第十五講 綜合型動態(tài)問題

1、第十五講 綜合型動態(tài)問題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線ymx 22mx2（m0）與y軸交于點(diǎn)A，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)B（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線l與直線AB關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱，求直線l的解析式；Oxy（3）若該拋物線在2x 1這一段位于直線l的上方，并且在2x 3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式解：（1）當(dāng)x0時(shí)，y2，A（0，2）ymx 22mx2m( x1 )2m2拋物線的對稱軸為直線x1B（1，0）（2）由題意，點(diǎn)A關(guān)于直線x1的對稱點(diǎn)為A（2，2）則直線l經(jīng)過點(diǎn)A、B設(shè)直線l的解析式為ykxb則 解得 直線l的解析式為y2x2（3）拋物線的對稱軸為x1，

2、直線AB和直線l也關(guān)于直線x1對稱拋物線在2x 3這一段位于直線AB的下方拋物線在1x 0這一段位于直線l的下方y(tǒng)xOBAAl12223又拋物線在2x 1這一段位于直線l的上方拋物線與直線l的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1當(dāng)x1時(shí)，y2×(1 )24拋物線過點(diǎn)（1，4）m2m24，m2與在1x 0這一段關(guān)于對稱軸對稱結(jié)合圖象可以觀察到拋物線在2x 1這一段位于直線l的上方在1x 0這一段位于直線l的下方拋物線與直線l的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1當(dāng)x1時(shí)，m2m24，m2拋物線的解析為y2x 24x22對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和C，給出如下定義：若C上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得APB60°，則

3、稱P為C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)已知點(diǎn)D（ ， ），E（0，2），F(xiàn)（2，0）PABO圖1（1）當(dāng)O的半徑為1時(shí)，在點(diǎn)D，E，F(xiàn)中，O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是_；過點(diǎn)F作直線l交y軸正半軸于點(diǎn)G，使GFO30°，若直線l上的點(diǎn)P（m，n）是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；（2）若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍圖2GyMN11FxOl解：（1）D、E當(dāng)OP2時(shí)過點(diǎn)P向O作兩條切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)），如圖1則APB60°點(diǎn)P是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)事實(shí)上，當(dāng)0OP 2時(shí)，點(diǎn)P是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)當(dāng)OP 2時(shí)，點(diǎn)P不是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)F（2，0），且GFO30°OGF60°，O

4、F2，OG2以O(shè)為圓心，OG為半徑作圓設(shè)該圓與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為M，如圖2當(dāng)點(diǎn)P在線段GM上時(shí)，OP 2，點(diǎn)P是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)yxOECABFr圖3N當(dāng)點(diǎn)P在線段GM的延長線或反向延長線上時(shí)，OP 2，點(diǎn)P不是O的關(guān)聯(lián)點(diǎn) 連接OM，可知GOM為等邊三角形 過點(diǎn)M作MNx軸于點(diǎn)N 可得MON30°，ON0m （2）設(shè)該圓的圓心為C由（1）可知，若點(diǎn)P是C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則0PC 2r線段EF上的所有點(diǎn)都是C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)EC 2r，F(xiàn)C 2r ECFC 4r又ECFC EF（當(dāng)點(diǎn)C在線段EF上時(shí)，等號成立）4r EF E（0，2），F(xiàn)（2，0），EF44r 4，r 1事實(shí)上，當(dāng)點(diǎn)C是EF的中點(diǎn)時(shí)，對

5、所有r 1的C，線段EF上的所有點(diǎn)都是C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)綜上所述，該圓的半徑r的取值范圍是r 13.如圖，直線yx2與拋物線yx 22mxm 2m交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，拋物線的對稱軸與直線AB交于點(diǎn)M（1）若P為直線OD上一動點(diǎn)，求APB的面積；（2）當(dāng)四邊形CODM是菱形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；BACDxOMy（3）作點(diǎn)B關(guān)于直線MD的對稱點(diǎn)B，以M為圓心，MD為半徑作M，點(diǎn)Q是M上一動點(diǎn)，求QB QB的最小值解：（1）由 解得 A在B的左側(cè)，A（m1，m1），B（m2，m4）AB3yx 22mxm 2m( xm )2m，D（m，m）BACDxOMyBPDOx4

