多項式擬合matlab之方法

1、西安科技大學(xué)研究生課程數(shù)據(jù)倉庫與數(shù)據(jù)挖掘?qū)嶒瀳蟾鎸嶒烆}目使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數(shù)據(jù)壓縮 指導(dǎo)老師：李愛國 學(xué) 生：陳立朝 學(xué) 號：16208009004 專 業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)西安科技大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院實驗報告一、實驗題目：使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數(shù)據(jù)壓縮二、實驗?zāi)康?.掌握離散數(shù)據(jù)的Haar小波變換和傅里葉變換的定義，基本原理和方法.2.使用C+實現(xiàn)數(shù)據(jù)的Haar小波變換和離散傅里葉變換. 3.掌握數(shù)據(jù)濾波的基本原理和方法. 4.掌握使用Haar小波變換和離散傅里葉變換應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮的基本原理和方法，并且對兩種數(shù)據(jù)壓縮進(jìn)行評價.3、 實驗步驟 1 算法原理 1.

2、1 Haar小波變換（1）平均，細(xì)節(jié)及壓縮原理設(shè)x1，x2是一組兩個元素組成的信號，定義平均與細(xì)節(jié)為，。則可以將a，d作為原信號的一種表示，且信號可由a，d恢復(fù)，。（2）尺度函數(shù)和小波方程在小波分析中，引入記號，其中，表示區(qū)間0，1上的特征函數(shù)。定義稱為Haar尺度函數(shù)。由上式可知，都可以由伸縮和平移得到。小波分析中，對于信號有不同分辨率的表示，當(dāng)用較低分辨率來表示原始信號時，會丟失細(xì)節(jié)信息，需要找到一個函數(shù)來描述這種信息，該函數(shù)稱之為小波函數(shù)?；镜男〔ê瘮?shù)定義如下：則稱為Haar小波。稱為兩尺度方程，稱為小波方程。（3）Haar小波變換計算方法設(shè)是一個長度為(n>1)的離散信號序列，

3、記為，該序列可以用如下的帶有尺度函數(shù)來表示：一次小波分解的結(jié)果：對上式積分，由尺度函數(shù)的正交性，可得。令k=0，得到。 一般的，有同理，有2.傅里葉變換（1）一維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換定義設(shè)f(t)為連續(xù)的時間信號，則定義為f(t)的傅里葉變換，其反變換為。（2）一維離散傅里葉變換對連續(xù)的時間信號f(t)等間隔采樣，得到離散序列f(n)。假設(shè)采樣N次，則序列表示為。令n為離散變量，u為離散頻率變量，則一維離散傅里葉變換及其反變換定義：傅里葉變換的數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最重要的一點是：一個在時域或空域上看起來很復(fù)雜的信號（比如聲音或圖像）通常在頻域上只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi)，而很大一部分?jǐn)?shù)值都接近于零。即一個

4、在空域中看起來占滿全空間的信號，從頻域中很可能只占用了極小一塊區(qū)域，而大部分頻率是被為零的。這就得到一個極為實用的結(jié)論：一個看起來信息量很大的信號，其實可以只用極少的數(shù)據(jù)就可加以描述。只要對它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。（3）快速傅里葉變換FFT原理FFT的基本思想：將大點數(shù)的DFT分解為若干個小點數(shù)DFT的組合，從而減少運算量。令，則F(u)可改寫為。令N=2M，其中M為一正整數(shù)。帶入式中，得到 ，則有，上述推導(dǎo)說明：對一個長度為N的序列進(jìn)行傅里葉變換可以通過將其劃分為2個N/2的序列進(jìn)行傅里葉變換，對于N/2的傅里葉變換，可劃分為兩個N/4的變

