2019最新高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))期末考試試題(含答案)O

1、如19最新高等數(shù)學(xué)期末考試試題（含答案）一、解答題1 .設(shè)a>0,且b與an相比是很小的量，證明:n/an +b &a +匕. na1bn_j . na證明：利用近似公式 V1+x 1+-x ,有 nn -nb1 b、a , b 二 an 1 ： n : a(1 一n); a an aJ , x (2) “ n!n 1 n2 .求下列哥級(jí)數(shù)的收斂半徑及收斂域: (1)x+2x2+3x3+ - + nxn+ ;n工P1L ；nw n 2n解：（1）因?yàn)椋? = limn L 二an 1an=limn-" nn 1_，一 =1,所以收斂半徑1R=-=1收斂區(qū)間為（-1,1）

2、,而當(dāng)x=±1時(shí),qQ級(jí)數(shù)變?yōu)?(_1 y n,n 1由 11m(1)nn#。知級(jí)數(shù) £ (-1)nn 發(fā)散,所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1,1）.(2)因?yàn)?P = limnL _an 1an= lim三 n := n 1 n1nn 二lim -n!n ' 、n 11所以收斂半徑 R =e,收斂區(qū)間為P(-e,e).8當(dāng)x=e時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)楣 1雪；應(yīng)n1用洛必達(dá)法則求得lim（1+x）xe x0xfa一 上1 lim n an±-1 =- <1由拉阿伯判別法知，級(jí)數(shù)發(fā)散；易知 x=-e時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散，故t lanJ 2收斂域?yàn)椋?e,e）.（3）級(jí)數(shù)缺

3、少偶次哥項(xiàng).根據(jù)比值審斂法求收斂半徑.lim 耨=lim 士之 ni|Un| ni2n+1 x2n=lim2n -15 2n +12x2>1即|x|>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂半徑二x所以當(dāng)x2<1即岡<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂,111當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)?1 ，當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)變?yōu)?1 ,由lim巫=> 0nu 2n -1n2n-1-12n知，£ 發(fā)散，從而1二也發(fā)散, n 1 2n -1n=1 2n 1n n（4）令t=x-1 ,則級(jí)數(shù)變?yōu)楣?,因?yàn)閚n 2n故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1,1）.an 1. n2 2n .=lim = lim2= 1n an | n

4、:= n 12 n 1所以收斂半徑為R=1 ,收斂區(qū)間為 -1<x-1<1即0vx<2.當(dāng)t=1時(shí)，級(jí)數(shù)£一二收斂，當(dāng) na2nt=-1時(shí)，級(jí)數(shù)克（_1f為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨判nm 2 n別法知其收斂.所以，原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?WxW 2,即0,23. （1）解：二工相當(dāng)于P級(jí)數(shù)中P=x2 nn 1.二 1 . .： 1 .當(dāng)P>1時(shí)匚收斂，PM1時(shí)，發(fā)散.2np2 npn 1n 1.; 1 .從而當(dāng)x >1時(shí)，7收斂，2 nxn 1: 1.xM1時(shí)，最發(fā)散.2 nxn 1二 1 從而-1的收斂域?yàn)椋?二）2 nxn 11 1從而一（-1）二的收斂域?yàn)椋?

5、,1）U（1, ,二）.2 nxn 1,二 11（2）斛：當(dāng)x>1時(shí)，收斂，則 （1） 收斂.2 nx2 nxn 1n d1 一當(dāng) xW0 時(shí)，一（1）二發(fā)散，（Un 今 0）2 nxn 11 1當(dāng)0<x<1時(shí)， 一（T） r收斂.（萊布尼茲型級(jí)數(shù)）n 1 n4.用根值判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:J" n4 3n 1(2)QOznJ l.lnn - 1nn4 3n -1(4)oOzn 4,其中 an-a (n一8),an, b, a均為正數(shù).、an解: 5n 5(1)lim n/Un =lim= >1 ，n n :3n 13故原級(jí)數(shù)發(fā)散.(2) lim n/U

