隨機過程知識點匯總情況

1、實用文檔第一章隨機過程的基本概念與基本類型一.隨機變量及其分布1 .隨機變量 X,分布函數(shù)F(x)=P(X <x)離散型隨機變量 X的概率分布用分布列pk=p(X=xk)分布函數(shù)F(x)=£ pkx連續(xù)型隨機變量 X的概率分布用概率密度 f(x)分布函數(shù)F(x)=J f(t)dt2 . n維隨機變量 X =(Xi,X2，Xn)其聯(lián)合分布函數(shù) F(x)=F(xi，x2，xn)=P(Xi 三 xi，X2 Ex2,，Xn 工 xn，)離散型 聯(lián)合分布列 連續(xù)型聯(lián)合概率密度3 .隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望：離散型隨機變量X EX =£ xkpk 連續(xù)型隨機變量 X EX =x

2、f(x)dx方差：DX =E(X - EX)2 = EX2 - (EX)2反映隨機變量取值的離散程度 協(xié)方差(兩個隨機變量 X,Y)： BXY =E(X -EX)(Y-EY) = E(XY)-EX EY相關(guān)系數(shù)(兩個隨機變量X,Y)： PXY = _X_若P = 0 ,則稱X,Y不相關(guān)。DX DY獨立=不相關(guān)u P = 04 .特征函數(shù) g(t)=E(eitX) 離散 g(t)=£eitxkpk 連續(xù) g(t) = (eitx f (x)dx 重要性質(zhì):g(0)=i, |g(t)|<i, g(-t)=gt5, gk(0) = ikEXk5 .常見隨機變量的分布列或概率密度、期望

3、、方差0 1 分布 P(X =i) = p,P(X =0) =q EX = p DX = p q二項分布P(X =k) =Ckpkqn"EX =np DX = npq,k泊松分布P( X k) =e' EX 九 DX =九均勻分布略k!文案大全實用文檔(x_a)22 .1- c _22正態(tài)分布 N(a,。) f(x)： e 2'-EX = a DX =二.2 二二Ie -x x > 011指數(shù)分布f(x)= ，X 0EX =-DX =20, x <0九九J6. N維正態(tài)隨機變量 X =(X1,X2，Xn)的聯(lián)合概率密度 XN(a, B)11 ,、T 1 ,

4、f(x1，x2, ,xn) =nrexo -(x - a) B (x-a)-2(2 二)2 |B|2a =(a1，a2,，an), x = (x1，x2，xn), B = (bj，刈正定協(xié)方差陣二.隨機過程的基本概念1 .隨機過程的一般定義設(shè)(C,P)是概率空間，T是給定的參數(shù)集，若對每個t w T ,都有一個隨機變量 X與之對應(yīng),則稱隨機變量族X (t,e),t w T 是(夏,P)上的隨機過程。簡記為 X (t), t w T 。含義：隨機過程是隨機現(xiàn)象的變化過程，用一族隨機變量才能刻畫出這種隨機現(xiàn)象的全部統(tǒng)計規(guī)律性。另一方面，它是某種隨機實驗的結(jié)果，而實驗出現(xiàn)的樣本函數(shù)是隨機的。當(dāng)t固定

5、時，X(t,e)是隨機變量。當(dāng)e固定時，X(t,e)時普通函數(shù)，稱為隨機過程的一個樣本函數(shù)或軌道。分類：根據(jù)參數(shù)集 T和狀態(tài)空間I是否可列，分四類。也可以根據(jù)X(t)之間的概率關(guān)系分類，如獨立增量過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程等。2 .隨機過程的分布律和數(shù)字特征用有限維分布函數(shù)族來刻劃隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律性。隨機過程X (t), t w T 的一維分布，二維分布，n維分布的全體稱為有限維分布函數(shù)族。隨機過程的有限維分布函數(shù)族是隨機過程概率特征 的完整描述。在實際中，要知道隨機過程的全部有限維分布函數(shù)族是不可能的，因此用某些統(tǒng)計特征 來取代。(1)均值函數(shù)mX (t) = EX 表示隨機過程 僅(t

