向量集體備課

1、平面向量李振麟【知識(shí)特點(diǎn)知識(shí)特點(diǎn)】平面向量作為工具性知識(shí)，和三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識(shí)有著廣泛的聯(lián)系。其中平面向量的共線與垂直，平面向量的運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用，是重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)。對(duì)于數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入這部分內(nèi)容，其獨(dú)立性較強(qiáng)，一般是單獨(dú)命題，其中復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運(yùn)算是重點(diǎn)知識(shí)，也是高考考查的重點(diǎn)?！局攸c(diǎn)關(guān)注重點(diǎn)關(guān)注】1、平面向量共線與垂直的充要條件、平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)的運(yùn)算是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，需重點(diǎn)關(guān)注。2、平面向量的基本運(yùn)算與三角函數(shù)結(jié)合是高考中的重要題型，此類題可以是選擇、填空，也可以為中檔的解答題。向量與數(shù)列、不等式、圓

2、錐曲線，函數(shù)等知識(shí)的綜合問(wèn)題。對(duì)學(xué)生能力的考查有較高的要求。3、本章內(nèi)容要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，向量具有“形與數(shù)”的兩個(gè)特點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁?！镜匚缓妥饔玫匚缓妥饔谩肯蛄繋в谢A(chǔ)知識(shí)的特點(diǎn)，是一種工具性和方法性知識(shí)。向量有一套優(yōu)秀的運(yùn)算系統(tǒng)，由于它提供的向量法、坐標(biāo)法，使其成為研究高中數(shù)學(xué)的重要方法。同時(shí)，向量又有一套優(yōu)良的運(yùn)算系統(tǒng)，幾何中有關(guān)長(zhǎng)度、角度的計(jì)算，平行、垂直的判定與證明，很多場(chǎng)合下都可以化歸為向量的運(yùn)算來(lái)完成，教材中正弦定理、余弦定理的證明、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的導(dǎo)出，就是這方面典型的例子。這些體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸和數(shù)形結(jié)合的思想。向量“形” 、 “數(shù)”兼?zhèn)?，是?shù)形結(jié)合

3、的橋梁。在運(yùn)用向量知識(shí)時(shí)，充分運(yùn)用幾何圖形直觀的特點(diǎn)，而在解決幾何問(wèn)題時(shí)，又注意充分運(yùn)用向量法與坐標(biāo)法，處處滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。通過(guò)分析進(jìn)兩年高考中本章相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查匯總，可以看出本章在高考命題中呈現(xiàn)出以下特點(diǎn)：1、考查題型主要是以選擇、填空為主，分值為 10 分左右，基本屬容易題；2、重點(diǎn)考查向量的共線與垂直，向量的夾角、模與數(shù)量積及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，注重在知識(shí)交匯處命題；3、預(yù)計(jì)在本意在今后的高考中，將以向量的運(yùn)算、向量的夾角、模、數(shù)量積、復(fù)數(shù)的運(yùn)算為命題熱點(diǎn)，將更加注重向量與其他知識(shí)的交匯，以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能為主。4.14.1 平面向量平面向量【高考目標(biāo)定位高考目標(biāo)定位】一、平面向量

4、的概念及其線性運(yùn)算一、平面向量的概念及其線性運(yùn)算1 1、考綱點(diǎn)擊、考綱點(diǎn)擊（1）了解向量的實(shí)際背景；（2）理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；（3）理解向量的幾何表示；（4）掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；（5）掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；（6）了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。2 2、熱點(diǎn)提示、熱點(diǎn)提示（1）重點(diǎn)考查平面向量的有關(guān)概念、線性運(yùn)算及其幾何表示；（2）多以選擇、填空的形式呈現(xiàn)，有時(shí)和其他知識(shí)相結(jié)合，在知識(shí)的交匯點(diǎn)處命題。二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1 1、考綱點(diǎn)擊、考綱點(diǎn)擊（1）了解平面向量的基

