相遇及追及問題

1、相遇及追擊問題（一）一 填空題（共12小題）1 五羊公共汽車公司的 555路車在A, B兩個(gè)總站間往返行駛，來回均為每隔x分鐘發(fā)車一次小宏在大街上騎自行車前行，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛555路車，而每隔3分鐘則迎面開來一輛 555路車假 設(shè)公共汽車與小宏騎車速度均勻，忽略停站耗費(fèi)時(shí)間，則x= _ 分鐘.2在一條街AB上，甲由A向B步行，乙騎車由B向A行駛，乙的速度是甲的速度的3倍，此時(shí)公共汽車由始發(fā)站A開出向B行進(jìn)，且每隔x分發(fā)一輛車，過了一段時(shí)間，甲發(fā)現(xiàn)每隔10分有一輛公共汽車追上他，而乙感到每隔5分就碰到一輛公共汽車， 那么在始發(fā)站公共汽車發(fā)車的間隔時(shí)間x= _ 分鐘.3 小王沿街勻

2、速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛 18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛 18路公交車假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是_分鐘.4 .小鋒騎車在環(huán)城路上勻速行駛，每隔 5分鐘有一輛公共汽車從對面向后開過，每隔 20分鐘又有一輛公 共汽車從后向前開過，若公共汽車也勻速行駛，不計(jì)中途耽誤時(shí)間，則公交車車站每隔 分 鐘開出一輛公共汽車.5 .某人在公共汽車上發(fā)現(xiàn)一個(gè)小偷向反方向步行，10秒鐘后他下車去追小偷，如其速度比小偷快一倍,比汽車慢半，則追上小偷要（）秒56 .某人沿電車路線行走，每 12分鐘有一輛電車從后面趕上，每4分鐘有一輛

3、電車迎面開來，若行人與電車都是勻速前進(jìn)的，則電車每隔 分鐘從起點(diǎn)開出一輛.7.某公交公司停車場內(nèi)有 15輛車，從上午6時(shí)開始發(fā)車（6時(shí)整第一輛車開出），以后每隔6分鐘再開出 一輛第一輛車開出 3分鐘后有一輛車進(jìn)場，以后每隔 8分鐘有一輛車進(jìn)場，進(jìn)場的車在原有的 15輛車 后依次再出車問到點(diǎn)時(shí)，停車場內(nèi)第一次出現(xiàn)無車輛&通訊員從隊(duì)伍末尾追趕至隊(duì)伍前頭時(shí)用全速進(jìn)行，其速度為隊(duì)伍的3倍，當(dāng)他從隊(duì)伍前面返回隊(duì)伍末尾時(shí)每分鐘減少100米在隊(duì)伍前進(jìn)過程中，通訊員連續(xù)三次往返執(zhí)行任務(wù)，途中花費(fèi)時(shí)間共1小時(shí)，其中三次往返隊(duì)伍末尾時(shí)間比三次追趕隊(duì)伍前頭時(shí)間共少用12分鐘，則隊(duì)伍的長為_ 9 男女運(yùn)動(dòng)員各

4、一名，在環(huán)行跑道上練習(xí)長跑，男運(yùn)動(dòng)員比女運(yùn)動(dòng)員速度快，如果他們從同一起跑點(diǎn)沿 相反方向同時(shí)出發(fā)，那么每隔25秒相遇一次，現(xiàn)在他們從同一起跑點(diǎn)沿相同方向同時(shí)出發(fā)，男運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過15分鐘追上女運(yùn)動(dòng)員，并且比女運(yùn)動(dòng)員多跑了16圈，女運(yùn)動(dòng)員跑了 圈.10 .有甲、乙兩輛小汽車模型，在一個(gè)環(huán)形軌道上勻速行駛，甲的速度大于乙.如果它們從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿相反方向行駛，那么每隔1丄分鐘相遇一次現(xiàn)在，它們從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿相同方向行駛，當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，乙已經(jīng)行駛了4圈，此時(shí)它們行駛了 分鐘.11 . 一路電車的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)車開往乙站，全程要走15分鐘，有一個(gè)人從乙

5、站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站，他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站，在路上 他又遇到了 10輛迎面開來的電車，才到達(dá)甲站，到甲站時(shí)恰好又有一輛電車從甲站開出，問他從乙站到 甲站用了分鐘.12 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=4cm, AD=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)D以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，Q以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在B C兩點(diǎn)之間做往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D為止，這段時(shí)間內(nèi)線段PQ有次與線段AB平行.孑£7413 .（巴蜀初2012級(jí)第一次月考16題）某人從甲地走往乙地，甲、乙兩地之間有定時(shí)的公共汽車往返， 且兩地發(fā)車的時(shí)間間隔都相等。他發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘開過來一輛去甲

