高考一輪復習計數(shù)原理(理科)

1、年 級高三學科數(shù)學內(nèi)容標題計數(shù)原理編稿老師胡居化一、學習目標1. 理解排列、組合的有關(guān)概念，排列與組合的區(qū)別及分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理的含義.2. 掌握排列數(shù)、組合數(shù)的公式及排列與組合的性質(zhì)，并能進行簡單的計算和解決簡單的實際問題.3. 理解二項式定理的內(nèi)容、其通項公式的概念及其簡單的應(yīng)用.4. 體會方程的數(shù)學思想、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想、化歸與類比的數(shù)學思想、分類討論的數(shù)學思想及賦值法、待定系數(shù)法等數(shù)學思想方法的應(yīng)用.二、重點、難點重點：（1）排列、組合的知識及兩個原理的簡單應(yīng)用（2）二項式定理的簡單應(yīng)用難點：利用排列與組合的知識解決實際問題.三、考點分析新課標高考對排列、組合及二項式定理的考

2、查以基礎(chǔ)知識為主，應(yīng)重點理解排列、組合及二項式定理的有關(guān)概念、簡單的運算.考查的題型以選擇、填空題為主，題目難度較小，易得分.一、兩個原理，排列、組合的有關(guān)基礎(chǔ)知識1. 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理：（1）分類計數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類方法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N種不同的方法，即N=.（2）分步計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N種不同的方法.即N=.2. 排列的有關(guān)基礎(chǔ)知識（

3、1）排列的定義：一般地，從n個不同的元素中取出m（個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.注：（i）排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容：一是取出元素，二是按一定的順序排列.（ii）當且僅當元素完全相同，排列順序完全相同的兩個排列是同一排列.（2）排列數(shù)及排列數(shù)公式：排列數(shù)：從n個不同的元素中取出m（個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.公式：（i），（當n=m時，規(guī)定：.（ii），（注：公式（i）適用于具體的計算以及解m較小時的含有排列的方程與不等式.公式（ii）適用于排列數(shù)的有關(guān)證明及解方程、不等式等.（3）排列數(shù)的性質(zhì)：

4、（i）（ii）.3. 組合的有關(guān)基礎(chǔ)知識（1）組合的定義：一般地，從n個不同的元素中取出m（個元素并成一組，叫做從n個不同的元素中取出m個元素的一個組合.組合的定義中包含兩個內(nèi)容：一是取出元素，二是并成一組.（i）當兩個組合的元素完全相同時，不論元素的順序如何，都是相同的組合.（ii）區(qū)分排列與組合的重要標志：排列有序，組合無序.（2）組合數(shù)及組合數(shù)公式：組合數(shù)：從n個不同元素中取出m（個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.公式：（3）組合數(shù)的性質(zhì)：（i） （ii）注：（i），（ii）當時，常用計算較簡便.4. 利用排列、組合的知識解決實際問題的常用方法

5、（1）直接法：從問題的正面入手，其基本方法有（i）元素分析法：即以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素.（ii）位置分析法：即以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置.（2）間接法：就是剔除不符合條件的情況，也叫排除法.在直接法和間接法中常用以下方法解決排列與組合的問題.（a）枚舉法：將所有排列的情形一一列舉出來（適用于排列數(shù)較少的問題）（b）捆綁法：適用于兩個（或更多）元素排在一起（看成一個元素）的問題.（c）插空法：適用于兩個（或更多）元素不相鄰排列的問題.（d）隔板法：適用于相同的元素分成若干部分，每部分至少有一個排列的問題.（3）某些元素定序排列問題的處理方法倍縮

6、法對某些元素定序排列問題的處理方法有兩種：（i）整體法，即有（m+n）個元素排成一列，其中m個元素的排列順序不變，將（m+n）個元素排成一列有種排法，然后任取一個排列，固定其他的n個元素的位置不動，把m個元素交換順序，共有種排法，其中只有一個排列是我們需要的，因此共有種不同的排法.（ii）逐步插空法.（4）分組、分配問題的處理方法（i）分組問題：將n 個不同元素按要求分成m 組,稱為分組問題分組問題的處理途徑：（a）非均勻不編號分組：即將n個不同的元素分成m組，每組元素中的個數(shù)均不同（m組中元素的個數(shù)分別是，其中），則分法種數(shù)是.（b）均勻不編號分組（平均分組）：將n個不同的元素平均分成m組（