5、本定理及其意義；（2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；（3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；（4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。2 2、熱點(diǎn)提示、熱點(diǎn)提示（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算及用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件是高考考查的熱點(diǎn)，常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，為中、低檔題；（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算常與三角，解析幾何等知識(shí)結(jié)合，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題。三、平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用舉例三、平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用舉例1 1、考綱點(diǎn)擊、考綱點(diǎn)擊（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；（2）了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；（3）掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表

6、達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；（4）能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；（5）會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題；（6）會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題。2 2、熱點(diǎn)提示、熱點(diǎn)提示（1）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，模與夾角、平行與垂直問(wèn)題的高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題，但靈活多變；（2）可與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)綜合命題，是高考的另一個(gè)熱點(diǎn)?！究季V知識(shí)梳理考綱知識(shí)梳理】一、平面向量的概念及其線性運(yùn)算一、平面向量的概念及其線性運(yùn)算1 1、向量的有關(guān)概念及表示方法、向量的有關(guān)概念及表示方法（1 1）向量的有關(guān)概念）向量

7、的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）零向量長(zhǎng)度為 0 的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于 1 個(gè)單位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量共線向量平行向量雙叫做共線向量與任一向量平行或共線0相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量的相反向量為00（2 2）向量的表示方法）向量的表示方法字母表示法，如：等；, a AB 幾何表示法：用一條有向線段表示向量。2 2、向量的線性運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算（1）交換律：。abba（2）結(jié)合律：()()abcabc減法求與的相

8、反ab向量的和的運(yùn)b算叫做與的ab差數(shù)乘求實(shí)數(shù) 與向量的積的運(yùn)算a（1）.aa（2）當(dāng) 0 時(shí)，與的方向相同；aa當(dāng) 0 時(shí), 與的aa方向相反；當(dāng) =0 時(shí), =a0()() ;aa ();aaa()abab注：式子的幾何意義為：平行四邊形兩條對(duì)角線的2222|2(| )ababab平方和等于它們四條邊的平方和。3、向量與向量共線的充要條件為存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使(0)a a b.ba注：用向量法證明三點(diǎn) A、B、C 共線時(shí)，首先求出，然后證明，AB AC 、ABAC =即共線即可。ABAC 與二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1 1、兩個(gè)向量的夾角、兩個(gè)向量的夾

9、角（1 1）定義）定義已知兩個(gè)非零向量和，作，則AOB= 叫做向量與的夾角。ab,OAa OAb ab（2 2）范圍）范圍向量夾角 的范圍是 001800，與同向時(shí)，夾角 =00；與反向時(shí)，夾abab角 =1800。（3 3）向量垂直）向量垂直如果向量與的夾角是 900，則與垂直，記作。ababab注：在 ABC 中，設(shè)，則向量與的夾角為ABC 是否正確？（答：,ABa BCb ab不正確。求兩向量的夾角時(shí)，兩向量起點(diǎn)應(yīng)相同，向量與的夾角為 -ABC） 。ab2 2、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（1 1）平面向量基本定理）平面向量基本定理定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不

10、共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量，12,e e a有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使。121 122aee 其中，不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。12,e e （2 2）平面向量的正交分解）平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。（3 3）平面向量的坐標(biāo)表示）平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與 x 軸、y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，, i j 對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一實(shí)數(shù) x,y,使，把有序數(shù)對(duì)（x,y）叫做aaxiy j向量的坐標(biāo)，記作=（x,y）,其中 x 叫做在 x 軸上的坐標(biāo)，y 叫做在 y 軸上的坐標(biāo)。aaaa設(shè)

11、，則向量的坐標(biāo)（x,y）就是終點(diǎn) A 的坐標(biāo)，即若=（x,y） ，OAxiy j OA OA 則 A 點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y） ，反之亦成立。 （O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）3 3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1 1）加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算）加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算向量ab+ab-aba坐標(biāo)（x1,y1）(x2,y2)(x1+x2, y1+ y2)(x1-x2, y1-y2)（x1,y1）（2 2）向量坐標(biāo)的求法）向量坐標(biāo)的求法已知 A（x1,y1） ，B(x2,y2)，則=（x2-x1，y2-y1） ，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向AB 量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。（3 3）平面向量共線的坐標(biāo)表示）平面向量共