6、地的公共汽車，每隔12分鐘開過來輛去乙地的公共汽車，則公共汽車每隔幾分鐘從各自的始發(fā)站發(fā)車（假設(shè)每輛公共汽車的速度相同）二元一次方程的應(yīng)用。 行程問題。s=10 (V1 -)相遇及追擊問題（一）答案與評分標(biāo)準(zhǔn)一 填空題（共12小題）1 五羊公共汽車公司的 555路車在A, B兩個(gè)總站間往返行駛，來回均為每隔x分鐘發(fā)車一次小宏在大街上騎自行車前行，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛555路車，而每隔3分鐘則迎面開來一輛 555路車假 設(shè)公共汽車與小宏騎車速度均勻，忽略停站耗費(fèi)時(shí)間，則x= 4 分鐘.考點(diǎn)：三元一次方程組的應(yīng)用。專題：行程問題。分析：可設(shè)路車和小宏的速度為未知數(shù)，等量關(guān)系為：6X（路車

7、的速度-小宏的速度）=x路車的速度；3X（路車的速度+小宏的速度）=xX路車的速度，消去 x后得到路程速度和小宏速度的關(guān)系式，代入任意一個(gè) 等式可得x的值.解答：解：設(shè)路車的速度為 a,小宏的速度為 b.% ta-b)3 (alb) =ax解得a=3b,代入第2個(gè)方程得x=4, 故答案為4.點(diǎn)評：考查3元一次方程組的應(yīng)用；消元是解決本題的難點(diǎn)；得到相遇問題和追及問題的等量關(guān)系是解決 本題的關(guān)鍵.2在一條街AB上，甲由A向B步行，乙騎車由B向A行駛，乙的速度是甲的速度的 3倍，此時(shí)公共汽 車由始發(fā)站A開出向B行進(jìn)，且每隔x分發(fā)一輛車，過了一段時(shí)間，甲發(fā)現(xiàn)每隔 10分有一輛公共汽車追 上他，而乙感

8、到每隔 5分就碰到一輛公共汽車，那么在始發(fā)站公共汽車發(fā)車的間隔時(shí)間x= 8分鐘.考點(diǎn)： 專題： 分析：設(shè)公共汽車的速度為 VI,甲的速度為V2因?yàn)閮奢v車間隔距離相等，汽車與甲是追及問題，即甲與汽車之間距離為 s=10 （Vi- V2）汽車與乙是相遇問題，即乙與汽車之間的距離為s=5 （V1+3V2）根據(jù)上面兩式可得到 W=5V2 再代入 即可求得的值至此問題得解.V1解答：解：設(shè)公共汽車的速度為 V1,甲的速度為 V2.rs=LO C - V2)由題意得由-得0=5V1 - 25V2，即V1=5V2將代入得故答案為8 點(diǎn)評：本題考查二元一次方程組的應(yīng)用解決本題的關(guān)鍵是將本題理解為追及與相遇問題

9、，解得未知數(shù)的 比例關(guān)系，即為本題的解.3 小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛 18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛 18路公交車假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是4分鐘.考點(diǎn)：有理數(shù)的加減混合運(yùn)算。 專題：應(yīng)用題。分析：根據(jù)路程=速度刈寸間，則此題中需要用到三個(gè)未知量：設(shè)車的速度是a,人的速度是b，每隔t分發(fā)一班車然后根據(jù)追及問題和相遇問題分別得到關(guān)于a，b，t的方程，聯(lián)立解方程組，利用約分的方法即可求得t 解答：解：設(shè)車的速度是 a,人的速度是b，每隔t分發(fā)一班車.二輛車之間的距離是：at車從背后超過是一個(gè)追及問題

10、，人與車之間的距離也是：at那么：at=6 (a - b)車從前面來是相遇問題，那么：at=3 (a+b)十，得：a=3b所以：at=4at=4即車是每隔4分鐘發(fā)一班.點(diǎn)評：注意：此題中涉及了路程問題中的追及問題和相遇問題解方程組的時(shí)候注意技巧.4 .小鋒騎車在環(huán)城路上勻速行駛，每隔 5分鐘有一輛公共汽車從對面向后開過，每隔 20分鐘又有一輛公 共汽車從后向前開過，若公共汽車也勻速行駛，不計(jì)中途耽誤時(shí)間，則公交車車站每隔8分鐘開出一輛公共汽車.考點(diǎn)：三元一次方程組的應(yīng)用。專題：行程問題。分析：設(shè)相鄰汽車間距離為 L,汽車速為 W,自行車為V2,間隔時(shí)間為t 根據(jù)題意列出三元一次方程組、 并解方