6、), t w T 在時刻t的平均值。(2)方差函數(shù) DX(t) =EX(t)-mX(t)2表示隨機過程在時刻t對均值的偏離程度。Bx (s,t) = E(X(s) -mx (s)(X (t) - mx (t)(3)協(xié)方差函數(shù)且有Bx(t,t) = Dx(t)=EX(s)X(t) -mx(s)mx(t)(4)相關(guān)函數(shù)Rx(s,t) =EX(s)X(t)(3)和(4)表示隨機過程在時刻s, t時的線性相關(guān)程度。(5 )互相關(guān)函數(shù)：X(t),t ST), b(t),t w T是兩個二階距過程，則下式稱為它們的互協(xié)方差函數(shù)。BxY(s,t) =E(X(s)-mx(s)(Y(t) -my(t)，那么Rx

7、Y(s,t) = EX(s)Y(t),稱為互相關(guān)函數(shù)。= EX(s)Y(t)"(所丫若EX(s)Y(t) =mx(s)my(t),則稱兩個隨機過程不相關(guān)。3 .復(fù)隨機過程Zt =Xt . jYt均值函數(shù) mZ (t) = EX t + jEYt方差函數(shù) 一2 一 一""ZDz(t) =E|Zt -mz | = E(乙-mz(t)(乙-mz(t)Bz(s,t) =E(Zs -mz(s)(Zt -mz(t)協(xié)方差函數(shù)_ 相關(guān)函數(shù)Rz(s,t) = EZsZt= EZsZ； -mZ(s)m；(t)4 .常用的隨機過程(1)二階距過程：實(或復(fù))隨機過程x(t),twT,

8、若對每一個tT,都有EX(t)2 <°° (二階距存在)，則稱該隨機過程為二階距過程。(2)正交增量過程：設(shè) X(t),t WT )是零均值的二階距過程，對任意的t1 <t2<t3<t4WT,有E(X(tz) -X(ti)(X(t4) -X(t3) =0,則稱該隨機過程為正交增量過程。2其協(xié)萬差函數(shù) Bx (s,t) =Rx(s,t) = ；：x (min( s,t)(3)獨立增量過程：隨機過程X(t),tW丁,若對任意正整數(shù)n至2,以及任意的t1<t2<_ ctnwT, 隨機變量X(t2) X(ti),X(t4)X(t3)，X(tn)

9、X(tn)是相互獨立的，則稱X (t),t亡T 是獨立 增量過程。進(jìn)一步，如X(t),tW丁是獨立增量過程，對任意 s<t,隨機變量X(t)-X(s)的分文案大全實用文檔布僅依賴于t -s,則稱X(t),t WT是平穩(wěn)獨立增量過程。(4)馬爾可夫過程：如果隨機過程x(t),t WT具有馬爾可夫性，即對任意正整數(shù)n及tl <t2 式一 <tn 三丁， P(X(ti)=Xi，X(tn,)=XnA)>0,都有P 儀(tn)«Xn X(ti) =Xi，X(tn)=Xnl=pX(tn) « Xn | X。)=%1,則則稱僅個丁 是馬爾可夫過程。(5)正態(tài)過程：

10、隨機過程X(t),tW丁,若對任意正整數(shù)n及t1,t2，tn w T ,(X(tjX(t2)X(tn)是n維正態(tài)隨機變量，其聯(lián)合分布函數(shù)是n維正態(tài)分布函數(shù)，則稱權(quán)(t), t w T 是正態(tài)過程或高斯過程。(6)維納過程：是正態(tài)過程的一種特殊情形。設(shè)W(t),-°o <t <的為實隨機過程，如果， W(0) = 0;是平穩(wěn)獨立增量過程；對任意s,t增量 W(t) -W(s)服 從正態(tài) 分布，即 W(t) W(s) N(0221s) 仃2 A0。則稱W(t),-笛<t <8為維納過程，或布朗運動過程。另外：它是一個 Markov過程。因此該過程的當(dāng)前值就是做出其