7、每組元素中的個數(shù)相同，都是a），則不同的分組方法有.（其中n=ma）（ii）分配問題：將n個不同的元素按要求分給m個人，稱為分配問題，處理分配問題的方法：先分組后分配.二、二項式定理的有關(guān)知識1. 二項式定理：，這個公式表示的規(guī)律叫二項式定理.（1）的二項展開式的特點：（i）展開式共有n+1項；（ii）各項的次數(shù)之和等于n；（iii）a的次數(shù)由n降到0，b的次數(shù)由0升到n.（2）二項展開式的系數(shù)：（3）二項展開式的通項公式：，（r=0，1，2）表示二項展開式的第（r+1）項.注：（i）的二項式展開式的第（r+1）項與二項式的（b+a）n展開式的第（r+1）項是有區(qū)別的，應(yīng)用時a，b不能隨便交換

8、位置.（ii）二項展開式的系數(shù)與展開式中的對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等，二項展開式的系數(shù)恒為正，而某對應(yīng)項的系數(shù)可以是任意的實數(shù).（iii）二項式的展開式的通項公式是，各項的二項式系數(shù)是，各項的系數(shù)是2. 二項式定理的應(yīng)用：（1）進行近似計算；（2）證明整除或求余數(shù)問題；（3）證明有關(guān)的不等式.3. 二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）（組合性質(zhì)（ii）的體現(xiàn)）.（2）（與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即對稱性）.（3）增減性：當時，二項式系數(shù)是逐漸增大的；當時，二項式系數(shù)是逐漸減小的.（4）最大二項式系數(shù)：當n是偶數(shù)時，（n+1）是奇數(shù)，展開式共有（n+1）項，故展開式中間一項的二項式系數(shù)最大，即第（項

9、的二項式系數(shù)最大，最大的二項式系數(shù)是；當n為奇數(shù)時，（n+1）是偶數(shù)，展開式共有（n+1）項，故展開式中間有兩項的二項式系數(shù)最大，即第的二項式系數(shù)最大，這兩項的二項式系數(shù)相等且最大，為.（5）（i）二項式的系數(shù)和是，奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和，即（ii）二項展開式各項的系數(shù)和：一般地，設(shè)f（x）=的各項的系數(shù)和是f（1），其中x的奇次項的系數(shù)和等于x的偶次項的系數(shù)和等于.知識點一：兩個原理及排列、組合知識的簡單應(yīng)用例1. 基礎(chǔ)題1. 已知集合M=3，2，1，0，1，2，P（a，b）表示平面內(nèi)的點，其中，則P可以表示平面內(nèi)_個第二象限內(nèi)的點.2. 數(shù)列共有6項，其中四項為1，其

10、余兩項不相同，則滿足上述條件的數(shù)列有_個.3. .思路分析：1. 首先注意到第二象限內(nèi)坐標的特點是：a<0，b>0，同時坐標軸上的點不屬于任一象限，再根據(jù)分步計數(shù)原理求解.2. 在數(shù)列中，只需考慮不同的兩項的位置，6個位置（數(shù)列an共有6項）中可以選2個位置，并且是有序的，屬排列問題.3. ，故可利用裂項法求和.解題過程：1. 根據(jù)第二象限內(nèi)坐標的特點：a<0，b>0知：a從3，2，1中選一個數(shù)，有3種選法.b只能從1，2中選一個數(shù)，有2種選法，故有種選法，即P可以表示平面內(nèi)6個第二象限內(nèi)的點.2. 如圖，數(shù)列an的6項占6個位置，則不同的兩項所占的位置可從6個位置中選

11、2個位置，且有序，故有：種，即滿足上述條件的數(shù)列an有30個.3. ，=.解題后的思考：本例以兩個原理是排列與組合的基礎(chǔ)為切入點，重點考查了分類討論的數(shù)學思想，考查的題型一般是選擇與填空題，在討論各種情形時要注意做到不重不漏.例2. 中等題1. 如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點A，B，C，D，E染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，相鄰頂點的顏色不同，則不同的染色方法有_種.2. 2010年上海世博會上從7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加世博園區(qū)公益活動，若每天安排3人，則不同的安排方案有_種.3. 2010年的廣州亞運會組委會從小張、小趙、小李、小羅、小王5名志愿者中選派4人分別從事翻譯

12、、導游、禮儀、司機四項不同的工作，其中小張、小趙只能從事前兩項工作，其余三人均可從事這四項工作，則不同的選派方案有_種.思路分析：1. 用三種顏色給5個頂點涂色，可將5個頂點分成三組，即2，2，1模型，然后涂色.2. 先選后排，即先選人，再安排工作.從7人中選6人有種選法，再把選出的6人平均分為2組，每組3人，然后把這2組人安排在周六、周日兩天參加活動.3. 由于5人中只選4人，故小張和小趙被選中有兩種可能：一是小張和小趙只有一人入選，二是小張和小趙都入選，再利用分類計數(shù)原理求解.解題過程：1. 第一步：將5個頂點分為三組：其中兩組有2個頂點，一組有1個頂點.即2，2，1模型.共有種分法（即從