11、程組即可.解答：解：設(shè)相鄰汽車間距離為 則根據(jù)題意，得L,汽車速為Vi，自行車為V2,間隔時(shí)間為t.Vi=：V2,將、代入，解得t=8.故答案是：&點(diǎn)評：本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用解答此題的關(guān)鍵是列出方程組，用代入消元法或加減消元法求 出方程組的解.5 .某人在公共汽車上發(fā)現(xiàn)一個(gè)小偷向反方向步行，10秒鐘后他下車去追小偷，如其速度比小偷快一倍,比汽車慢二，則追上小偷要(亠宀 考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。專題：行程問題。分析：可以設(shè)車的速度為 X,則某人的速度為丄X,小偷的速度為X,設(shè)t秒可以追上小偷，根據(jù)汽車52510秒行駛的路程+ (10+t)秒小偷的路程=某人的行程列出方程求解即

12、可.解答：解：設(shè)車的速度為 x米/秒，則某人的速度為±X米/秒，小偷的速度為.-米/秒，設(shè)t秒可以追上小偷，根據(jù)題意得:10x+丄一x25x（ t+10）解得：t=110 （秒）.故答案填：110.點(diǎn)評：本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適 的等量關(guān)系列出方程，再求解.6 .某人沿電車路線行走，每 12分鐘有一輛電車從后面趕上，每4分鐘有一輛電車迎面開來，若行人與電車都是勻速前進(jìn)的，則電車每隔6 分鐘從起點(diǎn)開出一輛.考點(diǎn)：二元一次方程組的應(yīng)用。專題：方程思想。分析：每12分鐘有一輛電車從后面趕上屬于追及問題，等量關(guān)系為：電車12分走的

13、路程=行人12分走的路程+兩輛電車相間隔的路程；每 4分鐘有一輛電車迎面開來，是相遇問題，等量關(guān)系為：電車4分走的路程+行人4分走的路程=兩輛電車相間隔的路程，兩輛電車間隔的路程為兩輛電車相隔的時(shí)間電車的速度.解答：解：設(shè)電車的每分走 x,行人每分走y,電車每隔a分鐘從起點(diǎn)開出一輛.4x+4y=ax兩式相減得：x=2y把x=2y代入方程組任何一個(gè)式子都可以得到a=6點(diǎn)評：本題考查行程問題中的相遇問題和追及問題，那么就需要弄清相應(yīng)的模式加以分析.7.某公交公司停車場內(nèi)有 15輛車，從上午6時(shí)開始發(fā)車（6時(shí)整第一輛車開出），以后每隔6分鐘再開出 一輛.第一輛車開出 3分鐘后有一輛車進(jìn)場，以后每隔

14、8分鐘有一輛車進(jìn)場，進(jìn)場的車在原有的 15輛車 后依次再出車問到點(diǎn)時(shí)，停車場內(nèi)第一次出現(xiàn)無車輛考點(diǎn)：一元一次不等式的應(yīng)用。 專題：應(yīng)用題。分析：可設(shè)6時(shí)后x分時(shí)出現(xiàn)無車輛根據(jù)無車時(shí)進(jìn)場車所用的總時(shí)間大于出場的車所用的總時(shí)間可得關(guān) 系式為：8洶場車數(shù)6礎(chǔ)場車數(shù)-3，可先得到x的值進(jìn)而計(jì)算所用時(shí)間.解答：解：設(shè)6時(shí)后開出第x輛車后停車場無車.8 X （x- 15） 6 X （x - 1）- 3,解得x,開出第56輛車后停車場無車.所用時(shí)間為（56 - 1） X 6十小時(shí).到時(shí)第一次出現(xiàn)無車.故答案為.點(diǎn)評：考查一元一次不等式的應(yīng)用；得到無車輛時(shí)相應(yīng)時(shí)間的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.&通訊員從隊(duì)