12、線的坐標(biāo)表示設(shè)=（x1,y1） ，=(x2,y2)，其中0，則與共線= x1y2- abbababx2y1=0。注：=（x1,y1） ，=(x2,y2)， ，則/的充要條件不能寫成，因?yàn)?x2,y2aab1122xyxy有可能為 0，故應(yīng)表示成 x1y2- x2y1=0?！緹狳c(diǎn)難點(diǎn)精析熱點(diǎn)難點(diǎn)精析】一、平面向量的概念及其線性運(yùn)算一、平面向量的概念及其線性運(yùn)算（一）向量的有關(guān)概念（一）向量的有關(guān)概念相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接1、著重理解向量以下幾個(gè)方面：（1）向量的模；（2）向量的方向；（3）向量的幾何表示；（4）向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)。2、判定兩個(gè)向量的關(guān)系時(shí)，特別注意以下兩種特殊情況：（1）零向量的方向及與

13、其他向量的關(guān)系；（2）單位向量的長(zhǎng)度及方向。例題解析例題解析【例例 1 1】給出下列命題：有向線段就是向量，向量就是有向線段；若則 ABCD 為平行四邊形；,ABDC 若/ / , / / ,ab bcac 則；若。/ / , / / ,/ /ab bcac 則其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3思路解析：思路解析：正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵。注意到特殊情況，否定某個(gè)命題只要舉出一個(gè)反倒即可。解答：解答：選 B。錯(cuò)，向量可用有向線段表示，但并不是有向線段。錯(cuò)，因?yàn)閯t可能 A、B、C、D 四點(diǎn)在一條直線上。正確。錯(cuò)，若，則對(duì)不共線,ABDC 0b 的向量

14、與，也有/，/，但與不平行。aca00cac【例 2】下列結(jié)論中，不正確的是 （ ）（A）向量，共線與向量/同義；AB CD AB CD （B）若向量/，則向量與共線；AB CD AB DC（C）若向量=，則向量=；AB CD BA DC（D）只要向量，滿足|=|，就有=。ababab解答：選 D。根據(jù)平行向量（或共線向量）定義知 A，B 均正確；根據(jù)向量相等的概念知 C 正確，D 不正確。（二）向量的線性運(yùn)算（二）向量的線性運(yùn)算相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接（1）用已知向量來(lái)表示別外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加、減法、數(shù)乘向量外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理；（2）在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化

15、到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量求解。注：注：若 A 為 BC 的中點(diǎn)，則例題解析例題解析例例 11在 ABC 中，2,/ /DEN3ADAB DEBCAC 交于E, BC 邊上的中線AM 交于。,BC DDN AMABa ACba bAEEAN 用表示向量、思路解析思路解析：解本題要進(jìn)行向量的加、減法外，還有數(shù)乘向量運(yùn)算，如211,333ABAD DBABa 在進(jìn)行計(jì)算時(shí)要充分利用11.33BDABa ABC，ADNABM 等條件。/ /DEBCADE 解答：解答：|2

16、22333DEBCAEACbADAB 由 ADEABC，得，又 AM 是.BCACABba 22()33DEBCba ABC 的中線，DE/BC，且 AM 與 DE 交于點(diǎn) N，得11().23DNDEba111()()222AMABBMaBCabaab 22在 OAB 中，延長(zhǎng) BA 到 C，使 AC=BA，在 OB 上取點(diǎn) D，使。DC 與 OA 交于 E，設(shè)13DBOB 用表示向量及向量。,OAa OBb , a b OCDC解答：解答：A 是 BC 的中點(diǎn)，即1()2OAOBOC 22,OCOAOBab 22522.333DCOCODOCOBabbab （三）向量的共線問(wèn)題（三）向量的