11、未來預(yù)測中所需的全部信息。維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區(qū)間上變化的概率分布獨立于其在任一的其他時間區(qū)間上變化的概率。它在任何有限時間上的變化服從正態(tài)分布，其方差隨時間區(qū)間的長度呈線性增加。(7)平穩(wěn)過程：嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)過程：X(t),tWT,如果對任意常數(shù)7和正整數(shù)n及t1,t2，tn w T ,t1 +72 + % ，tn + 七三丁，(X(tjX(t2)X(tn)與(X(t1 + T ), X& + )X +工)有相同的聯(lián)合分布，則稱 X(t),t WT 是嚴(yán)(狹義)平穩(wěn)過程。廣義平穩(wěn)過程：隨機過程X (t), t w T ,如果 權(quán)(t ),t w T 是二階距過程；對

12、任意的 t w T ,mX(t) =EX(t)=常數(shù)；對任意 s, t-T, RX(s,t) = EX(s)X(t) = RX(ts),或僅與時間差t-s有關(guān)。則滿足這三個條件的隨機過程就稱為廣義平穩(wěn)過程，或?qū)捚椒€(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程。第二章泊松過程一.泊松過程的定義(兩種定義方法)文案大全實用文檔1,設(shè)隨機計數(shù)過程X (t), t至0,其狀態(tài)僅取非負(fù)整數(shù)值，若滿足以下三個條件，則稱：X(t),tw T是具有參數(shù) 九的泊松過程。X (0) =0 ；獨立 增量過程，對任 意正整 數(shù)n ,以及任 意的ti <t2 < <tnWT X(t2)-X(ti), X(t3)X(t2),，X

13、(tn) X(tn)相互獨立，即不同時間間隔的計數(shù)相互獨立；在任一長度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)人t A0的的泊松分布，即對任意 t, s A0,有 px(t+s) -X (s) =n = e$ (t)-n =0,1#ln!EX (t) = t, =EX(t),表示單位時間內(nèi)時間A發(fā)生的平均個數(shù)，也稱速率或強度。2,設(shè)隨機計數(shù)過程X (t), t ±0,其狀態(tài)僅取非負(fù)整數(shù)值，若滿足以下三個條件，則稱：X (t), t之0是具有參數(shù)工的泊松過程。X (0) =0 ;獨立、平穩(wěn)增量過程；P lX (t h) X (t) =1? = h o(h)oP IX (t h) X (t

14、) 一 2(h)第三個條件說明，在充分小的時間間隔內(nèi)，最多有一個事件發(fā)生，而不可能有兩個或兩個以上事件同時發(fā)生，也稱為單跳性。二.基本性質(zhì)'s( ' t 1) s t1 ,數(shù)字特征mX (t)= E X (t) = ?；.t=D X (t)RX (s t)=t ( s 1) s-tBx(s,t) =Rx (s,t) -mX(s)mX (t)=/min( s, t)推導(dǎo)過程要非常熟悉2, Tn表示第n -1事件A發(fā)生到第n次事件發(fā)生的時間間隔，Tn, n2仆是時間序列，隨機變量 Tn產(chǎn),t之0均值t :二 0，-e ,t -0 -1-服從參數(shù)為人的指數(shù)分布。概率密度為f (t)

15、= <,分布函數(shù)FT (t)= <0, t 二0n 0,為ETn證明過程也要很熟悉 三.非齊次泊松過程到達(dá)時間的分布略到達(dá)強度是t的函數(shù)文案大全X (0) =0 ;獨立增量過程；不具有平穩(wěn)增量P'：X(th)-X(t)=1 ；= )； (t)ho(h)P X(th)-X(t)-2? =o(h)實用文檔實用文檔性。t均值函數(shù) mX (t) =E X (t)=九(s)ds定理：X(t), t至0是具有均值為 mX (t) = j尢(s)ds的非齊次泊松過程，則有PX (t s) -X (t) = n? = mX (t-s)-mX (t) exp'.-mX (t s) -