15、伍末尾追趕至隊(duì)伍前頭時(shí)用全速進(jìn)行，其速度為隊(duì)伍的3倍，當(dāng)他從隊(duì)伍前面返回隊(duì)伍末尾時(shí)每分鐘減少100米.在隊(duì)伍前進(jìn)過程中，通訊員連續(xù)三次往返執(zhí)行任務(wù)，途中花費(fèi)時(shí)間共1小時(shí)，其中三次往返隊(duì)伍末尾時(shí)間比三次追趕隊(duì)伍前頭時(shí)間共少用12分鐘，則隊(duì)伍的長為40米.考點(diǎn)：應(yīng)用類問題。分析：此題根據(jù)題意先分析出每一天往返的時(shí)間和每一次往返時(shí)間差，得出趕隊(duì)伍前時(shí)間和返回時(shí)間，然 后設(shè)出隊(duì)伍速度和隊(duì)伍長的長，在分兩種情況，趕過程和返過程列出方程，得出隊(duì)伍的長.解答：解：每一天往返的時(shí)間為 _h,每一次往返時(shí)間差為-一h,315所以趕隊(duì)伍前時(shí)間為 _lh,返回時(shí)間為丄h,1515設(shè)隊(duì)伍速度為x米/小時(shí)，隊(duì)伍長為 y

16、米，趕過程：y=3x-xi，1515返過程：y= (3x - 100)，1515解得：x=5卡，把代入解得：x=100, y=40,所以隊(duì)伍的長為40米；故填；40米.點(diǎn)評：此題考查了應(yīng)用類問題； 解題的關(guān)鍵是讀懂題意，分析出每一天往返的時(shí)間和每一次往返的時(shí)間差，列出方程.9 .男女運(yùn)動(dòng)員各一名，在環(huán)行跑道上練習(xí)長跑，男運(yùn)動(dòng)員比女運(yùn)動(dòng)員速度快，如果他們從同一起跑點(diǎn)沿相反方向同時(shí)出發(fā)，那么每隔25秒相遇一次，現(xiàn)在他們從同一起跑點(diǎn)沿相同方向同時(shí)出發(fā)，男運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過15分鐘追上女運(yùn)動(dòng)員，并且比女運(yùn)動(dòng)員多跑了16圈，女運(yùn)動(dòng)員跑了10 圈.考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。專題：行程問題。分析：易得男女運(yùn)動(dòng)員合跑

17、一圈需要25秒，看15分鐘可合跑幾圈，列出方程求解即可.解答：解：設(shè)女運(yùn)動(dòng)員跑了 x圈，則男運(yùn)動(dòng)員跑了(x+16)圈，則：x+x+16=15X 60-2,解得：x=10.故答案為10.點(diǎn)評：考查一元一次方程的應(yīng)用，得到追及問題中男女運(yùn)動(dòng)員合跑圈數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.10 .有甲、乙兩輛小汽車模型，在一個(gè)環(huán)形軌道上勻速行駛，甲的速度大于乙.如果它們從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)沿相反方向行駛，那么每隔1丄分鐘相遇一次.現(xiàn)在，它們從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿相同方向行駛，當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)，乙已經(jīng)行駛了4圈，此時(shí)它們行駛了12 分鐘.考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。分析：首先假設(shè)出甲的速度為每分鐘x米，乙每分鐘行駛

18、y米，根據(jù)已知表示出環(huán)形軌道一圈的距離，與甲，乙一共行駛的路程，路程除以速度，即是所用時(shí)間.解答：解：設(shè)甲的速度為每分鐘 x米，乙每分鐘行駛y米，根據(jù)題意得：環(huán)形軌道一圈的距離為：1丄(x+y),甲第一次追上乙時(shí)，乙已經(jīng)行駛了4圈，甲已經(jīng)行駛了 5圈，甲，乙一共行駛了 9圈，甲，乙一共行駛了：9 x1 (x+y)米，根據(jù)它們的速度之和為：x+y,此時(shí)它們行駛了： 9 X1 (x+y) *( x+y) =12分鐘.故答案為：12.點(diǎn)評：此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，得出甲，乙所行的路程，與速度是解決問題的關(guān)鍵.11. 一路電車的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)車開往乙

19、站，全程要走15分鐘，有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站，他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站，在路上 他又遇到了 10輛迎面開來的電車，才到達(dá)甲站，到甲站時(shí)恰好又有一輛電車從甲站開出，問他從乙站到 甲站用了40 分鐘.考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。分析：先根據(jù)題意可得出騎車人從乙站到甲站所用時(shí)間正好是第4輛電車從甲站開出到第 12輛電車由甲站開出之間的時(shí)間，列出式子即可求出結(jié)果.解答：解：由題意可得騎車人一共看見12輛電車，因每隔5分鐘有一輛電車開出，而全程需15分，所以騎車人從乙站出發(fā)時(shí)，第4輛車正從甲站開出，騎車人到達(dá)甲站時(shí)，第 12輛車正從甲站開出，所以，騎車人從乙站到甲站所用時(shí)間就