6、5°，COD45°直線yx2與y軸交于點(diǎn)C，C（0，2）OC2易得直線OD的解析式為yx直線AB的解析式為yx2，ABOD直線AB與OD之間的距離h OCSAPB AB·h ×3×3（2）ABOD，OCDM，四邊形CODM是平行四邊形BACDxOMyQBEF若四邊形CODM是菱形，則ODOC2m 22 2，m±點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，）（3）四邊形CODM是平行四邊形MQMDOC2A（m1，m1），B（m2，m4）點(diǎn)B到對稱軸的距離為m2m2，MB2取MB中點(diǎn)E，則MEMQ 24ME·MB，又QMEBMQQMEBMQ， QE

7、 QB QB QB的最小值即為QBQE的最小值，為線段BE的長 設(shè)直線MD與M相交于另一點(diǎn)F 點(diǎn)B關(guān)于直線MD的對稱點(diǎn)為B BMFBMF45°，MBMB2BMB90°BE 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且AB10（1）如圖1，以AB為斜邊作等腰RtABC，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，求直線OC所對應(yīng)的函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8），求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）如圖2，M為AB的中點(diǎn)，D、E分別為x軸、y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且DE10，以DE為邊在第三象限內(nèi)作正方形DEFG，求線段MG長度的最大值，并直接寫出此時(shí)直線MG所對

8、應(yīng)的函數(shù)的解析式OxABCy圖1OxAByM圖2DEFG（1）過點(diǎn)C分別作CPx軸于P，CQy軸于Q則四邊形OPCQ是矩形，QCP90°BCA90°，ACPBCQACBC，ACPBCQCQCPOxABCyPQ點(diǎn)C在第一象限,設(shè)C（a，a），直線OC所對應(yīng)的函數(shù)解析式為ykxaka，k1直線OC所對應(yīng)的函數(shù)解析式為yx（2）ABC是等腰直角三角形AC AB ×105OxAByMDEFGN設(shè)C（a，a），則QCQOa在RtBQC中，a 2( 8a )2( 5 )2解得a11（舍去），a27C（7，7）（3）取DE的中點(diǎn)N，連接ON、GN、OMAOB=90°，

9、OM AB5同理ON5正方形DEFG，N為DE中點(diǎn)，DE10DG10，DN5NG 5在點(diǎn)M與G之間總有MG MOONNGOxAByMDEFGNH由于DNG的大小為定值，只要DON DNG，且M、N關(guān)于點(diǎn)O中心對稱時(shí)，M、O、N、G四點(diǎn)共線，此時(shí)等號成立線段MG取最大值105此時(shí)直線MG的解析式為y x提示：過D作DHNG于H由DHNGDN，得NH，DH2OHONNH5tanMOAtanDOH 設(shè)直線MG的解析式為ykx，P（t， t）是直線MG上一點(diǎn) tkt，k 直線MG的解析式為y x5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y1ax 2bx過點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（3，）（1）求拋物線y1的解析式

10、；（2）將拋物線y1沿x軸翻折得拋物線y2，求拋物線y2的解析式；OABxy（3）在（2）的條件下，拋物線y2上是否存在點(diǎn)P，使得以O(shè)、A、P為頂點(diǎn)的三角形與OAB相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（1）拋物線y1ax 2bx過點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（3，） 解得a ，b 拋物線y1的解析式為y1 x 2 x（2）將拋物線y1沿x軸翻折后，仍過點(diǎn)O（0，0），A（6，0），且過點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B（3，）設(shè)拋物線y2的解析式為y2mx 2nx 解得a ，b 拋物線y2的解析式為y2 x 2 xOACBxyBPD（3）過點(diǎn)B作BCx軸于C 則tanBOC BOC30°

11、，OBC60°OC3，OA6，AC3BAC30°，OBA120° OBAB即OAB是頂角為120º的等腰三角形分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)OAP就是OAB，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，假設(shè)OPAOAB則有PAOA6，OAP120°過點(diǎn)P作PDx軸于D，則PAD60°PD3，AD3，OD9經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P（9，3）滿足關(guān)系式y(tǒng)2 x 2 x即點(diǎn)P在拋物線y2 x 2 x上根據(jù)對稱性可知，點(diǎn)（3，3）也滿足條件綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（3，），P2（9，3），P3（3，3）MOBAxy6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