6、7 =lim1=0 <1 ,n n :ln n 1故原級(jí)數(shù)收斂.2-1. n lim n U nn一j 二=lim n : 3n -1二9"故原級(jí)數(shù)收斂.(4) limb nn "an當(dāng)b<a時(shí)，b<1,原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng) b>a時(shí)，b >1 ,原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng) b=a時(shí)，-=1,無(wú)法 aaa判定其斂散性.5.求曲線段y=x3（0女E1）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面的面積.解：D=2 nJ y寸 1+ y *dx =2 - x3 1+9 x4dx3二 2/4、218 3(1+9 x ) I二27(10痂-1).6.已知sin xdxjt2求:sin x

7、cosxxdx;解：(1)原式=1 -Sin(2x)d(2x)=1 j 2sntdt =-. 2 0 2x2 0 t 4解：2:-sin xdx.2：sin xdx =二 1 - cos2x027dx二 1 一-dx -0 2x20二cos2x12x2dx二 1 .11-2 dx - cos2xd-1 2x220x二 1.1 C-z dxcos2x1 2x221 ：1 . cdcos2x2 0 x7.求由方程111 | sin2xcos2xd2x2x 2x 00 2xyxg edt + g costdt =0所確定的隱函數(shù)y = y(x)的導(dǎo)數(shù).解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),eyy cosx = 0e

8、y =1 - sin xcosxy 二sin x -18.求下列曲線的拐點(diǎn):23(1) x =t ,y =3t t ;_ 2刎 dy 3 3t解：)=,dx 2t2_2d y 3(t -1)dx24t3t= 1* d y令一2 = 0 ,得t=1或 dx貝 U x=1 , y=4 或 x=1 , y= 4 d2y曲線是凹的,當(dāng) t>1 或 t<- 1 時(shí)，-2 >0 , dxd y ,當(dāng)0vt<1或一1<t<0時(shí)，T<0,曲線是凸的, dx故曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)(1, 4), (1, - 4).(2) x=2 acot 0,y=2 asin2 0.解：曳=2

9、a 2sin>cosi =-2sin3icosudx 2a (-csc)(3 - tan2 -)d2y dx2d y224、11.422 = ( -6sin cos 二 2sin 二)2- 二 一 sin cosdx22a(-csc2-) a,2令2=0,得8或一;dx233不妨設(shè)a>0,不失一般性，當(dāng) J3AtanB aJ3時(shí)，即<一時(shí), 33d2y當(dāng)tan日>J3或tan日 C有時(shí)，即6 <或8時(shí)，d4 <0 ,12733 R 2733.一a,a 及.-一a, a 1321132 J33dx2, 冗 _冗故當(dāng)參數(shù)8 =或a =時(shí)，都是y的拐點(diǎn)，且拐點(diǎn)為3

10、39.甲、乙兩用戶(hù)共用一臺(tái)變壓器(如13題圖所示)，問(wèn)變壓器設(shè)在輸電干線AB的何處時(shí),所需電線最短？解：所需電線為L(zhǎng)(x) =、x2 1 、1.52 (3-x)2(0 二 x ： 3)xj2.25+(3 _x)E_(3x)j?x.'x2 1,2.25 (3 -x)2在0Vx<3得唯一駐點(diǎn)x=1.2(km),即變壓器設(shè)在輸電干線離A處1.2km時(shí)，所需電線最短10.某鐵路隧道的截面擬建成矩形加半圓形的形狀 底寬x為多少時(shí)，才能使所用建造材料最省 ？(如12題圖所示)，設(shè)截面積為 am2,問(wèn)xya 1一一 x 九x 8解：由題設(shè)知1 2a -x tty=x12題圖截面的周長(zhǎng) c 12

11、a112a冗l(x) = x+ 2y + ？t，x=x+一一x?t+x7t = x + + x, 2x42x4l(x)=1冗2a令l'(x) =0得唯駐點(diǎn)x = I,即為最小值點(diǎn)4 +冗即當(dāng)x = J-8a-時(shí)，建造材料最省4 +冗sin 3x lim x f tan5x11.利用洛必達(dá)法則求下列極限:/c、1- lnsin x lim3x ：2(二-2x)3limx-ax(ex -1)m mx -an nx -aIn xlim -x-0 cot x(4)limx-asin x - sin a(6)lim1 ln(1 )xx，二 arc cot xxe -1);lim sin x ln