16、mX (t)：， n!四.復(fù)合泊松過程設(shè)N (t), t20是強度為 九的泊松過程，Yk, k =1,2,是一列獨立同分布的隨機變量，且與N (t)N (t), t至0獨立，令X (t) = Y Yk則稱X (t), t之0為復(fù)合泊松過程。 k 1重要結(jié)論：X (t), t 20是獨立增量過程；若E (Yi2) <« ,則E X (t月九tE 1( Y,)DX (t) = tE (Yi2)第五章馬爾可夫鏈泊松過程 是時間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程，維納過程 是時間狀態(tài)都連續(xù)的馬氏過程。時間和狀態(tài)都離散的馬爾可夫過程稱為 馬爾可夫鏈。馬爾可夫過程的特性：馬爾可夫性或無后效性。即：在過

17、程時刻t0所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時刻t At。所處狀態(tài)的條件分布與過程在時刻t0之前所處的狀態(tài)無關(guān)。也就是說，將來只與現(xiàn)在 有 關(guān)， 而 與 過 去 無 關(guān)。 表 示 為 Pk(tn)MXn X(ti) ="，,X(tn)=Xn/=pX(tn) < Xn X(tn)=1一.馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率1 .定義：設(shè)隨機過程 <Xn ,nWT,對任意的整數(shù) nT和任意的i0,ii,lll九+w i ,條件概率滿足 p(Xn«=in+|X0 =i0,Xi =ii,|,Xn =in=PXn*=inJ Xnf,則稱E7為馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈的統(tǒng)計特性完全由條件

18、概率PfXn+ =in+|Xn =第所決定。2 .轉(zhuǎn)移概率P Xn由=j Xn =i 相當(dāng)于隨機游動的質(zhì)點在時刻n處于狀態(tài)i的條件下，下一步轉(zhuǎn)P=Piji,j I I =1,2,IH3. n步轉(zhuǎn)移概率Pij= PXm = jXm=H ； P(n)= Pij(n)i,j w I I =1,2, III 稱為 n 步轉(zhuǎn)移到j(luò)的概率。記為Pij(n) o則Pj (n) = PXn+= j Xn =i稱為馬爾可夫鏈在時刻n的一步轉(zhuǎn)移概率。若齊次馬爾可夫鏈，則 Pj(n)與n無關(guān)，記為Pj。稱為系統(tǒng)的一步轉(zhuǎn)移矩陣。性質(zhì)：每個元素Pj >0,每行的和移矩陣。重要性質(zhì)：(n)、:(l)(n -!)Pi

19、j=PikPkjk.I稱為C-K方程,證明中用到條件概率的乘法公式、馬爾可夫性、齊次性。Pi/=P'：Xmn = jP'：Xm=i, Xm n = j 'PiXm =i)掌握證明方法:- PH =i,Xmi =k,Xmn = j),TPMPH 5Xmi =k,Xmn = j P i Xm = i' i = k)PiXm =i,Xm"k)PiXm=i)=pkjn_L)(m l) Pi(k)(m) = ' Pi?黃P=Pnk=I說明n步轉(zhuǎn)移概率矩陣是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n次乘方。4.Xn,nWT是馬爾可夫鏈，稱 Pj =PX0 = j為初始概率，即

20、0時刻狀態(tài)為j的概率；稱 Pj(n) =PXn = j為絕對概率，即n時刻狀態(tài)為j的概率。PT(0) =p1,p2JI|為初始概率向量， PT(n) =R(n), p2(n),|"為絕對概率向量。定理： Pj(n)=E pip；"矩陣形式：PT (n) = PT(0) P(n) Pj(n) =E pi (n -1)pij i ii 3定理：PXi =ii,X2 =i2,IM,Xn =in=£ PiPiiJIlPin4 說明馬氏鏈的有限維分布完全由它的初 i - I始概率和一步轉(zhuǎn)移概率所決定。文案大全實用文檔二.馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類1 .周期：自某狀態(tài)出發(fā)，再返回某