12、頂點(diǎn)為M的拋物線yax 2bx（a 0）經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，AOOB2，AOB120°（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）聯(lián)結(jié)OM，求AOM的大??；（3）如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解：（1）AOOB2，AOB120°點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）拋物線yax 2bx（a 0）經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B 解得 拋物線的表達(dá)式y(tǒng) x 2 x（2）y x 2 x ( x1 )2 MOBAxyCH拋物線的對稱軸為直線x1，頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（1， ）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)H在RtOMH中，tanMOH MOH30°AOM120°

13、;30°150°（3）AOOB2，AOB120°ABOBAO30°ABC與AOM相似，只有點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)此時(shí)ABCAOM150°MOBAxyCH 或 即 或 BC2或BC6OC4或OC8點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）或（8，0）AOBxyDM7.如圖，已知點(diǎn)M（4，0），以點(diǎn)M為圓心MO長為半徑作圓交x軸于點(diǎn)A、O兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC交y軸于點(diǎn)B，sinBAO （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)，且CMCO的值最小，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若直線ykxb（k0）經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），且與M相交，求b的取值范圍解：（1）M（4，0），MO4，

14、AO2MO8在RtAOM中，sinBAO 設(shè)OB3m，則AB5m，AO 4m4m8，m2，OB6，AB10B（0，6）（2）作點(diǎn)M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)M ，連接M O交AB于C，則點(diǎn)C即為所求的點(diǎn)連接M M交AB于N，作M GAM于G，NHAM于H則MNHBAOAOMBxyCM NGHAO8，AB10，cosBAO AM4，NMAM·sinBAO4× HMNM·sinBAO × ，NHNM·cosBAO × GM2HM ，M G2NH GOGMMO 4 M （ ，）設(shè)直線OM 的解析式為yk1x則 k1，k1 ，y x設(shè)直線AB的解析

15、式為yk2xb2則 解得 y x6解方程組 得 C（ ，）（3）過D作M的切線DE、DF，E、F為切點(diǎn)，連接ME，作EKMD于KD（2，0），OD2，MDMOOD426 DE 2AOMBxyDEFKEKMD，MEDE，MEKMDE ， MK ，EK KOMOMK4 E（ ， ）設(shè)切線DE的解析式為yk3xb3則 解得 切線DE的解析式為y x 由對稱性可知，切線DF的解析式為y x 直線ykxb（k0）經(jīng)過點(diǎn)D（2，0），且與M相交b的取值范圍是： b 且b 08.如圖，拋物線yx 22x3與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)是點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PBx軸于點(diǎn)B，平移該拋物線，使其經(jīng)過A、B兩點(diǎn)OCBxyPA（1）

16、求平移后拋物線的解析式及其與x軸另一交點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）D是直線OP上一點(diǎn)，若CDPAOP，求點(diǎn)D的坐標(biāo)解：（1）由題意得：A（0，3）yx 22x3( x1 )22P（1，2），B（1，0）設(shè)平移后拋物線的解析式為yx 2bxc經(jīng)過A、B兩點(diǎn) 解得 平移后拋物線的解析式為yx 24x3 令y0，得x11，x23點(diǎn)C（3，0）（2）直線OP過P（1，2）OCBxyPAD2D1直線OP解析式為y2xAOPB，AOPOPBD是直線OP上一點(diǎn)，CDPAOPOPBCDP若點(diǎn)D在點(diǎn)P上方，則DCPB點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3當(dāng)x3時(shí)，y2x6D1（3，6）若點(diǎn)D在點(diǎn)P下方則CD2POPBCD1P，CD2CD16設(shè)

