微積分基礎實驗報告mathematica

1、微積分基礎實驗報告mathematica 微積分基礎 實驗報告 【實驗目的】 1.驗證 sinx 的泰勒級數(shù)； 2.了解函數(shù)的升降情況以及求零點和極值； 3.了解正弦函數(shù)的疊加圖像; 4.了解無極限的函數(shù)例; 5.了解無窮積分; 6.通過無窮大數(shù)列求自然對數(shù) e 【實驗要求】 1.觀察多項式函數(shù) 、 、 的圖像逼進正弦曲線的情況。 2.觀察函數(shù) 及其導函數(shù) 的圖像，了解圖像的升降情況以及凹凸情況，求出零點與極值。 3.觀察函數(shù) 與 的圖像，了解隨著k的增大，圖像的變化。 4.（1）繪制函數(shù) 在區(qū)間 x -1,1上的圖像，觀察圖像當 x0時的變化情況。 (2)在函數(shù)中取 3000 個點，繪制散點

2、圖。觀察這些點的分布。 5.繪制函數(shù) 與 的圖像，觀察當 n 增加時 p(x)向 sinx 逼近的現(xiàn)象。 63xx y - =120 65 3x xx y + - =! 7 ! 5 ! 37 5 3x x xx y - + - =63xx y - =21 "2xy - =x kkymk) 1 2 sin(1 211-= å=å=mkkkxy1sinxy1sin =Îx y sin =Õ=- · =nkkxx x p12 22) 1 ( ) (p 6.（1）通過計算 與 的值，觀察這些值的變化趨勢。 （2）繪制 , 與 y=e 的圖像，

3、觀察當 x 增大時圖像的走向。 （3）計算 的近似值，觀察這些近似值對 e 的逼近情況。 】 【實驗內(nèi)容】 （主要包含問題分析、 計算過程 、實驗結(jié)果等，按課程要求 完成 ） 問題的分析 （1）分別用不同顏色的曲線繪制出區(qū)間 上正弦曲線以及多項式函數(shù) 、 、 的圖像。 （2）根據(jù)理論知識可知，多項式項數(shù)越多越接近正弦曲線的圖像。 （1）分別用不同顏色的曲線繪制出區(qū)間 上函數(shù) 及其導函數(shù) 的圖像。 （2）當 y0 時，函數(shù)下降，當 y0 時函數(shù)上升，當 y=0 時，函數(shù)圖像存在極值。 當 y上升時，函數(shù)圖像為凸函數(shù)，當 y下降時，函數(shù)圖像為凹圖像。當 y取極值時，函數(shù)圖像出現(xiàn)拐點。 （3）通過圖

4、像得出零點近似值，以及函數(shù)極小值的近似值，通過編程nnna)11 ( + =1)11 (+ =nnnaxxy10)1011 ( + =1 10)1011 (+ =xxyå¥=+ =1!11kke , p p - Î x63xx y - =120 65 3x xx y + - =! 7 ! 5 ! 37 5 3x x xx y - + - = 4 , 4 - Î x63xx y - =21 "2xy - = 得出精確的零點與極值。 （1）分別繪制出區(qū)間 上函數(shù) 與 的圖像。 （2）當 k 越大時，"波浪'形曲線越接近于直線。 4

5、.（1）繪制函數(shù) 在區(qū)間 x -1,1上的圖像。 （2）函數(shù)在 x=0 處沒有取值。 （3）繪制散點圖，觀察散點圖的分布。 （1）分別取 n=5,50,500,在同一坐標系中繪制區(qū)間 上函數(shù)與 的圖像。 （2）n 越大，p(x)的圖像越逼近 y=sinx 的圖像。 6.（1）計算 與 的值，當 n 越大時取值越接近 e。 （2）繪制 , 與 y=e 的圖像，觀察當 x 增大時圖像的走向。 計算 的近似值，分別取 k=5，10,15,20,25,30。觀察這些數(shù)值可知，當 k 增大時，取值越接近 e。 計算過程 1 1. plotsinx,x-x3/6+x5/120,x-x3/6,x-x3/6+