21、狀態(tài)的所有可能步數(shù)最大公約數(shù)，即d = GC,Dn: pZaO。若d >1 ,則稱該狀態(tài)是周期的；若 d =1 ,則稱該狀態(tài)是非周期的。2 .首中概率：fj表示由i出發(fā)經(jīng)n步首次到達(dá)j的概率。qQ3 . fjfj表示由i出發(fā)經(jīng)終于（遲早要）到達(dá) j的概率。n24 .如果fii=1,則狀態(tài)i是常返態(tài)；如果fii<1,狀態(tài)i是非常返（滑過）態(tài)。5 . Ni =£ nfii表示由i出發(fā)再返回到i的平均返回時間。若此<g ,則稱i是正常返態(tài)；若叫=刃, n 1則稱i是零常返態(tài)。非周期的正常返態(tài)是遍歷狀態(tài)。6 .狀態(tài)i是常返充要條件是 工pi=電；狀態(tài)i是非常返充要條件是Zp

22、i（n） =n=0n z01 - fii7 .稱狀態(tài)i與j互通，ij,即i t j且j t i。如果i q j ,則他們同為常返態(tài)或非常返態(tài)，；若i, j同為常返態(tài)，則他們同為正常返態(tài)或零常返態(tài)，且 i , j有相同的周期。（）18 .狀態(tài)i是遍歷狀態(tài)的充要條件是 lim p（ ） = : >0。一個不可約的、非周期的、有限狀態(tài)的馬爾可 n i.i夫鏈?zhǔn)潜闅v的。9 .要求：熟悉定義定理，能由一步轉(zhuǎn)移概率矩陣畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，從而識別各狀態(tài)。 三.狀態(tài)空間的分解1 .設(shè)C是狀態(tài)空間I的一個閉集，如果對任意的狀態(tài)iw C ,狀態(tài)j C ,都有pj =0 （即從i出發(fā)經(jīng)一步轉(zhuǎn)移不能到達(dá) j ）,

23、則稱C為閉集。如果C的狀態(tài)互通，則稱 C是不可約的。如果狀態(tài)空間不 可約，則馬爾可夫鏈1Xn, ne T不可約?；蛘哒f除了C之外沒有其他閉集，則稱馬爾可夫鏈Xn,nT 不可約。2 . C為閉集的充要條件是：對任意的狀態(tài)i w C ,狀態(tài)j更C，都有pj（n） =0。所以閉集的意思是自C的內(nèi)部不能到達(dá) C的外部。意味著一旦質(zhì)點進(jìn)入閉集C中，它將永遠(yuǎn)留在 C中運動。如果Pn =1,則狀態(tài)i為吸收的。等價于單點 i為閉集。3 .馬爾可夫鏈的分解定理：任一馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I ,必可唯一地分解成有限個互不相交的子集D,Ci,C2,|l|Cn|的和，每一個Cn都是常返態(tài)組成的不可約閉集； Cn中的狀態(tài)

24、同類，或全是正常返態(tài)，或全是零常返態(tài)，有相同的周期，且fj =1。D是由全體非常返態(tài)組成。分解定理說明：狀態(tài)空間的狀態(tài)可按常返與非常返分為兩類，非常返態(tài)組成集合D,常返態(tài)組成一個閉集 C o閉集C又可按互通關(guān)系分為若干個互不相交的基本常返閉集C1,C2,|Cn|。 含義：一個馬爾可夫鏈如果從D中某個非常返態(tài)出發(fā)，它或者一直停留在D中，或某一時刻進(jìn)入某個基本常返閉集Cn, 一旦進(jìn)入就永不離開。一個馬爾可夫鏈如果從某一常返態(tài)出發(fā)，必屬于某個基本常返閉集Cn,永遠(yuǎn)在該閉集 Cn中運動。4 .有限馬爾可夫鏈：一個馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間是一個有限集合。性質(zhì)：所有非常返態(tài)組成的集合不是閉集；沒有零常返態(tài)；必

25、有正常返態(tài)；狀態(tài)空間I =D +Ci +C2 +|H+Cn , D是非常返集合，Ci,C2,|Cn是正常返集合。 不可約有限馬爾可夫鏈只有正常返態(tài)。四. Pijn)的漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布1 .為什么要研究轉(zhuǎn)移概率 Pi：”的遍歷性？研究p當(dāng)n->笛時的極限性質(zhì)，即pXn = j|X0 =i的極限分布，包含兩個問題：一是 Im Pi：n) 是否存在；二是如果存在，是否與初始狀態(tài)有關(guān)。這一類問題稱作遍歷性定理。如果對i, j w I ,存在不依賴于i的極限lim pjn) = Pj >0,則稱馬爾可夫鏈具有遍歷性。一個n .不可約的馬爾可夫鏈，如果它的狀態(tài)是非周期的正常返態(tài)，則它就是一個