17、共線問(wèn)題例例設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線，ab（1）若求證：A、B、D 三點(diǎn)共線；,28 ,3().ABab BCab CDab （2）試確定實(shí)數(shù) k，使和共線kabakb思路解析：思路解析：（1）由已知求判斷和的關(guān)系判斷 A、B、D 的關(guān)系；BD AB BD （2）應(yīng)用共線向量的充要條件列方程組解方程組得 k 值。解答：解答：（1）,28 ,3().ABab BCab CDab 283()28335()5BDBCCDabababababAB 、共線，又它們有公共點(diǎn) B，A、B、D 三點(diǎn)共線AB BD （2）和共線，存在實(shí)數(shù) ，使=（） ，即=kabakbkabakbkab。、是不共線的兩個(gè)非零向量

18、，akb()(1) .kakbab=，-1=0。=1。k1k2kk注：注：（1）向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線量時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運(yùn)用和方程思想。（2）證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線。二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（一）平面向量基本定理及其應(yīng)用（一）平面向量基本定理及其應(yīng)用相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接1、以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同；2、對(duì)于兩個(gè)

19、向量，將它們用同一組基底表示，我們可通過(guò)分析這兩個(gè)表示式的ab關(guān)系，來(lái)反映與的關(guān)系；ab3、利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算。注：由于基底向量不共線，所以不能作為一個(gè)基底向量。0例題解析例題解析例例如圖：在平行四邊形 ABCD 中，M，N 分別為 DC，BC 的中點(diǎn)，已知試用表示。,AMc ANd , c d ,AB AD 思路解析：思路解析：直接用表示有難度，可換一個(gè)角度，由表示，, c d ,AB AD ,AB AD AM ，進(jìn)而解方程組可求。AN,AB AD 解答：解答：方法一：設(shè)則將代入得得方法二：設(shè)因 M，N 分別為 C

20、D，BC 中點(diǎn)，所以因而即（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（二）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接1、向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用；2、利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題。主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）進(jìn)行求解；3、利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出線性系數(shù)；4、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，就可以使得很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算。例題解析例題解析例例已知

21、 A（-2，4） ，B（3，-1） ，C（-3，-4） 。設(shè)且,ABa BCb 求：3 ,2 ,CMc CNb （1）33 ;abc（2）滿足的實(shí)數(shù) m,n;ambnc（3）M、N 的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)。MN 思路解析：思路解析：利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系求解。解答：解答：由已知得(5, 5),( 6, 3),(1,8).abc （1）=3（5，-5）+（-6，-3）-3（1，8）=（15-6-3，-15-3-24）33abc=（6，-42）（2）( 6, 38 )(5, 5),mbncmnmn 651,3851mnmmnn 解得（3），。M（0，203CMOMOCc

22、 3(3,24)( 3, 4)(0,20)OMcOC ）又，N（9，2） 。2CNONOCb 2(12,6)( 3, 4)(9,2),ONbOC 。(9, 18)MN （三）平面向量共線的坐標(biāo)表示（三）平面向量共線的坐標(biāo)表示相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接1、凡遇到與平行有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一般地要考慮運(yùn)用向量平行的充要條件；2、向量共線的坐標(biāo)表示提供了通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決向量共線的方法，也為點(diǎn)共線、線平行問(wèn)題的處理提供了容易操作的方法。解題時(shí)要注意共線向量定理的坐標(biāo)表示本身具有公式特征，應(yīng)學(xué)會(huì)利用這一點(diǎn)來(lái)構(gòu)造函數(shù)和方程，以便用函數(shù)與方程的思想解題。例題解析例題解析例例已知當(dāng) k 為何值時(shí)，與平行；平行時(shí)它們(1,2

23、),( 3,2),ab kab3ab是同向還是反向？思路解析：思路解析：將用坐標(biāo)表示將用坐標(biāo)表示應(yīng)用共線向量的充要條件kab3ab求 k把 k 代入向量判斷結(jié)果。解答：解答：=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2） ，=（1，2）-3（-kab3ab3，2）=（10，-4） ，與平行等價(jià)于（k-3） （-4）-10（2k+2）=0，解得 k=kab3ab。故當(dāng) k=時(shí)，與平行。此時(shí)=，1313kab3abkab11(3 )33abab 與反向。kab3ab注：注：向量平行的坐標(biāo)公式裨是把向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算。通過(guò)坐標(biāo)公式建立參數(shù)的方程，通過(guò)解方程或方程組求得參數(shù)，充分體現(xiàn)了方程思

