺），一陣風將竹子 折斷，其竹稍恰好抵地， 抵地處離竹子底部 6 6 尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設 折斷處離地面的高度為 x x 尺，則可列方程為（ ）A.A. x x2- 6=6= （1010- x x）2B B. x x2- 6 62= = （1010- x x