26、遍歷鏈。具有遍歷性的馬爾可夫鏈，無論系統(tǒng)從哪個狀態(tài)出發(fā)，當(dāng)轉(zhuǎn)移步數(shù)n充分大時，轉(zhuǎn)移到狀態(tài) j的概率都近似等于 Pj,這時可以用Pj作為Pijn)的近似值。2 .研究平穩(wěn)分布有什么意義？判別一個不可約的、非周期的、常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v的，可以通過討論lim Pi(n)來解決，n ij但求極限時困難的。所以，我們通過研究平穩(wěn)分布是否存在來判別齊次馬爾可夫鏈?zhǔn)欠駷楸闅v鏈。一 個不可約非周期常返態(tài)的馬爾可夫鏈?zhǔn)潜闅v的充要條件是存在平穩(wěn)分布，且平穩(wěn)分布即極限分布 文案大全實用文檔(n)1lim Pj = 丁，j = I。"j3 . Xn, n之0是齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間為I , 一步

27、轉(zhuǎn)移概率為Pij，概率分布nj,jw I稱為,二 j =、- i pij馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，滿足i I'二 j=1j.I4 .定理：不可約非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件是存在平穩(wěn)分布，且此平穩(wěn)分布就是極限分一 1布 ，jWI。 推論：有限狀態(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈必存在平穩(wěn)分布。-j5 .在工程技術(shù)中，當(dāng)馬爾可夫鏈極限分布存在，它的遍歷性表示一個系統(tǒng)經(jīng)過相當(dāng)長時間后達(dá)到平 衡狀態(tài)，此時系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布不隨時間而變，也不依賴于初始狀態(tài)。6 .對有限馬爾可夫鏈，如果存在正整數(shù)k ,使Pijk) A0,即k步轉(zhuǎn)移矩陣中沒有零元素，則該鏈?zhǔn)潜闅v的。第六章平穩(wěn)隨機過程1 .定義(第一

28、章)嚴(yán)平穩(wěn)過程：有限維分布函數(shù)沿時間軸平移時不發(fā)生變化。寬平穩(wěn)過程：滿足三個條件：二階矩過程 EX(t)2均值為常數(shù)EX(t)=常數(shù)；相關(guān)函數(shù)只與時間差有關(guān)，即 RX(t,D=E -X(t)X(t -r)=RX 。寬平穩(wěn)過程不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程，而嚴(yán)平穩(wěn)過程一定是寬平穩(wěn)過程。2 .聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1 .定義：設(shè)X(t),tW丁和X(t),tWT是兩個平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)E-X (t)Y(t£)及E '(t)X(t _1)僅與時間差工有關(guān)，而與起點t無關(guān)，則稱X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程。即，RXY(t,t- ) = E X(t)Y(t-.) =Rxy

29、( ) RYX(t,t- ) =E Y(t)X(t-.) =Ryx( )當(dāng)然，當(dāng)兩個平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)時，其和也是平穩(wěn)過程。2 .相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：Rx(0)之0 ；Rx (T)之Rx (T),對于實平穩(wěn)過程，Rx)是偶函數(shù)。Rx(') WRx(0)非負(fù)定。若 X(t)是周期的，則相關(guān)函數(shù) Rx(D也是周期的，且周期相同。如果X(t)是不含周期分量的非周期過程，X(t)與X(t十七)相互獨立，則limRX(D = mxmX。聯(lián)合平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)，Rxy(t)<Rx (0)Ry (0) ,Ryx<Rx(0)Ry(0)；Rxy(t)=Rx(D。X(t)和 Y(