24、想在向量中的應(yīng)用。（四）向量與其他知識(shí)的綜合（四）向量與其他知識(shí)的綜合例例已知向量現(xiàn)向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。( , )ux y( ,2)vyyx( )vf u（1）設(shè)，求向量與的坐標(biāo)；(1,1),(1,0)ab( )f a( )f b（2）求使( )( , )()f cp qpqc、為常數(shù)的向量的坐標(biāo)；（3）證明：對(duì)任意的向量及常數(shù) m,n 恒有成立。a b 、()( )( )f manbmf anf b思路解析：思路解析：本題關(guān)鍵是找出“函數(shù)” 的對(duì)應(yīng)關(guān)系，此處的變量為向量的坐( )vf u標(biāo)，因此，可通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。解答：解答：（1）又(1,1),( )(1,2 1 1)(1,1)a

25、f a (1,0),( )(0,2 0 1)(0, 1).bf b （2）2( , ),( )( ,2)( , ),2(2, )ypxpqcx yf cyyxp qyxqypcpq p設(shè)則（3）12121122222211221221222211(,),( ,),(,),()(,22).( )(,2),( )(,2),( )( )(,22),()( )( ).aa abb bmanbmanb manbf manbmanbmanbmanbmf am aaanf bbbbmf anf bmanbmanbmanbf manbmf anf b設(shè)則注：注：對(duì)于信息處理題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題中所給信

26、息（注意概念的內(nèi)涵與外延） ；將所得到的信息，應(yīng)用于題目中去，即解決實(shí)際問(wèn)題（當(dāng)然注意條件與結(jié)論，往往是三段論推理） 。三、平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用舉例三、平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用舉例（一）平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算及向量的模問(wèn)題（一）平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算及向量的模問(wèn)題相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接1、向量的數(shù)量積有兩種計(jì)算方法，一是利用公式來(lái)計(jì)算，二是利用來(lái)計(jì)算，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用。2、利用數(shù)量積求長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問(wèn)題的處理方法：例例已知，與的夾角為，求：（1）ab34；（2）。(32 ) (2 )ababA|ab思路解析：思

27、路解析：利用平面向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算律，可求出第（1）問(wèn)；求可|ab先求，再開方。2()ab解答：解答：（1），32cos3 4 ()6 242a ba b AA22239,16.ab=(32 ) (2 )ababA223843 98 ( 6 2)649148 2.aa bb A（2），2222|()292 ( 6 2) 1625 12 2ababaa bb A|25 12 2ab（二）平面向量的垂直問(wèn)題（二）平面向量的垂直問(wèn)題相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接1、非零向量2、當(dāng)向量是非坐標(biāo)形式時(shí)，要把、用已知的不共線的向量表示。注：注：把向量都用坐標(biāo)表示，并不一定都能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算，要因題而異。例例已知向量，

28、 （1）求證：(cos(),sin(),(cos(),sin()22ab（2）若存在不等于 0 的實(shí)數(shù) k 和 t，使?jié)M足試求此時(shí)的最小值。思路解析：（思路解析：（1）可通過(guò)求證明（2）由得，即求出關(guān)于 k，t 的一個(gè)方程，從而求出的代數(shù)表達(dá)式，消去一個(gè)量 k，得出關(guān)于 t 的函數(shù)，從而求出最小值。解答：解答：（1）cos() cos()sin() sin()sincossincos0.22a bab AAA（2）由得：，即222322232233232222(3) ()0,(3 )(3)0(3 )0.1,1,30,3 .31113().24111.24atbkatbkatt btk ta b

