高二競賽講義多項式的零點

1、高二數(shù)學競賽班二試講義第2講 多項式的零點班級 姓名 一、知識點金1設多項式，其中（可以是復數(shù)集，實數(shù)集，有理數(shù)集，整數(shù)集），在中的數(shù)使，則稱為的零點。2因式定理：設，則是的零點的充要條件是被整除。3中次多項式至多有個不同的零點；中次多項式有個不同的零點。4設中多項式在中至少有個零點，則是零多項式（即所有項系數(shù)都是0）。5恒等定理：設，如果有無窮多個，使得，則（即與的同次冪的系數(shù)相等）6設，其中，當正整數(shù)時，稱為單根，當正整數(shù)時，稱為重根，計算的零點個數(shù)時，重根計入重數(shù)。7設是一個整系數(shù)多項式，是一個素數(shù)。若整數(shù)滿足，則稱是模的一個零點，或稱是同余方程的一個解。8拉格朗日定理：設是一個整系數(shù)多

2、項式，是一個素數(shù)，模的次數(shù)為，則同余方程至多有個互不相同（即模不同余）的解。如是，有兩個解。但如果是合數(shù)，則結論不再正確，如有兩個解9設，且。若是的一個有理根，這里整數(shù)與互素，則，證明：由得，由于都能被整除，故，有，所以，同理10復數(shù)系數(shù)多項式中任一個次多項式，在復數(shù)集上可唯一地分解為，其中是的首項系數(shù)，恰有個復數(shù)根。11韋達（Viete）定理：設是的個根，則 ，證明：對照左右兩端的系數(shù)，左端的系數(shù)為，右端選個括號取，余下個括號取常數(shù)項，故右端的系數(shù)為，所以，故有二、例題分析例1求被除得的余式。例1由于是二次多項式，因此設令得，令，得，所以，即余式是例2證明：多項式沒有實根。例2記對于，顯然有

3、當時，從而對有于是對所有實數(shù)，有，故多項式沒有實根。例3設是實數(shù)，試確定多項式的實根的個數(shù)。例3將看成關于的二次多項式，或作函數(shù)和，觀察直線與兩列函數(shù)圖象的交點，當時實根的個數(shù)為0個，當時實根的個數(shù)為2個，當時實根的個數(shù)為4個例4已知互不相等，也互不相等，求滿足下面方程組的的值。例4考慮關于的輔助方程 將去分母得關于的至多次方程，而方程有個互不相等的根，因此 式去分母后必定是一個恒等式，從而本身是恒等式。將兩邊同乘以，再令，即得，類似地有，例5設為正整數(shù)，證明：例5由棣莫佛公式及二項式定理易知，對任意正整數(shù)及實數(shù)，有比較虛部得到現(xiàn)在取，則將上式兩端同除以，對有即次方程有個根由韋達定理知例6給定

4、個互不相同的復數(shù)，將它們按下列規(guī)則填入方格表中：第行和第列相交處的方格內填。證明：若各列數(shù)的乘積相等，則各行數(shù)的乘積也相等。例6設各列數(shù)的積等于，考慮多項式。由已知得。由于互不相等，這表明次多項式有個不同的根，因此次多項式又可以表示為。故得出等式令，得，即各行數(shù)的乘積都是。例7證明：若與都是有理數(shù)，則必為下面五個數(shù)之一：例7證明：設，其中為整數(shù)且，則。 論證的關鍵是先證明，對任意正整數(shù)，可以表示為的次多項式，且首項系數(shù)為1，即有，都是整數(shù)。用歸納法證明。首先，對， ，結論成立若命題對及已成立，則由和差化積公式有等式表明命題對也成立。這就歸納證明了上述命題。 由可知，是方程的有理根。因為這個方程

5、具有整數(shù)系數(shù)，且首項系數(shù)為1，故其有理根必為整數(shù)，即是整數(shù)；但，所以，即必為下面五個數(shù)之一：三、同步檢測1求被除得的余式。1設令，得，所以余式為3設，是不同的整數(shù)。如果，則沒有整數(shù)根。3設，如有整數(shù)使，則，易知這不可能。4設，若有奇數(shù)和偶數(shù)，使得都是奇數(shù)。證明：沒有整數(shù)根。4設有整數(shù)根，則，這里是整系數(shù)多項式。由于均是奇數(shù)，我們可以得出都是奇數(shù)，但和中必有一個是偶數(shù)，矛盾。5設有個根，且系數(shù)都是非負的。證明：。5因為多項式的系數(shù)都是非負的，故其根都不是正數(shù)。我們設，因為，由韋達定理于是6求所有多項式，滿足，且。6取，下面用數(shù)學歸納法證明當時命題成立，假設當時命題成立，即，則當時，即當時命題也成

6、立所以對都成立因為嚴格遞增，從而互不相同，所以有無窮多個不同的根，所以是恒等式。8設，如果對于任意實數(shù)有，則是兩個實系數(shù)多項式的平方和。8的首項系數(shù)必須是正數(shù)，其標準分解中相同的一次因式必須出現(xiàn)偶數(shù)次，又的二次因式均為形式，這是兩個多項式的平方和。最后，恒等式表明，上述兩個因式的積仍是兩個多項式的平方和。9設是奇素數(shù)，是正整數(shù)且。證明：存在整數(shù)，滿足且。9設，由于，故因，故可設來證明。由于同余方程至多有個不同的解，而模的縮同余類有個，因此存在問題中說的。10設是素數(shù)。（1）用多項式知識及費爾馬小定理證明威爾遜定理：（2）若，證明。10（1）當時結論顯然成立。當時，考慮次多項式由費爾馬小定理知當時，故同余方程有個不同的解，所以的各項系數(shù)都被整除，