5、換，這一過程不斷迭代，知道兩點的序列為止，可計算出該序列的傅里葉變換。（4）時間抽取的基2FFT蝶形算法對于（3）中的計算方法，可以采用蝶形運算符號來表示。本實驗中采用的算法是時間抽取的基2FFT算法實現(xiàn)快速傅里葉變換。3. 數(shù)據(jù)壓縮的評價準(zhǔn)則（1）數(shù)據(jù)壓縮比設(shè)原始信號f(n)的數(shù)據(jù)量大小為S，經(jīng)過數(shù)據(jù)壓縮后，信號的數(shù)據(jù)量變?yōu)镸，一般情況下M<S。則數(shù)據(jù)壓縮比率的定義為：由上式可知，數(shù)據(jù)壓縮得越小，其數(shù)據(jù)壓縮比越大。（2）數(shù)據(jù)失真度對于壓縮后的數(shù)據(jù)，可以采用反變換等方式還原信號。設(shè)原信號為f(n)，還原信號為f1(n)，則我們定義還原信號與原始信號的差異為數(shù)據(jù)失真度。顯然，數(shù)據(jù)恢復(fù)越接近

6、原始信號，數(shù)據(jù)失真度越小。4.算法步驟（1）Haar小波方法步驟a) 讀入原始數(shù)據(jù)f(n)b) 對原始數(shù)據(jù)f(n) 進(jìn)行小波變換。對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行不同層級（分辨率）下的小波變換，得到不同的小波變換結(jié)果An , Dnc) 對于上步中的小波變換結(jié)果，把細(xì)節(jié)分量Dn置為0，即濾波得到壓縮數(shù)據(jù) And) 對于濾波結(jié)果 An，通過小波逆變換，恢復(fù)數(shù)據(jù)e) 計算恢復(fù)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的差異，進(jìn)行壓縮評價（2）離散傅里葉變換步驟a) 讀入原始數(shù)據(jù)f(n)b) 對原始數(shù)據(jù)f(n)進(jìn)行離散傅里葉變換。使用蝶形算法計算傅里葉變換結(jié)果F(u)c) 對F(u)進(jìn)行濾波，保留低頻成分，舍棄高頻成分，即得到原始數(shù)據(jù)的近似表示d

7、) 對濾波結(jié)果的低頻數(shù)據(jù)，高頻分量恢復(fù)為零值，使用傅里葉反變換，恢復(fù)數(shù)據(jù)e) 計算恢復(fù)數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的差異，進(jìn)行壓縮評價5.程序流程圖開始讀取原始數(shù)據(jù)小波變換DWT變換結(jié)果濾波數(shù)據(jù)寫入文件結(jié)束圖1 Haar小波變換流程圖在圖1中，原始數(shù)據(jù)存放在文本文件eggs.txt中，由程序運行時讀入。對結(jié)果的濾波是舍棄小波分解的細(xì)節(jié)部分。計算結(jié)果寫入dwt.txt文件中。開始讀取原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)f(n),變換后A(n)對A(n)小波逆變換IDWT，得f1(n)計算f(n)和f1(n)差異結(jié)束圖2 Haar小波壓縮數(shù)據(jù)差異計算流程圖圖2是計算使用Haar小波進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮后，與原始數(shù)據(jù)差異。圖中的f(n)表示原始

8、數(shù)據(jù)，A(n)是小波變化結(jié)果，f1(n)表示逆變換結(jié)果。開始讀取原始數(shù)據(jù)f(n)傅里葉變換FFT,得到F(u)變換結(jié)果F(u)濾波F(u)數(shù)據(jù)寫入文件結(jié)束圖3 離散傅里葉變換流程圖圖3是傅里葉變換流程圖。原始數(shù)據(jù)是eggs.txt。對F(u)濾波時，舍棄高頻信息。計算結(jié)果寫入fft.txt文件中。開始讀取原始數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)f(n),變換后F1(u)對F1(u)傅里葉逆變換IFFT，得到f1(n)計算f(n)和f1(n)的差異結(jié)束圖4 離散傅里葉變換壓縮數(shù)據(jù)差異計算流程圖圖4是傅里葉變化壓縮數(shù)據(jù)后的差異計算。傅里葉逆變換時，對于高頻分量補零，與低頻分量來恢復(fù)數(shù)據(jù)f1(n)。四、實驗結(jié)果分析 1.傅里葉