29、k att babkttkttktttttttttkttt AA又故當(dāng)時(shí)，有最小值（三）平面向量的夾角問(wèn)題（三）平面向量的夾角問(wèn)題相關(guān)鏈接相關(guān)鏈接1、當(dāng)是非坐標(biāo)形式時(shí)，求的夾角。需求得及或得出它們的關(guān)系。2、若已知的坐標(biāo)，則可直接利用公式注：注：平面向量的夾角例題解析例題解析例例已知都是非零向量，且與垂直，與垂75ab4ab72ab直，求與的夾角 。ab思路解析：思路解析：把向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為 0聯(lián)立求與的關(guān)系應(yīng)用夾角公式求ab結(jié)果。解答：解答：222222222(3 ) (75 )0,(4 ) (72 )0.716150730802,112cos.602ababababaa bbaa b

30、ba bbabba ba bbAA A A A A A由已知：即兩式相減，得代入其中任一式，得，（四）向量的綜合應(yīng)用（四）向量的綜合應(yīng)用例例 11設(shè) ABC 的外心為 O，則圓 O 為 ABC 的外接圓，垂心為 H。求證：思路解析思路解析：本題的關(guān)鍵是探求的聯(lián)系，利用向量的三角形法則可得下一步需確定的關(guān)系，由條件 O 為ABC 的外心，可延長(zhǎng) BO 交圓于 O 于點(diǎn) D，連 AD、DC，利用圓周角是直角的性質(zhì)可證四邊形 ANCD 為平行四邊形，從而問(wèn)題得以解決。解答：解答：延長(zhǎng) BO 交圓 O 于 D 點(diǎn)，連 AD、DC，則 BD 為圓 O 的直徑，故BCD=BAD=900。又AEBC，DCB

31、C。各 AH/DC，同理 DA/CH。四邊形 ANCD 為平行四邊形，。又又注：注：利用平面向量的知識(shí)解決平面幾何問(wèn)題，關(guān)鍵是充分挖掘題目中的條件，本題中O 為外心，H 為垂心，在本題中作用最大；另外，平面解析幾何中的一些性質(zhì)在解題中也有很大的用處。例例 22已知力與水平方向的夾角為（斜向上） ，的大小為 50N，拉著一個(gè)F030FF重 80N 的木塊在摩擦系數(shù)的水平平面上運(yùn)動(dòng)了 20m，問(wèn)和摩擦力所做的功Ff分別是多少？思路解析：思路解析：力在位移上所做的功，是向量乘積的物理含義，要先求出力，和位移Ff的夾角，然后應(yīng)用數(shù)量積公式求解。解答：解答：設(shè)木塊的位移為則，在鉛F垂方向上分力大小為摩擦

32、力的大小為f，(8025) 0.021.1()fN 所做的功分別是 500J、22J。3注：注：力在力的位移上所做的功，就是力與位移所對(duì)應(yīng)兩向量的數(shù)量積。故在解決此類問(wèn)題時(shí)可轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算，據(jù)題意構(gòu)造平面圖形，把已知、所求各量用向量的對(duì)應(yīng)量表示出來(lái)。然后結(jié)合向量的加減法及平面幾何的知識(shí)求得向量的模及夾角，再利用數(shù)量積的運(yùn)算公式求得力對(duì)物體所做的功?！靖形蚋呖颊骖}感悟高考真題】1.(2009 年廣東卷文)已知平面向量 a=,1x（） ，b=2, x x（）， 則向量ab A 平行于x軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 C.平行于y軸 D.平行于第二、四象限的角平分線 【答案】【解析】ab2

33、(0,1)x,由210 x及向量的性質(zhì)可知,C 正確.2.（2009 廣東卷理）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力123,F F F（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分別為 2 和 4，則3F的大小為 A. 6 B. 2 C. 2 5 D. 2 7 【解析】28)60180cos(20021222123FFFFF，所以723F，選 D.3.（2009 浙江卷理）設(shè)向量a，b滿足：| 3a，| 4b，0a b以a，b，ab的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 ( ) A3 B4 C5 D6答案：C 【解析】對(duì)于半徑為 1 的圓有一個(gè)位置