6、x5/120-x7/(7!),x,-pi,pi 2 , 2 p p - Î xx kkymk) 1 2 sin(1 211-= å=å=mkkkxy1sinxy1sin =Î 4 , 4 p p - Î xx y sin =Õ=- · =nkkxx x p12 22) 1 ( ) (pnnna)11 ( + =1)11 (+ =nnnaxxy10)1011 ( + =1 10)1011 (+ =xxyå¥=+ =1!11kke curve1=plotsinx,x,-pi,pi,plotstyle-rgbc

7、olor1,0,0; curve2=plotx-x3/6+x5/120,x,-pi,pi, plotstyle-rgbcolor1,0,1; curve3=plotx-x3/6,x-x3/6+x5/120-x7/(7!),x,-pi,pi; showcurve1,curve2,curve3 2. plotx-x3/6,1-x2/2,x,-4,4 findrootx-x3/6,x,2.5 ga_.=a-(a-a3/6)/(1-a2/2) nestlistg,2.5,4 findminimumx-x3/6,x,-1.5 findminimum-x+x3/6,x,-1.5 fx_,n_:=sum(-

8、1)k*x(2*k+1)/(2*k+1)!),k,0,n; doprintfindrootfx,n,x,3.0,n,3,7 3. (1)fx_,n_:=sumsink*x/k,k,1,n,2;plotfx,519,x,-2pi,2pi fx_,n_:=sumsink*x/k,k,1,n,2;plotfx,9,x,-2pi,2pi (2)fx_,n_:=sumsink*x/k,k,1,n;plotfx,519,x,-2pi,2pi fx_,n_:=sumsink*x/k,k,1,n,;plotfx,9,x,-2pi,2pi 4. (1)plotsin1/x,x,-1,1 plotsin1/x,x

9、,-0.1,0.1 (2)t=table1/k,sink,k,1,3000; p=listplott d=44; t1=table1/k,sink,k,3,3000,d; t2=table1/k,sink,k,6,3000,d; p1=listplott1,plotjoined-true,plotstyle-rgbcolor1,0,0; p2=listplott2,plotjoined-true,plotstyle-rgbcolor1,0,0; showp,p1,p2 5. fgsin=plotsinx,x,-4pi,4pi,plotstyle-rgbcolor1,0,0; px_,n_:=x

10、*product1-x2/(k*pi)2,k,1,n; fgproduct=plotpx,50,x,-4pi,4pi; showfgsin,fgproduct fgsin=plotsinx,x,-4pi,4pi,plotstyle-rgbcolor1,0,0; px_,n_:=x*product1-x2/(k*pi)2,k,1,n; fgproduct=plotpx,500,x,-4pi,4pi; showfgsin,fgproduct 6. (1)doprint(1.0+1/10n)(10n),(1.0+1/10n)(10n+1),n, 1,7 (2)plot(1+10(-x)(10x),(

11、1+10(-x)(10x+1),e,x,1,4 plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),e,x,2,4 plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),e,x,3,5 plot(1+10(-x)(10x),(1+10(-x)(10x+1),e,x,5,6 doprintn1+sum1/(k!),k,1,n,30,n,5,30 問題求解結(jié)果的分析與結(jié)論 1 1. 改進： -3 -2 -1 1 2 3-2-112-3 -2 -1 1 2 3-1-0.50.51 圖一 通過觀察圖像，可以看出圖一中的紅線即 的圖像最接近正弦曲線，基本與正弦曲線相

12、吻合。黑線即 距離正弦曲線最遠。這說明泰勒級數(shù)的項數(shù)越多，圖像越接近正弦曲線。由此可以驗證sinx 的泰勒級數(shù)展開式的正確性。 2. 圖二 x2.449490.942809,x-1.41421 由圖可知，導數(shù)大于零時，x 在負根 2 到正根 2 下，y 單增，導數(shù)小于零時，x 在大于正根 2，小于負根 2，y 單減。導數(shù)等于零時，存在極-3 -2 -1 1 2 3-1-0.50.51-3 -2 -1 1 2 3-2-112-3 -2 -1 1 2 3-2-112! 7 ! 5 ! 37 5 3x x xx y - + - =63xx y - =-4 -2 2 4-4-224 大值于極小值。當