20、是第4輛電車從甲開出到第 12輛電車由甲開出之間的時(shí)間，即(12 - 4) X5=40故答案為：40.點(diǎn)評：本題主要考查了學(xué)生如何分析較復(fù)雜的路程問題，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，會(huì)根據(jù)題目給出 的條件，找出其中的數(shù)量關(guān)系，求出答案.12 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=4cm, AD=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)D以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，Q以每秒 4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在B C兩點(diǎn)之間做往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn)D為止，這段時(shí)間內(nèi) 線段PQ有4次與線段AB平行.*Q考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：由已知可得：點(diǎn)Q需要4次到達(dá)B點(diǎn)，而在每次的運(yùn)動(dòng)過程中都有一次PQ/ AB,根據(jù)

21、AD/ BC, PQ/ AB,則可知四邊形 APQB是平行四邊形，則當(dāng) PA=BQ時(shí)四邊形APQB是平行四邊形，列方程求解即可得到所需 時(shí)間.解答：解：根據(jù)已知可知：點(diǎn) Q需要4次到達(dá)B點(diǎn)；在點(diǎn)Q第一次到達(dá)點(diǎn)B的過程中，四邊形ABCD是矩形， AD/ BC,若 PQ/ AB,則四邊形APQB是平行四邊形， AP=BQ,設(shè)過了 t 秒，PQ/ AB,貝U PA=t, BQ=12- 4t, t=12 - 4t, t= (s),在點(diǎn)Q第二次到達(dá)點(diǎn)B的過程中，設(shè)過了 t 秒，貝U PA=t, BQ=12 - 4 (t - 3),解得：t= (s),在點(diǎn)Q第三次到達(dá)點(diǎn)B的過程中，設(shè)過了 t 秒，貝U P

22、A=t, BQ=12 - 4 (t - 6),解得： t=( s)， 在點(diǎn) Q 第四次到達(dá)點(diǎn) B 的過程中， 設(shè)過了 t 秒，貝 PA=t， BQ=12- 4(t- 9)， 解得： t=(s)這段時(shí)間內(nèi)線段 PQ有4次與線段AB平行.故答案為： 4點(diǎn)評： 此題考查了矩形的性質(zhì)與平行四邊形的判定與性質(zhì)，此題屬于運(yùn)動(dòng)型題目此題屬于中檔題，解題 時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用13某人從甲地走往乙地，甲、乙兩地之間有定時(shí)的公共汽車往返，且兩地發(fā)車的時(shí)間間隔都相等。他發(fā) 現(xiàn)每隔 6 分鐘開過來一輛去甲地的公共汽車，每隔 12 分鐘開過來一輛去乙地的公共汽車，貝公共汽車每 隔幾分鐘從各自的始發(fā)站發(fā)車(假

23、設(shè)每輛公共汽車的速度相同)解答一分析 ：本題屬行程問題 ,由于每輛公共汽車速度相同,且兩地發(fā)車時(shí)間都相等 ,所以往同一方向行駛的相鄰的汽車距離是相等的 ,不妨設(shè)此距離為單位1;每隔 1 2分鐘從身后過來一輛公共汽車,即每隔 1 2分鐘,汽車比人多走單位 1 的路程 ;而每隔 6 分鐘從對面來一輛公共汽車 ,即每 6 分鐘人和汽車共同走完單位 1 的路程 .解答:設(shè)往同一方向行駛的相鄰兩輛公共汽車之間距離為"1"；人單獨(dú)走完此單位1的距離用X分鐘,公共汽車單獨(dú)行完單位1的距離用Y分鐘1/Y+1/X=1/6 (1);1/Y-1/X=1/12(2).解之得 :Y=8.即公共汽車每隔 8 分鐘從各自的車站發(fā)一輛車 .解答二分析：設(shè)他某個(gè)時(shí)間剛好同時(shí)遇上兩種車這時(shí)候他身后的一個(gè)發(fā)車間距離有A車身前兩個(gè)距離有 B 車然后總共三個(gè)距離，要走 12分鐘相遇 所以身后的車就是 12 分鐘走了個(gè)距離 所以