17、D2（x，2x），則( x3 )2( 2x )26 2解得x13，x2 xD2（ ， ）9.將拋物線yx 2平移，平移后的拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（1）求平移后的拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）ACB與ABD是否相等？請證明你的結(jié)論；CBAxyDO（3）點(diǎn)P在平移后的拋物線的對稱軸上，且CDP與ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解：（1）設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為yx 2bxc把A（1，0），B（3，0）代入，得： 解得 所求拋物線的表達(dá)式為yx 22x3yx 22x3( x1 )24點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）（2）ACBABD當(dāng)x0時(shí)，yx 22x33CB

18、AxyDOPEC（0，3），OBOCOBCOCB45°易得BC3，BD2，CDBC 2CD 2( 3 )2( )220( 2 )2BD 2BCD是直角三角形且BCD90°tanCBD ，tanOCA OCACBDACBOCAOCB，ABDCBDOBCACBABD（3）過C作CEDP于E則CE1，DE431，CEDECBAxyDOPEFGCDE45°CDP與ABC相似有兩種情況：PCDACBBCPPCD90°BCPACB90°，即ACP90°OCAECP90°OCPOCAECP， 3EP CE ，P1（1，）PCDCAB在OC

19、上取點(diǎn)F，使OFOA，在EC上取點(diǎn)G，使EGEP，連接AF、PG設(shè)EGEPy則AF，CF312，CG1y，CFAPGC135°CAFCAB45°，PCGPCD45°CAFPCG，CAFPCG ， 解得y ，P2（1，）10.如圖，拋物線y x 2bxc與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸為直線x2（1）求拋物線的解析式；（2）連接BD并延長交y軸于點(diǎn)E，連接AE，求tanAEC的值；OBAECxDy（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在點(diǎn)P，使PEDACO？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解：（1）拋物線y

20、 x 2bxc過點(diǎn)B（3，0），對稱軸為直線x2 解得 拋物線的解析式為y x 2 x2（2）令 x 2 x20，解得x11，x23A（1，0），OA1y x 2 x2 ( x2 )2 ，D（2， ）設(shè)直線BD的解析式為ykxmOBAECxDyGP 解得 直線BD：y x2E（0，2），OE2tanAEC （3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)BOCE，OCOE2，BCBE BEOBCOPEDACO，OEPACB過點(diǎn)A作AGBC于G 則ABGCBO， OA1，OB3，OC2，AB2，BC ，AG ，BG CGBCBG tanOEPtanACB OP OE ，P（ ，0）當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)由對稱性可得

21、，P（ ，0）11.如圖，已知拋物線yx 2bxc的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）（1）求直線BC與拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNy軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，ABN的面積為S2，且S16S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)xBAOy解：（1）拋物線yx 2bxc與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）將B（5，0）、C（0，5）代入yx 2bxc解得

22、：b6，c5拋物線的解析式為yx 26x5將B（5，0）代入直線BC解析式y(tǒng)kx5，解得：k1直線BC的解析式為yx5（2）設(shè)M（x，x 26x5），則N（x，x5）MNx5( x 26x5 )x 25x( x )2 MN的最大值為 MPNxBAOEDy（3）由（2）知：M（ ， ），N（ ，）令x 26x50，解得：x11，x25A（1，0），AB4S2SABN ××45 S16S230過點(diǎn)C作CDPQ，與PQ所在直線交于點(diǎn)D，PD交y軸于點(diǎn)EB（5，0），C（0，5），BC5，OCB45°5CD30，CD3 CE6，OE1平行四邊形CBPQ的邊PQ所在直線，在

23、直線BC的兩側(cè)可能各有一條，但點(diǎn)P在x軸下方 PQ所在直線的解析式為yx1點(diǎn)P同時(shí)在拋物線和直線PQ上 x 26x5x1，解得：x12，x23P1（2，3），P2（3，4）12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax 2bx4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C已知OA1，OCOB（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）若D（2，m）在該拋物線上，連接CD、DB，求四邊形OCDB的面積；CyxMABDOCyxOAB25題圖（3）設(shè)E是該拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EHx軸于點(diǎn)H，再過點(diǎn)F作FGx軸于點(diǎn)G，得到矩形