30、t)是實聯(lián)合平穩(wěn)過程時，則，Rxy(t) = Ryx(D。3 .隨機分析略4 .平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性1 T1 .時間均值；x(t)： =ym亓x(t)dt時間相關(guān)函數(shù)(X(t)x(t -t)i =l,i m T X(t)X(t -T)dtT_ 2T ' .T2 .如果(X(t» =EX(t) =mx(t)以概率1成立，則稱均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值有各態(tài)歷經(jīng)性。如果(X(t)x(t i) = EX(t)X(t 力=RxC)以概率1成立，則稱均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)有各態(tài)歷經(jīng)性。如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值和相關(guān)函數(shù)都有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過程是各態(tài)歷經(jīng)的或遍歷的。一方面表

31、明各態(tài)歷經(jīng)過程各樣本函數(shù)的時間平均實際上可以認(rèn)為是相同的；另一方面也表明EX(t) 與EX(t)X(t -t)必定與t無關(guān)，即各態(tài)歷經(jīng)過程必是平穩(wěn)過程。3 .討論平穩(wěn)過程的歷經(jīng)性，就是討論能否在較寬松的條件下，用一個樣本函數(shù)去近似計算平穩(wěn)過程的均值、協(xié)方差函數(shù)等數(shù)字特征，即用時間平均代替統(tǒng)計平均。只在一定條件下的平穩(wěn)過程，才具有各態(tài)歷經(jīng)性。4 .均值各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是1 2T卜|2些亓匕"一票區(qū)-mx朋=05 .相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是1 2T，.12Time2T 2T (1 一寸)B(

32、T1)- Rx "=0B(3 = EX(t)X(t -T)X(t-Ti)X(t-T-Ti)第七章平穩(wěn)過程的譜分析一.平穩(wěn)過程的譜密度推導(dǎo)過程：隨機過程X(t),-g <t<如為均方連續(xù)過程，作截尾處理X(t), t MT ,、XT(t) = , 丁，由于 XT(t)均方0， t T可積，所以存在FT,得二 2T.一 Xt (t)dt = X二工J1得 F( .,T)j-XT(t)e,tdt_oO21:2(t)dt ：F( ,T) d ,T=LX(t)e jdt ,利用 paserval 定理及 IFT 定義該式兩邊都是隨機變量，取平均值，這時不僅要文案大全對時間區(qū)間T,T

33、取，還要取概率意義下的統(tǒng)計平均，即ITmE ；2T1X2 1dt =回27 UE2TIF(CC,T)2 d0-27UTm 言E產(chǎn)3T)2 四定義 2"limET L 二1To,.I(X2(t) dt為X(t), * <t <至平均功率。-2T Jsx (')FgT眉為X,- <t <好功率譜密度,簡稱譜密度?？梢酝瞥霎?dāng)X(t), -g <t <g是均方連續(xù)平穩(wěn)過程時，有FmE 12T LX2 &=um 12TLe 印訕 % e 丫卜0c 1 二 2 = f sX (O)d0說明平穩(wěn)過程的平均功率等于過程的均方值，或等于譜密度在頻域上

34、2真7的積分。2 .平穩(wěn)過程的譜密度和相關(guān)函數(shù)構(gòu)成FT對。1 二ii.Rx() =丁Sx(Jej d Sx(，)=.一Rx(eJ)d .2 二-若平穩(wěn)隨機序列(Xn，n =0,±1,及|,則其譜密度和相關(guān)函數(shù)構(gòu)成FT對qQRx(n) = ,_sx( ')ejnd ' Sx( ' )= " Rx n(ej n 2二n'：二.譜密度的性質(zhì)1 . Sx(s)是 Rx(T)的 FT。Sx(9)=: Rx(T)eT%E如果X(t),g<t<妙是均方連續(xù)的實平穩(wěn)過程，有Rx(t)= Rx(-t) , Sx(o)是也實的非負(fù)偶函數(shù)，貝U1二，、

35、,，、Sx () =2 Rx()cos( )d Rx (. )= sx()c odS ().0Sx(M是。的有理分式，分母無實根。2 .譜密度的物理含義，Sx 是一個頻率函數(shù)，從頻率域來描繪 x (t)統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)字特征，而x (t)是各種頻率簡諧波的疊加，Sx )就反映了各種頻率成分所具有的能量大小。3 .計算可以按照定義計算，2a2也可以利用常用的變換對a(t)H 1 112技(。)e-12 ° a>02 二8 +a8cos(，0.)L -' (；：，：；二0) -,(；： ；：，0) sin(，0.j二'(； ：；二0) C (；二；0)Rxa)/匕 Sx