12、 x;x_0 -(10)lim(1 sin x)x;limlnx0 -x ln(1 x)；(14) lix2x 1 - x);(15)sinx-elim;x 0 x -sin x(16)1sin x、/)x; x1 v v lim 一(1 x)xx.xo e解:原式= lim3cos3 xxf 5sec 5x1 cot x原式= lim4x 2xlim4x與2-csc x-2原式=lim xx0 e -1 xe=lim x x0 2exe= lim (4)cosx 原式=lim二 cosa.xa 1原式=lim x-am 1 mx 一n 1 nxm m _n a an(6)原式=limx 二l

13、lim 工1.J x x1原式=lim x2 = - lim sn x = 0.x 0 csc x 0 1 Tn x 0 x1 原式=lim -lnx- = lim ,x= 0.x Q cscx x° -cscx cotx2x ex-e -x2x xe -e -x2x x2e -e -1x(ex -1)2x原式=lim x_0(io)原式= lim(1 -ln x)xx )0 -令 y =(1ln x)xlim ln y = limx Q 'x )0ln(1 一 ln x)=lim -x_0 '11 一 ln xx二 lim =lim 工=0J0 -1，原式=lim

14、y = e0 =1”,2v(11)令 y =( arctan x),花,2 , ln ln arctan x lim ln y = lim 1xx 1 二：1arctan x1-2 x11 x2arctan x2x1 x2_2原式=e 7t1令 y =(1 +sin x)x ,則cosxln(1 sinx) limln y = lim= limx_0x_0xx01=lim xx 0 -1一 _2 x=0原式=e=e.ln xxx11=lim (1 一 x：3x 原式=lim(ln x x) = lim - x )0 -x 0 - 1_2_3_421(x 2x 3x ) x =3sinx, x-

15、sinx(15)原式二 lim (e山x 0 x -sin x1(16)令y =(皿/，則xsin x e(x -sin x) 0 ,=e =1x -sin xlim ln y = limx Qx Qln sin x - ln x11cosx -sin xxxcosx - sin x xcosx - sin x=lim 2 =lim 3x02x sin xx02x2cosx -xsin x -cosx -x 1二 lim 2二 lim 2 =一x 06xx)0 6x61.原式=e-6.1 1 11- 令 y = (1 +x)xx,則 ln y =-ln(1 +x)x 1 ex1 ln(1 x)

16、 -x . 1 x lim ln y = lim 黃=limxx Q x )0x2xx02x111=-lim二 一一.2 x 01 x 212.求下列初等函數(shù)的邊際函數(shù)、彈性和增長(zhǎng)率:(1) y=ax+b;(其中 a, b R, aw0)解：y' a即為邊際函數(shù).彈性為：Ey = a-x-a ,Ex ax b ax b增長(zhǎng)率為:ax b(2) y=aebx;解：邊際函數(shù)為:y' abebx彈性為:Ey . bx二abe x增長(zhǎng)率為: y=xaEx解：邊際函數(shù)為:彈性為:EyEx增長(zhǎng)率為:13.求曲線解:bxabebx aea 1axa 1a 1=axbx ae二bx,a Jax

17、x=acos3t,dydy _dtdx dxdty=asin3t在t=to處的曲率.2 .3asin tcost2 .-3acos t sint=-tant,d2ydx2d=(-tant)= dxd( Tant)dt2, 。sec tdx-3a cos21 sin t3asin t cos41dt且當(dāng)2 3/21 (-tant)3a sin 2tt=to 時(shí)，k =3asin 2t014.設(shè)f (x) = x+1(0wxw兀)試分別將f (x)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 解：將f (x)作奇延拓，則有 an=0 (n=0,1,2,)2 工2 工bn = f x sin nxdx = 一 x 1

