矩陣分解在數(shù)值計算中的應用

1、矩陣分解在數(shù)值計算中的應用陳芳芳 數(shù)學科學學院 201321100215摘要：本文主要通過矩陣的三角分解，將線性方程組中的系數(shù)矩陣進行LU分解，然后利用Matlab求矩陣的LU分解。關鍵字：矩陣分解 LU分解 矩陣分解是將一個矩陣分解為比較簡單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積。由于矩陣的這些特殊的分解形式，一方面反映了原矩陣的某些數(shù)值特性，如矩陣的秩、特征值、奇異值等；另一方面矩陣的分解方法與過程也為數(shù)值計算提供了重要的依據(jù)。本文主要通過矩陣的三角分解LU分解，來求解線性方程組。1 矩陣的三角分解矩陣的三角分解法是一種有效而應用廣泛的分解法，它是將矩陣分解為酉矩陣（或正交矩陣）與一個三角矩

2、陣的乘積或三角矩陣與三角矩陣的乘積。定理1 設，則A可唯一地分解為其中是酉矩陣，是正線上三角矩陣，或可唯一地分解為其中是酉矩陣，是正線下三角矩陣。若矩陣是滿秩的n階實方陣，就可以將此定理推廣到實數(shù)域上，于是可得一下結論：推論1 設,則A可唯一地分解為其中是正交矩陣，是正線上三角實矩陣，或可唯一地分解為其中是正交矩陣，是正線下三角實矩陣。若是實對稱正定矩陣，則存在唯一的正線上三角實矩陣，使定理2 設，用表示下三角復矩陣，表示單位下三角復矩陣，表示上三角復矩陣，表示單位上三角復矩陣，表示對角矩陣，則下列命題成立：（1）的各階順序主子式：（2）可唯一地分解為,并且的主對角線上元素不為0；（3）可唯一

3、地分解為,并且的主對角線上元素不為0；（4）可唯一地分解為,并且的主對角線上元素不為0.既然矩陣在理論上有如此漂亮的分解式，那么我們先來看看它在求解大型的線性方程組的數(shù)值解法的作用。2 線性方程組的數(shù)值解法線性方程組的數(shù)值解法有直接解法和迭代法兩類。直接法是在沒有舍入誤差的情況下，通過有限步計算求得方程組的準確解。而迭代法則是建立迭代格式，從初始向量出發(fā)，產(chǎn)生向量序列，逐次逼近方程組的準確解。在線性代數(shù)中，我們已經(jīng)了解了求解n階線性方程組的公式求解法Gramer法則，而對于一個n階方程組Gramer法則需要計算出包括A的n+1個n階行列式的值，且每個行列式的計算需要用n!(n-1)次乘法。這需

4、要很大的計算量。而最基本的直接法Gauss消元法就可以大大減少計算量。下面來看看Gauss消元法的過程。2.1 Gauss消元法 主要思想：將一般線性方程組經(jīng)過初等行變換，化為行簡化階梯形（即上三角形方程組），然后對上三角形方程組直接求解。消元過程的算法：（1） 輸入和，；（2） ；（3） 計算， （）如果，則轉(zhuǎn)（3），否則轉(zhuǎn)（4）；（4） 如果，則轉(zhuǎn)（2），否則結束。從上面的算法可以知道，在順利消元過程中，第一步消元所進行的一系列操作，將乘增廣矩陣的第一行所得的數(shù)據(jù)，加到第i（i=1,2n）行數(shù)據(jù)中，對應的矩陣變換相當于用左乘矩陣A。同理，第二步變換對應的矩陣為第k步變換對應的矩陣為這類矩陣

5、稱為Frobenius矩陣，對應的變換為Gauss變換，由此可得，所以有令,由Frobenius矩陣的性質(zhì)可知是下三角矩陣，于是有其中.由于消元過程所得最后結果是上三角形矩陣，記，則.這就是矩陣A的三角分解，或稱為分解或。 如果方程組中系數(shù)矩陣A可進行LU分解，則利用LU分解，原方程組求解過程可分兩步：（1） 求解方程組；（2） 求解方程組.所得向量x正是原方程組的解。例題：利用矩陣A的LU分解法求解方程組,其中,解：用高斯消元法分解矩陣A，由此得矩陣矩陣A的LU分解第一步，順代過程求解方程組得第二步，回代過程求解上三角方程組得從上面的例子可以看出，利用矩陣的LU分解可以減少很大的計算量，如果

6、對于大型的矩陣，此方法的優(yōu)點是可觀的。下面將給出矩陣LU分解的Matlab程序。2.2 LU分解的Matlab程序：A=randn(4) %隨機生成一個4階的矩陣 n,n=size(A);for i=1:n L(i,i)=1;endU(1,1)=A(1,1)/L(1,1);if L(1,1)*U(1,1)=0 fprintf(Factorization impossible) else for j=2:n U(1,j)=A(1,j); %/L(1,1); L(j,1)=A(j,1)/U(1,1); endend for i=2:n-1 sum=0; for k=1:i-1 sum=sum+L(

7、i,k)*U(k,i); end U(i,i)=(A(i,i)-sum)/L(i,i); if L(i,i)*U(i,i)=0 fprintf(Factorization impossible) else for j=i+1:n h=0; s=0; for k=1:i-1 h=h+L(i,k)*U(k,j); s=s+L(j,k)*U(k,i); end U(i,j)=1/L(i,i)*(A(i,j)-h); L(j,i)=1/U(i,i)*(A(j,i)-s); end endend sum=0; for k=1:n-1 sum=sum+L(n,k)*U(k,n); U(n,n)=(A(n,

8、n)-sum)/L(n,n); endLU運行結果：A = 0.5377 0.3188 3.5784 0.7254 1.8339 -1.3077 2.7694 -0.0631 -2.2588 -0.4336 -1.3499 0.7147 0.8622 0.3426 3.0349 -0.2050L = 1.0000 0 0 0 3.4108 1.0000 0 0 -4.2012 -0.3781 1.0000 0 1.6035 0.0704 -0.2016 1.0000U = 0.5377 0.3188 3.5784 0.7254 0 -2.3949 -9.4358 -2.5373 0 0 10.1157 2.8029 0 0 0 -0.62463 結束語矩陣理論不僅在數(shù)值計算、最優(yōu)化方法、微分方程、控制理論、數(shù)學模型等中有著很重要的作