13、5個頂點中任取一個頂點有種，為保證染色時相鄰頂點不同色，另外的4個點只能取相對的頂點為一組，不是相鄰的頂點為一組，此時分法唯一）.第二步：為三組頂點染色有=6種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理得：共有染色方法種.2. 第一步:先選人：從7人中選6人有種選法.第二步：分組：把6個人平均分為2組，每組3人，有種分組方法.第三步：為2組人安排工作有種安排方案.由分步計數(shù)原理知：共有種安排方案.3. （1）小張和小趙只有一人入選，即2人中只有1人入選有2種選法，從小張和小趙中選取1人從事一項工作有2種選法，其余3人從事剩下的三項工作有6種選法，故此時有種選法.（2）小張和小趙都入選，此時小張和小趙從事的工作有2

14、種安排方法，余下的兩人可從小李、小羅、小王中選，有種選法，選出的這兩人從事后兩項工作有2種安排方法選法.此時有種選法.由分類計數(shù)原理知：不同的選派方案共有種.解題后的思考：本例考查分組與分配問題，此類題是新課標高考中的常見題型，解此類題的方法是先分組后分配，分組問題是組合，分配問題是排列.關(guān)鍵是如何分組在分組的時候應(yīng)注意均勻分組、非均勻分組還是部分均勻分組，進行均勻分組或部分均勻分組時均要注意算法中的重復問題，還要注意等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想、分類討論的數(shù)學思想的應(yīng)用.例如：把A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母平均分成3份，出現(xiàn)重復，一般地，把4個元素平均分成2份不同的分法有，6個元素平均分成3份，不同

15、的分法有，等.例3. 應(yīng)用與綜合題1. 某小組6個人排隊照相留念： （1）若排成一排照相，甲、乙兩人必須相鄰，有多少種不同的排法？（2）若排成一排照相，6個人中有3名男生和3名女生，且男生不能相鄰，有多少種不同的排法？（3）若甲、乙、丙三人的順序不變，有多少種排法？2. 方程=10有_組正整數(shù)解.思路分析：1.（1）采用捆綁法.即把甲、乙二人看作一個元素，（2）采用插空法.先排女生，然后在女生之間插入男生.（3）采用倍縮法，6個人排隊有種排法，其中甲、乙、丙順序不變的排法有且只有一種，但甲、乙、丙排列有種排列方法.故有種排法.2. 把10看作10個1相加，把10個1排成一排：1 1 1 1 1

16、 1 1 1 1 1，在10個1之間有9個空隙，在9個空隙中插入3塊隔板，即將10個1分成4組，每次分隔后，每組所包含的1的個數(shù)就是該方程的一組正整數(shù)解.解題過程：1. （1）先把甲、乙2人看成1人，與其他人排隊有種排法，然后甲、乙之間再排隊，有種排法，共有·240種排法；（2）先安排女生有種排列方法，在女生之間（包括兩端）共有4個位置插入男生，有種排列方法，故有·144種排法.（3）6個人排隊有種排法，其中甲、乙、丙順序不變的排法有且只有一種.但甲、乙、丙排列有種排列方法.故有種排法.2. 把10看作10個1相加，把10個1排成一排：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

17、，在10個1之間有9個空隙，在9個空隙中插入3塊隔板，共有種方法，每一種方法把10個1分成4組，每組所包含的1的個數(shù)就是該方程正整數(shù)解的組數(shù).故該方程共有84組正整數(shù)解.解題后的思考：對于排列組合中某些必須在一起的元素，處理時把它們捆綁為一個整體（捆綁法），然后考慮其內(nèi)部的位置關(guān)系；對于排列組合中某些不能相鄰的元素，采用插空法處理，用隔板法處理排列組合問題的實質(zhì)是插空法.知識點二：二項式定理及其應(yīng)用例4. 基礎(chǔ)題1. 在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是_.2. 在二項式的展開式中，常數(shù)項是_.3. 設(shè)，則思路分析：1. 利用通項公式，由x的指數(shù)是4，確定r.2. 方法同上題.3. 賦值法：令x

18、=1，x=1求解.解題過程：1. ，令故含的項的系數(shù)是.2. ，由，故展開式中的常數(shù)項是.3. 令x=1得：令x=1得：.解題后的思考：對于求二項展開式中的某項或某項系數(shù)的問題都是二項式中通項公式的應(yīng)用問題，應(yīng)注意展開式的通項公式是，同時注意某項的二項式系數(shù)與某項系數(shù)的區(qū)別.對于賦值法的應(yīng)用：一般地，設(shè)f（x）=的各項的系數(shù)和是f（1），其中x的奇次項系數(shù)和等于x的偶次項系數(shù)和等于.例5. 中等題1. 在的展開式中，x的系數(shù)是_.2. 在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項有_項.3. 若的展開式中的第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)之比是10:1，則展開式中系數(shù)最大的項是_.思路分析：1. 設(shè)的通項公式是：