36、(&-o0) Rx(t+T)h Sx9) e© sin”0" h A,同 <80 等HT0, 8至60三.窄帶過程及白噪聲過程的功率譜密度1 .窄帶隨機過程：隨機過程的譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)。2 .白噪聲過程：設(shè)x(t),-g<tM8為實值平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密度在所有的頻率范圍內(nèi)為非零白常數(shù)，即 Sx(co)=N0,則稱x(t),Q<t <兀為白噪聲過程。是平穩(wěn)過程。其相關(guān)函數(shù)為Rx(T) =N06(1)。表明在任意兩個時刻ti和t2, x(ti)和x(t2)不相關(guān)，即白噪聲隨時間的變換起伏極快，而過程的功率譜極寬，對不

37、同輸入頻率的信號都有可能產(chǎn)生干擾。四.聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度互譜密度沒有明確的物理意義，引入它主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性。1 .互譜密度與互相關(guān)函數(shù)成FT對關(guān)系1Rxy(7) =_ *SxY(8)e d6Sx ® > H R xK 于 T d2二931 二j.，、二，i、.Ryx(T) =丁 LSyxed&Sy 妗)=L R 丫鼓胃” T d2 二-2 .性質(zhì)SxY(®) =Sxy(«) SxyS)的實部是舊的偶函數(shù)，虛部是 舊的奇函數(shù)，Syx(8)也是。Sxy(6)2原儂)5儂)； 若X(t)和Y(t)相互正交，有Rxy

38、1;) =0 ,則Sxy=取(40五.平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)1.系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(o)(也可以寫成 H(j©) 一般是一個復(fù)值函數(shù)，是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的FT。二i.t1 二i. tH(，)= h(t)e, dth(t)= H ( )eJ d -二2 二二2 .系統(tǒng)輸入X(t)為實平穩(wěn)隨機過程，則輸出Y(t)也是實平穩(wěn)隨機過程。即輸出過程的均值為常數(shù),相關(guān)函數(shù)是時間差的函數(shù)。且有Ry( ) =Rxy( ) h(- ) =Rx( ) h( ) h(- )說明輸出過程的相關(guān)函數(shù)可以通過兩次卷積產(chǎn)生。Rxy(t) =Rx(e)* h(T)的應(yīng)用：給系統(tǒng)一個白噪聲過程X(t),可以從實測的互

39、相關(guān)資料估計線性 系 統(tǒng) 的 未 知 脈 沖 響 應(yīng)。 因 為RXa) = N06(7)qQRxy(t) = Rx (t) * h(i) = Nod(x -u)h(u)du = Noh(Q ,從而h()=rxy ()No3 .輸入輸出譜密度之間的關(guān)系.(6 )= H乳2 SX 6 (), .， 、2 .， 、T H (CO) =H(©)H (6)稱為系統(tǒng)的頻率增益因子或頻率傳輸函數(shù)。有時，采用時域卷積的方法計算輸出的相關(guān)函數(shù)比較煩瑣，可以先計算輸出過程的譜密度，然后一 、 “ 一、，一一2反FT計算出相關(guān)函數(shù)。 Rx(T)t工=H (曾Sx)t Ry(7)另外 RxY(D=Rxa)*ha),所以 Sxy(6) = H9)Sx(。)，Sx®) =H®)Sx®)補充：排隊輪平均間隔時間=總時間/到達(dá)顧客總數(shù)平均服務(wù)時間=服務(wù)時間總和/顧客總數(shù)平均到達(dá)率=到達(dá)顧客總數(shù)/總時間平均服務(wù)率=顧客總數(shù)/服務(wù)時間總和一.當(dāng)顧客到達(dá)符合泊松過程時，顧客相繼到達(dá)的間隔時間T必服從負(fù)指數(shù)分布。對于泊松分布，兒