9、變換圖5 測試數(shù)據(jù)集的FFT變換及IFFT變換結(jié)果在上圖中，得到測試數(shù)據(jù)集的傅里葉變換結(jié)果。圖中帶括號的是數(shù)據(jù)變換的復(fù)數(shù)結(jié)果，后邊的小數(shù)是變換后的幅值。可以看出，在傅里葉變換的結(jié)果中，有1/2的數(shù)據(jù)經(jīng)過變換之后變?yōu)?值。這部分為0值的數(shù)據(jù)可以采用壓縮方式存儲，從而壓縮原始數(shù)據(jù)。并且，經(jīng)過傅里葉反變換后，原始數(shù)據(jù)可以得到良好的恢復(fù)。圖6 eggs.txt數(shù)據(jù)傅里葉變換結(jié)果使用eggs.txt中的數(shù)據(jù)時，由于數(shù)據(jù)量較大，此處只是部分?jǐn)?shù)據(jù)截圖。數(shù)據(jù)不足的部分用零補齊?？梢钥闯觯儞Q后的數(shù)據(jù)幅值較大，且基本沒有為0數(shù)據(jù)。此時，采用閾值進(jìn)行濾波處理，取閾值，即將閾值小于30的值置為0。 2.小波變換圖7

10、 測試數(shù)據(jù)集的小波變換DWT由上圖的實驗結(jié)果可以看出，數(shù)據(jù)經(jīng)過小波變換后，其能量集中于數(shù)據(jù)的靠前的小波系數(shù)。對于相同的數(shù)據(jù)集，可以采用不同級別的小波變換數(shù)據(jù)。圖8 eggs.txt數(shù)據(jù)小波變換結(jié)果由上圖，對于實驗數(shù)據(jù)，經(jīng)過小波變換后，大部分的數(shù)據(jù)都為0。正式小波變換的這一特點，使得小波變換可以用于數(shù)據(jù)的壓縮。五、實驗結(jié)論在報告的上兩節(jié)中，分別介紹了使用傅里葉變換和小波變換處理數(shù)據(jù)的方法。由實驗中，可以得到以下兩點：第一，傅里葉變換時數(shù)據(jù)的整體變換方法，數(shù)據(jù)經(jīng)過傅里葉變化后，其能量主要集中在變換結(jié)果的靠前的數(shù)據(jù)部分，對于后邊的能量較小的部分，對于原始數(shù)據(jù)的差異描述，在存儲時可以忽略，從而進(jìn)行數(shù)據(jù)

11、壓縮。第二，小波變換的方法是既考慮數(shù)據(jù)整體性，又考慮數(shù)據(jù)的局部性。數(shù)據(jù)小波變換后，小波變換的前半部分系數(shù)表示數(shù)據(jù)的整體，后半部分表示數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)特征，對于一個連續(xù)的信號，其細(xì)節(jié)部分是微小的，可以忽略，從而使得小波變換的后半部分系數(shù)為0，從而實現(xiàn)了數(shù)據(jù)的壓縮。小波變換可以在不同的層級上進(jìn)行。對于一個連續(xù)的信號，采用傅里葉變換或是小波變換，數(shù)據(jù)可以得到較好的恢復(fù)，例如實驗中的測試樣本數(shù)據(jù)。對于給定的eggs.txt數(shù)據(jù)集，由于其波動較大，細(xì)節(jié)差異超過了原始信號，對其進(jìn)行壓縮，恢復(fù)得到的數(shù)據(jù)跟原始數(shù)據(jù)的差異很大。六、實驗心得體會 1. 傅里葉變換和小波變換的原始數(shù)據(jù)快速傅里葉變換和小波變換處理的數(shù)據(jù)都是個。對于不足N的數(shù)據(jù)，用零補齊后進(jìn)行相應(yīng)的變換，原始數(shù)據(jù)實際上改變。 2.數(shù)據(jù)恢復(fù)數(shù)據(jù)壓縮后，為了得到數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)恢復(fù)是必須的。對于傅里葉變換，采用傅里葉反變換的方法，可以得到壓縮數(shù)據(jù)的回復(fù)數(shù)據(jù)；對于小波變換，則采用小波重構(gòu)的