24、EFGH在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長解：（1）yax 2bx4，OA1，OCOB點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)B在原點(diǎn)右側(cè)A（1，0），B（4，0），代入yax 2bx4得： 解得 這個(gè)拋物線的解析式為yx 23x4（2）當(dāng)x2時(shí)，y2 23×246D（2，6）過D作DMOB于M則OC4，OM2，BM2，DM6S四邊形OCDB S梯形OCDM SBDMCyxOABEHFGCyxOABEFHG ( 46 )×2 ×2×616（3）yx 23x4( x )2 拋物線的對稱軸是直線x 設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，x 23x4）則EF2( x )2

25、x3，EH|x 23x4|矩形EFGH為正方形，2x3|x 23x4|當(dāng)E點(diǎn)在x軸上方時(shí)，2x3x 23x4解得x （舍去負(fù)值）EF2x32即該正方形的邊長為 2當(dāng)E點(diǎn)在x軸下方時(shí)，2x3(x 23x4 )解得x （舍去負(fù)值）EF2x32即該正方形的邊長為 2綜上所述，該正方形的邊長為 2或 213.如圖，二次函數(shù)yax 2bx3的圖象與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），一次函數(shù)ymxn的圖象經(jīng)過點(diǎn)B和二次函數(shù)圖象上另一點(diǎn)A已知點(diǎn)A的坐標(biāo)（4，3），tanABC （1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，求ABP面積S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；P

26、ABCOxy（3）點(diǎn)M是直線AB上一點(diǎn)，且與點(diǎn)A的距離是到x軸距離的 倍，求點(diǎn)M的坐標(biāo)PQABCOxyD解：（1）過點(diǎn)A作ADx軸于點(diǎn)DA（4，3），OD4，AD3tanABC ，BD6BO2，B（2，0）二次函數(shù)yax 2bx3的圖象經(jīng)過A（4，3）、B（2，0） 解得 二次函數(shù)的解析式為y x 2 x3一次函數(shù)ymxn的圖象經(jīng)過A（4，3）、B（2，0） 解得 一次函數(shù)的解析式為y x1（2）過點(diǎn)P作PQx軸，交AB于點(diǎn)Q 設(shè)P（x， x 2 x3），則Q（x， x1）S ( x1 x 2 x3 )·6 x 23x12 ( x1 )2 0，且0x 3當(dāng)x1時(shí)，S有最大值 此時(shí)點(diǎn)P

27、的坐標(biāo)為（1，3）（3）設(shè)M（x， x1）則點(diǎn)M到x軸的距離| x1|，MA 由題意得： ·| x1|化簡得：x 212x200，解得：x12，x210M1（2，2），M,2（10，6）14.已知拋物線y1ax 2bxc（a0）的對稱軸是直線l，頂點(diǎn)為M若自變量x和函數(shù)值y1的部分對應(yīng)值如下表所示：x103y1ax 2bxc00（）求y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（）若經(jīng)過點(diǎn)T（0，t）作垂直于y軸的直線l，A為直線l 上的動點(diǎn)，線段AM的垂直平分線交直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對稱點(diǎn)為P，記P（x，y2）求y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，若對于同一個(gè)x，有y1y2恒成立

28、，求t的取值范圍解：（）由已知，拋物線y1ax 2bxc經(jīng)過點(diǎn)（0，），得c y1ax 2bx 點(diǎn)（1，0）、（3、0）在拋物線y1ax 2bx 上 解得 xOl1BAlTCMQPyy1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1 x 2 x （）y1 x 2 x ( x1 )23直線l為x1，頂點(diǎn)M（1，3）根據(jù)題意，得t3 如圖，記直線l與直線l 交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C（1，t）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合時(shí) 由已知，AM與BP互相垂直平分四邊形ABMP為菱形，有PAl 又點(diǎn)P（x，y2），則點(diǎn)A（x，t）（x1）PMPA| y2t| 過點(diǎn)P作PQl于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（1，y2）QM| y23|，PQAC| x1| 在RtPQ