18、sin nxdx /0冗p7t2從而f x =一1 一(1)(1+ 兀)sinnx (0<x< 兀) 若將f(x)作偶延拓，則有bn=0 (n=1,2,)an2元= f x cosnxdx =九02元x 1 cosnxdx九0a00,=-4n =2,4,6 |Hn =1,3,5,|H1 TT二一 f x dx =7t2 /二 0 x 1”=一九+ 2 4J? cos(2n -1)x(0<x< 兀)從而f x=2 九n(2n -1)15.求下列函數(shù)在x =x0處的三階泰勒展開(kāi)式:(xo - 1). y = jx(x0 =4); y=(x-1)lnx解：y1 士2>&

19、gt;nx ,y4所以y (4)y(4) 4 u(x4)=14y32153 4=-x83 一256,y一及 x-2167164 Xx-4)2一 一 11故，x=2+ (x -4)(x -4)4641 (x-4) 5125(x-4)41284 Xx-4)4234(1 x)(x-1)41 i(x-1)4,16,設(shè) f(x)=F, x 1,-1 - x 二 00MxM2，求 f (x -1).y = (x1)ln x = (x1)ln1 (x -1)23(x -1)(x-1)二 (x-1)(x-1)-') J23w)2-3 3_5 42341 u(x-1)1x,丘1,解：f (x -1)二(

20、x-1) 1, 0 < x -1 <217 .利用微分求下列各數(shù)的近似值:痂；ln 0.99 ; arctan1.02.1解：利用近似公式31 +x %1+1x ,有 33 8.1 = 3 8(11 ) = 23 11 ： 2 (1 - -) = 2.0083 .801,803 80利用近似公式ln(1 +x) &x,有In 0.99 =ln(1 -0.01) : -0.0100.取 f (x) = arctanx ,令 x0=1x = 0.02,arctan1.02 : arctan11+1 120.02=0.7954.18 .求由下列方程確定的隱函數(shù)y=y(x)的微分d

21、y：22 y=1+xey; )+q=1；a b1 2 y=x+siny; y -x=arccosy.2解： 對(duì)等式兩端微分，得dy 二 eydx xd(ey)即 dy 二 eydx xeydy一日ey于正 dy 二d dx.1 -xey對(duì)等式兩端微分，得1 1,和 2xdx = 2 ydy = 0 22abb2x得 dy = - -2dx. a y對(duì)等式兩端微分，得，1，dy =dx -cos ydy-2斛得 dy =dx.2 - cos y(4)對(duì)等式兩端微分，得2ydy -dx 二-解得dy二2 dx.19.求下列函數(shù)的微分:ln xln tanxy = 5解:(4)x 2x=8x -6e

22、dy =(xex) dx(6) y = , arcsin x (arctan x)2.= ex(1 +x)dx ；ln xdy = () dx =(x1 x-lnx x1 -lnx)dx 二 xdxdy = (cos Vx) dx =(-sin Vx) 1=dx2 ,，x2；xsin Vxdx ；ln tanxln tanxdy = (5) dx = (ln 5 5tan x2sec x)dxln tanx 1=2ln 5 5sin 2xdx ； dy = (8xx -6e2x) dx = 8xx(1 +ln x) -12e2xdx ；dt dy = arcsin x (arctan x)2

23、dx =2 、, arcsin x1-2arctan x .1-x2,dx.;1 , 2 ,20 .求自由落體運(yùn)動(dòng)s(t) =-gt的加速度.解：s(t)=gts'(t) =s'(t)' = g 即為加速度.1 x = et sin t, r 兀 dy -21 .已知 t 求當(dāng)t =時(shí)的值.y =e cost, 3 dx解：dy ttd y _ a _ e cost -e sint _ cost -sint dx dx etsint et cost sint costdydxt-3冗.冗 cos- - sin33 = 3-2. Tt ,冗sin cos3322.求下列函