34、是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn)，對(duì)于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實(shí)現(xiàn) 4 個(gè)交點(diǎn)的情況，但 5 個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn)4. （20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 理數(shù)）理數(shù)） （8）ABCV中，點(diǎn)D在AB上，CD平方ACB若CBauur，CAbuu r，1a ，2b ，則CD uuu r（A）1233ab （B）2133ab （C）3455ab （D）4355ab【答案】B 【命題意圖】本試題主要考查向量的基本運(yùn)算，考查角平分線定理.【解析】因?yàn)镃D平分ACB，由角平分線定理得ADCA2=DBCB1，所以 D 為 AB 的三等分點(diǎn)，且22ADAB(CBCA)33 ，所以2121

35、CDCA+ADCBCAab3333 ，故選 B.5. （20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 文數(shù)）文數(shù)） （10）ABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上，CD 平分ACB，若CB = a , CA = b , a= 1 ，b= 2, 則CD =（A）13a + 23b （B）23a +13b （C）35a +45b （D）45a +35b【解析解析】B】B：本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)：本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識(shí) CDCD 為角平分線，為角平分線， 12BDBCADAC， ABCBCAab ， 222333ADABab ， 22213333CDCAADbabab 6. （20102010 上

36、海文數(shù)）上海文數(shù)）13.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在原點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 5,0)，1(2,1)e 、2(2, 1)e 分別是兩條漸近線的方向向量。任取雙曲線上的點(diǎn)P，若12OPaebe （a、bR） ，則a、b滿足的一個(gè)等式是 4ab1 。解析：解析：因?yàn)?(2,1)e 、2(2, 1)e 是漸進(jìn)線方向向量，所以雙曲線漸近線方程為xy21，又1, 2,5bac雙曲線方程為1422 yx，12OPaebe =),22(baba，1)(4)22(22baba，化簡(jiǎn)得 4ab17. （20102010 天津理數(shù)）天津理數(shù)） （15）如圖，在ABCA中，ADAB,3BCBD ,1AD ,

37、則AC AD A .【答案】D【解析】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于難題。| |cos| cos|sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 【解析】近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問(wèn)題。8. （20102010 江蘇卷）江蘇卷）15、 （本小題滿分 14 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1)求以線段 AB、AC 為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)設(shè)實(shí)數(shù) t 滿足(OCtAB)OC=0，求 t 的值。解析本小題

38、考查平面向量的幾何意義、線性運(yùn)算、數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力。滿分 14分。（1） （方法一）（方法一）由題設(shè)知(3,5),( 1,1)ABAC ，則(2,6),(4,4).ABACABAC 所以| 2 10,| 4 2.ABACABAC 故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4 2、2 10。（方法二）（方法二）設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為 D，兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為 E，則:E 為 B、C 的中點(diǎn)，E（0，1）又 E（0，1）為 A、D 的中點(diǎn)，所以 D（1，4） 故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為 BC=4 2、AD=2 10；（2）由題設(shè)知：OC=(2,1)，(32 ,5)ABtOCtt 。由(OCtAB)

39、OC=0，得：(32 ,5) ( 2, 1)0tt ，從而511,t 所以115t 。或者：2 AB OCtOC ，(3,5),AB 2115|AB OCtOC 【考點(diǎn)精題精練考點(diǎn)精題精練】一、選擇題一、選擇題1若向量（ B ）(1,1),(1, 1),( 1,2),abcc 則ABCDba2321ba2321ba2123ba21232設(shè)是任意的非零平面向量，且相互不共線，有以下結(jié)論,a b c ； ；0)()(baccba|abab 不與； ()()b cac ab c垂直22(32 ) (32 )9|4|ababab其中正確的是（ D ）A B C D 3若、為任意向量，則下列等式不一定成立的是（ D ）abcRmAB)()(cbacba()abca cb c CD()m abmamb)()(cbacba4設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為 O，拋物線與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于 A、B 兩點(diǎn)，則（ xy22OBOAB ）ABC3D343435平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn) A（3，