29、M中，由PM 2QM 2PQ 2，得( y2t )2( y23 )2( x1 )2整理得y2 ( x1 )2 即y2 x 2 x 當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合可知點(diǎn)P（1，），其坐標(biāo)也滿足上式 y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2 x 2 x （t3）根據(jù)題意，借助函數(shù)圖象：當(dāng)拋物線y2開口方向向上時(shí)，62t 0，即t 3時(shí) 拋物線y1的頂點(diǎn)M（1，3），拋物線y2的頂點(diǎn)（1，）由3 ，可知不符合題意 當(dāng)拋物線y2開口方向向下時(shí)，62t 0，即t 3時(shí)y1y2 ( x1 )23 ( x1 )2 ( x1 )2 若3t110，要使y1y2恒成立只要拋物線y ( x1 )2 開口方向向下，且頂點(diǎn)（

30、1，）在x軸下方3t 0，只要3t110，解得t ，符合題意 若3t110，y1y2 0，即t 也符合題意綜上，可以使y1y2恒成立的t的取值范圍是t 15.如圖，直線l：y xm與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（0，1），拋物線y x 2bxc經(jīng)過點(diǎn)B，與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C（4，n）（）求n的值和拋物線的解析式；（）點(diǎn)D在拋物線上，DEy軸交直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（0t 4），矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值（）將AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A1O1B1（點(diǎn)A1、O1、B1分別與點(diǎn)A、O、B對應(yīng)

31、），若A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請直接寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)BCAxyEDFGlO解：（）直線l：y xm經(jīng)過點(diǎn)B（0，1），m1直線l的解析式為y x1直線l：y x1經(jīng)過點(diǎn)C（4，n）n ×412拋物線y x 2bxc經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）和點(diǎn)C（4，2）BCAxyEDFGlO 解得 拋物線的解析式為y x 2 x1（）直線l：y x1與x軸交于點(diǎn)AA（ ，0），OA B（0，1），OB1，AB DEy軸，OBAFED又DFEAOB90°，OABFDE ， FD DE，F(xiàn)E DE p2( FDFE )2( DE DE ) DE 點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，D（

32、t， t 2 t1）E（t， t1），且0t 4DE t1( t 2 t1 ) t 22t p ( t 22t ) t 2 t（0t 4）p t 2 t ( t2 )2 當(dāng)t2時(shí)，p有最大值 （）A1（ ， ）或A1（ ， ）提示：AOB繞平面內(nèi)某點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A1O1B1（點(diǎn)A1、O1、B1分別與點(diǎn)A、O、B對應(yīng)）且A1O1B1的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上 頂點(diǎn)O1、B1落在拋物線上或頂點(diǎn)A1、B1落在拋物線上當(dāng)O1、B1落在拋物線上時(shí)，則A1O1y軸，O1B1x軸O1、B1關(guān)于拋物線的對稱軸對稱BCAxylOA1MO1B1y x 2 x1 ( x )2 拋物線的對稱軸為直

33、線x O1B1OB1，點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)為： 當(dāng)x 時(shí)，y ×( )2 × 1 O1（ ， ）BCAxylOA1O1B1MA1O1AO ，點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)為： A1（ ， ）當(dāng)A1、B1落在拋物線上時(shí)設(shè)A1（a， a 2 a1），則B1（a1， a 2 a1 ）點(diǎn)B1在拋物線上， a 2 a1 ( a1 )2 ( a1 )1解得a A1（ ， ）16.如圖1，拋物線yx 2x4與y軸交于點(diǎn)A，E（0，b）為y軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線yxb與拋物線交于B、C兩點(diǎn)（）當(dāng)b0時(shí)（如圖2），求ABE與ACE的面積；（）當(dāng)b4時(shí)，ABE與ACE的面積大小關(guān)系如何？請說明理由；（）是否存在這

34、樣的b，使得BOC是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，求出b值；若不存在，說明理由OCxyBA圖2(E)OCxyEBA圖1解：（）當(dāng)b0時(shí)，直線為yxOCxyEBAFG由 解得 B（2，2），C（2，2）SABE ×4×2，SACE ×4×2（）當(dāng)b4時(shí)，SABE SACE理由如下：由 解得 B（，b），C（，b）作BFy軸于F，CGy軸于G則BFCGOCxyEABFGCOxyBAEFGABE和ACE是同底的兩個(gè)三角形SABE SACE（）存在這樣的bBFCG，BEFCEG，BFECGE90°BEFCEG，BECE即E為BC的中點(diǎn)當(dāng)OECE時(shí)，