24、數(shù)的導(dǎo)數(shù)： S =3ln t sin ； 7一 3解：S'= t y - . X ln x ；1 11斛：y = -= In x x(In x 2)2；xx 2 , x2. y = (1 - x ) sin x (1 -sin x)；解：22,、y = -2xsin x(1 - sin x) (1 - x )cos x(1 -sinx) (1 -x )sin x(-cosx)222= 2xsin x-2xsinx cosx-x cosx-sin2x x sin2x(4)1 -sin xy=E；;解:一cosx(1 - cosx) 一 (1 -sin x)sin x(1 - cosx)2

25、1 一sin x -cosx(1 - cosx)2解:(6)解:y =tan x +e;2y = sec xsecxy =-3secx ；xsecxtanx -secx-3secxtan xy = ln x - 21gx 310g 2 x ；解:.1y = - -2x3 ln10 x In 2 x1二一（1 一xln10解:-(1 2x)(1 - x x2)223.求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù):1+ dy y =xsin x+ cosx,求二2dx加 1 .1 .斛： y =sin x xcosx -sin x = - sin x xcosx22院 1 .冗，冗 氏近一、氏、y it = - s

26、in + cos = (1 + 一)xq 24 44423x2. , . 工 工. f (x)=+土，求(0)和 f '(2)；5 x 532解：f (x) =2 -x(5 -x) 5317f (0)=寶 f (2) =72515f (x)=5x-4， 4x2 -3x,x _1,求 f '(1). x 1,2f(x)-f 4x2 -3x -1 c斛： f (1) = lim = lim 二5x 1 x -1x 1 x -1f _(1) = lim -x ：1 -故 f (1)=5.f(x)-f(1)x -11 x 124.若 f (一) =e x,求 f (x). x人1解：令

27、一 =t，則x1t1 xf(t)=et，即 f(x)=ex1 x 1f (x)=ex (1-2) x25.設(shè) f(x)在0,2a上連續(xù)，且 f(0) = f(2a),證明：方程 f(x)=f(x+a)在0 , a內(nèi) 至少有一根.證：令F(x) = f(x) - f(x + a),由f (x)在0,2 a上連續(xù)知,F(x)在0, a上連續(xù),且F(0) = f(0)- f(a),F(a) = f (a) - f(2a)= f (a) - f (0)若 f(0)= f(a)= f(2a),則 x=0, x = a 都是方程 f (x) = f(x + a)的根，若f(0) # f(a),則F(0)F

28、(a) <0 ,由零點(diǎn)定理知，至少 三匕(0,a),使F向=0 ,即 f(U)= f、+a),即 是方程 f (x) = f (x+a)的根，綜上所述，方程f(x)=f(x+a)在0, a內(nèi)至少有一根26.試證：方程x 2x =1至少有一個(gè)小于1的正根.f (0) = -1 < 0, f (1)10,由零點(diǎn)定證：令f(x)=x,2 ：1 x2 -1(3) lim 21,則f (x)在0,1上連續(xù)，且 理，于 W (0,1)使 f 代)=0 即 £ 2* 1 =0即方程x 2x =1有一個(gè)小于1的正根.27.求下列極限：(1)則"一 x2 -1 lim -;xf

29、：2x -x -1x2 1(5) lim;x :2x 1明x4.3x213x - x(4) lim 40 2d ;x-：x -3x1(6)limn > :(n 1)(n 2)(n 3)5n3x2 1若limx = 2x 1-ax - blim3(x2-3)9-3_x2x2 -x -1 -3斛：(1)lim -3x 3 x2 1粵(x2+1)9+14_ 2lim( x -3x 1)x ：1=-2.2lim( x x)12 14_214 -3 12 1=lim 一x：二21-x13x f(4) lim -2x :x4 -3x2 1=limlim"°lx x J:風(fēng)2x 12二 limx 1 xiT 二x xr lim 11 - x門(mén).31-T -=0.21lim xf ：, xx2V0lim .1 + Tlx2 J由無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系知,limLoO2x 1(6) nm(n 1)(n 2)(n 3)5n3=-li5n1Jim 11 -,一 . n232 11-nn231n :二lim 11