19、的通項公式是兩個通項公式中的x的指數(shù)之和是1，根據(jù)，確定r，m的值.2. 利用通項公式求出系數(shù)，是有理數(shù)，只要是有理數(shù)，即r是4的倍數(shù)，即可根據(jù)r的范圍確定項數(shù).3. 根據(jù)已知先確定n的值，設(shè)第（r+1）項的系數(shù)的絕對值最大，第r項、第（r+1）項、第（r+2）項的系數(shù)的絕對值分別是，則由及r的范圍確定r的值，從而確定系數(shù)最大的項.解題過程：1. 的通項公式是，則x的系數(shù)是，展開式中x的指數(shù)是，由=1，其中：，故有，所求x的系數(shù)是.2. （r=0，1，2，要使系數(shù)是有理數(shù)，只要r是4的倍數(shù).故r=0，4，8，12，16，20其系數(shù)為有理數(shù)，共有6項.3. 由已知得：設(shè)第（r+1）項的系數(shù)的絕對

20、值最大，第r項、第（r+1）項、第（r+2）項的系數(shù)的絕對值分別是，則，又因第6項的系數(shù)為負值，故系數(shù)最大的項是.解題后的思考：對于求展開式中的有理項或系數(shù)為有理數(shù)的項的問題仍是通項公式的應(yīng)用問題.求展開式中系數(shù)最大的項，一般是設(shè)展開式中的系數(shù)為，第（k+1）項的系數(shù)最大，則由不等式組確定k的值.對于求展開式中系數(shù)最大的項的問題，可考慮先求出系數(shù)絕對值最大的項，再確定所求的系數(shù)最大的項.如本例中的第3題.例6. 應(yīng)用與綜合題已知（展開式中的常數(shù)項是T，f（x）是以T為周期的函數(shù)，且當時，f（x）=x在區(qū)間 1，3內(nèi)， 函數(shù)有4個零點，求k的范圍.思路分析：根據(jù)已知條件求出T，將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為

21、函數(shù)的交點，再通過函數(shù)圖像確定k的范圍.解題過程：（的通項公式是，令，故常數(shù)項是即T=2，將函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點.作出函數(shù)在區(qū)間1，3上的圖像（如圖）：函數(shù)的圖像過定點（1，0），當?shù)膱D像過點P（3，1）時，兩函數(shù)圖像有4個交點，此時k取得最大值，根據(jù)，故所求k的范圍是.解題后的思考：對于二項式定理與其他知識點結(jié)合的題目，解題時利用二項式定理求出相關(guān)的量是解題的突破口，但就題目本身而言可能難度較大. 在新課標高考中，考查排列、組合、二項式定理等知識點的考查以基礎(chǔ)知識為主，出現(xiàn)的題型基本上都是客觀題，且題目難度較小.在處理排列、組合問題時，掌握處理問題常用的方法很關(guān)鍵，如捆綁法、插空法、倍

22、縮法、隔板法等，要注意分類討論、等價轉(zhuǎn)化、化歸等數(shù)學思想的應(yīng)用.對有關(guān)二項式定理問題的處理，關(guān)鍵是抓住二項展開式的通項公式的應(yīng)用，求展開式中的某項、某項的系數(shù)、系數(shù)最大的項等問題實質(zhì)都是通項公式的應(yīng)用問題.（答題時間：45分鐘）一、選擇題1. 五位同學報名參加2個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的報名方法有（ ）種.A. 10 B. 20 C. 25 D. 322. 北京四中在高二年級開展農(nóng)村生活體驗活動，將其中的7名學生分配到甲、乙、丙三個農(nóng)戶的家中居住，每家至多住3人，則不同的分配方法有（ ）種A. 350 B. 525 C. 1050 D. 21003. 從0，1，2，3，

23、4，5六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)是（ ）個.A. 300 B. 216 C. 180 D. 1624. 某臺小型晚會由六個節(jié)目組成，演出順序如下：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案有（ ）種.A. 36 B. 42 C. 48 D. 545. 8名學生和2位老師合影，兩位老師不相鄰的排法有（ ）種.A. B. C. D. 6. 某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學從中選三門，要求兩類課程至少各選一門則不同的選法有（ ）種.A. 30 B. 35 C. 42 D. 487. 若n（ ）A. 一定是奇數(shù) B. 一定是偶數(shù) C. 與n的奇偶性相反 D. 與n有相同的奇偶性8. 若的展開式中二項式的系數(shù)和是64，則展開式中的常數(shù)項是（ ）A. 10 B. 20 C. 30 D. 1209. 在的展開式中，系數(shù)大于1的項共有（ ）項A. 3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空題10. 將4名大學生分配到三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至