35、OBC為直角三角形GEbbGCCE·，而OE| b|·| b|，解得b14，b22當(dāng)b4或2時(shí)，BOC是以BC為斜邊的直角三角形17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動，連接CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD過P，D，B三點(diǎn)作Q，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長DQ交Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF（1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A，B兩點(diǎn)）上時(shí)求證：BDEADP；設(shè)DEx，DFy，請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）請你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂

36、點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2 : 1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由OBxACy（備用圖）QOBxAPFECyD解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為ykx4代入（4，0）得：4k40k1直線AB的函數(shù)解析式為yx4（2）由已知得：OBOC，BODCOD90°又ODOD，BODCOD，BODCDOQOBxAPFECyDCDOADP，BDEADP連結(jié)PEADP是DPE的一個(gè)外角ADPDEPDPEBDE是ABD的一個(gè)外角，BDEABDOAB，ADPBDE，DEPABDDPEOAB OAOB4，AOB90° OAB45°，DPE45°

37、;DFEDPE45° DF是Q的直徑，DF90° DEF是等腰直角三角形DFDE，即yxQOBxAPFECyDH（3）當(dāng)BD :BF2 : 1時(shí) 過點(diǎn)F作FHOB于點(diǎn)HDBOOBF90°，OBFBFH90°DBOBFH又DOBBHF90°，BODFHB 2FH2，OD2BHFHOEOHOEF90°四邊形OEFH是矩形，OEFH2EFOH4 ODDEEF，2OD4 OD解得：OD ，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，）直線CD的解析式為y x yADOEFBxPCQG聯(lián)立方程組 解得 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）當(dāng)BD :BF1 : 2時(shí)，連結(jié)EB，同（2

38、）可得，ADBEDP,而ADBDEBDBE，EDPDAPDPA又DEBDPA，DBEDAP45°DEF是等腰直角三角形過點(diǎn)F作FGOB于點(diǎn)G同理BODFGB， FG8，OD BGFGOGOEOEF90°四邊形OEFG是矩形，OEFG8EFOG42ODDEEF，8OD42OD，解得：OD ，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0， ）直線CD的解析式為y x 聯(lián)立方程組 解得 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，4）綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（8，4）18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（6，0），B（0，8）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），過點(diǎn)C作CEAB于點(diǎn)E點(diǎn)D為x軸上一動點(diǎn)，連

39、結(jié)CD，DE，以CD，DE為邊作CDEF（1）當(dāng)0m 8時(shí)，求CE的長（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)m3時(shí)，是否存在點(diǎn)D，使CDEF的頂點(diǎn)F恰好落在y軸上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）點(diǎn)D在整個(gè)運(yùn)動過程中，若存在唯一的位置，使得CDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值OADBFyxECOADBFyxEC解：（1）A（6，0），B（0，8）OA6，OB8，AB10CEBAOB90°，EBCOBABCEBAO ，即 CE mOADFByxEC（2）m3，BC8m5，CE m3BE4，AEABBE6點(diǎn)F落在y軸上，DEOBEDABOA ，即 OD 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

40、 ，0）OADBFyxEGPC（3）取CE的中點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PGy軸于點(diǎn)G則CP CE m（）當(dāng)m 0時(shí)（）當(dāng)0m 8時(shí)，易證GCPBAOcosGCPcosBAO CGCP·cosGCP ( m ) mOADBFyxE(C)OGOCCGm m m 由題意，得OGCP m m解得m （）當(dāng)m 8時(shí)，OG CP，顯然不存在滿足條件的m的值（）當(dāng)m0時(shí)，點(diǎn)C與原點(diǎn)O重合，滿足題意（）當(dāng)m 0時(shí)xO(D)A(E)yBFCP（）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)易證COAAOB ，即 解得m （）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)OGOCCGm( m ) m xOAyBGPCFED由題意，得OGCP m m解得m 綜上所述，m的值為 或0或 或 19.如圖1，已知直線l：yx2與y軸交于點(diǎn)A，拋物線y( x1 )2k經(jīng)過點(diǎn)A，其頂點(diǎn)為B，另一拋物線y( xh )22h（h 1）的