13、y上升時，函數(shù)圖像為凸函數(shù)，當 y下降時，函數(shù)圖像為凹圖像。當 y取極值時，函數(shù)圖像出現(xiàn)拐點。并且得到一個零點為 x=2044949,以及極小值點（1.41421，0.942809） 3. 圖四 圖三 圖五 圖六 由圖可知，當 k 越大時，正弦函數(shù)的疊加曲線由波浪形逐漸趨近于直線。并且周期為 2 ，分別分析兩個函數(shù)的圖像， 的圖像在某一區(qū)間上，"波浪'呈現(xiàn)向下趨勢平行于 x 軸，而 的圖像在某一區(qū)間上，"波浪'呈現(xiàn)向下趨勢。 實系線性組合： 當 a1 到 an 為 1 到 n，b0 到 bn 為 0 到 n，間隔都為 1 fx_,n_;=suma*sink*

14、x+b*cosk*x,k,1,n,1,a,1,n,1,b,1-6 -4 -2 2 4 6-0.75-0.5-0.250.250.50.75-6 -4 -2 2 4 6-0.75-0.5-0.250.250.50.75-6 -4 -2 2 4 6-1.5-1-0.50.511.5-6 -4 -2 2 4 6-1.5-1-0.50.511.5px kkymk) 1 2 sin(1 211-= å=å=mkkkxy1sin ,n,1; plotfx,10,x,-2pi,2pi 當 a1 到 an 為 1 到 n，中間間隔 2，b1 到 bn 為 1 到 n，中間間隔 3 fx_,

15、n_;=suma*sink*x+b*cosk*x,k,1,n,1,a,1,n,2,b,1,n,3; plotfx,10,x,-2pi,2pi 能得到 f(x)函數(shù)的圖像。 當 x 是連續(xù)的時候，該函數(shù)收斂于 f(x)。 周期性函數(shù)都可以展成傅里葉級數(shù)。 4. 圖七 圖八 由圖可知，當 x-0 時，函數(shù)分布越密集而在 x=0 處是否存在極值卻無-6 -4 -2 2 4 6-2021-100010002021-6 -4 -2 2 4 6-400-202100400-1 -0.5 0.5 1-1-0.50.51-0.1 -0.05 0.05 0.1-1-0.50.51 法判斷，于是將區(qū)間放大，取區(qū)間

16、 ,f 發(fā)現(xiàn)函數(shù)分布更加密集，而在 x=0 處仍然無法判斷是否存在取值。所以這些圖像只能說明當 x0 時，函數(shù)分布越密集。并不能判斷 x=0 處是否存在極值。 plotsin1/x,x,-0.01,0.01 區(qū)間越趨近 0，曲線震動越強烈。 （2） 繪制散點圖并觀察，這 3000 個點當中的某些點構(gòu)成一條曲線。 1 . 0 , 1 . 0 - Î x-0.01 -0.005 0.005 0.01-1-0.50.510.001 0.002 0.003 0.004-1-0.50.510.001 0.002 0.003 0.004-0.8-0.6-0.4-0.2 改變 k 的開始值 0.0

17、01 0.002 0.003 0.004-0.20.20.40.60.80.001 0.002 0.003 0.004-1-0.50.510.001 0.002 0.003 0.004-0.975-0.95-0.925-0.9-0.875-0.85-0.8250.001 0.002 0.003 0.004-0.20.20.40.60.80.001 0.002 0.003 0.004-1-0.50.51 改變 d p2 圖像不變，變得是 p1。 為了辨別那些點組成一條直線，很自然的想法是辨認某一點距離最近的是哪一點 ， 與 的距離d(k,m)與 相關，k 取不同值，就得到不同曲線。 5. 0.0

18、02 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014-0.85564-0.85562-0.85558-0.85556-0.85554-0.855520.001 0.002 0.003 0.004-0.20.20.40.60.80.001 0.002 0.003 0.004-1-0.50.51) sin ,1( kka k) sin ,1( mma mkama2)1 1(m k- k 改為 500 時， 圖像重合，說明當 n 增加時候，pn（x）接近 sinx 分別取 n=50,500,在同一坐標系中繪制區(qū)間 上函數(shù) 與的圖像。觀察可知，n 越大，p(x)的圖像越逼近y=sinx 的圖像。 6. -10 -5 5 10-1-0.50.51-10 -5 5 10-1-0.50.51-10 -5 5 10-1-0.50.51-10 -5 5 10-1-0.50.51 4 , 4 p p - Î x x y sin =Õ=