方法技巧專題15,方程解與函數(shù)零點問題（原卷版）

1、方法技巧專題15,方程解與函數(shù)零點問題（原卷版） 方法技巧專題 15 方程的根與函數(shù)的零點問題 一、 方程的根與函數(shù)的零點問題知識框架 1. 例題 【例 1】設(shè) f(x)ln xx2，則函數(shù) f(x)的零點所在的區(qū)間為( ) a(0，1) b(1，2) c(2，3) d(3，4) 【例 2】函數(shù) yln(x1)與 y 1x 的圖象交點的橫坐標所在區(qū)間為( ) a(0，1) b(1，2) c(2，3) d(3，4) 【例 3】函數(shù) （ ）的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示： （1）求 的值并寫出 的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù) 有三個零點，求 的取值范圍 二、函數(shù)零點存在性判斷 1 、函數(shù)零點存在性判斷：（此定

2、理只能判斷出零點存在，不能確定零點的個數(shù)） 若函數(shù) yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即 f(a)f(b)0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù) yf(x)至少有一個零點，即相應(yīng)方程 f(x)0 在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解 2 、求函數(shù)零點所在區(qū)間的方法： (1)解方程法：當對應(yīng)方程 f(x)0 易解時，可先解方程，再看解得的根是否落在給定區(qū)間上 (2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】函數(shù) f(x)3x7ln x 的零點位于區(qū)間(n，n1)(nn)內(nèi)，則 n_ 【練習 2】若

3、 abc，則函數(shù) f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間( ) a(a，b)和(b，c) b(，a)和(a，b) c(b，c)和(c，) d(，a)和(c，) 【練習 3】已知函數(shù) ( )21cos 14f x x x = + - . （1）證明： ( ) 0 f x ， ,2 2xp p - ； （2）判斷 ( ) y f x = 的零點個數(shù)，并給出證明過程. 三、方程的根與函數(shù)零點個數(shù) 1 、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系： 函數(shù) yf(x)有零點 方程 f(x)0 有實數(shù)根 函數(shù) yf(x)的圖象與函數(shù) y0(即 x 軸)有交點 2 2 、求方程的根與函

4、數(shù)零點個數(shù)的方法： (1)解方程法：令 f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點 (2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且 f(a)f(b)0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì) (3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點 1.例題 【例 1】已知函數(shù) f(x) x2，x0，x 2 bxc，x0滿足 f(0)1，且 f(0)2f(1)0，那么函數(shù) g(x)f(x)x 的零點個數(shù)為_

5、 【例 2】函數(shù) 1 log 2 ) (5 . 0- = x x fx的零點個數(shù)為( ) a1 b2 c3 d4 【例 3】已知函數(shù) . （1）求 在 處的切線方程； （2）試判斷 在區(qū)間 上有沒有零點？若有則判斷零點的個數(shù). 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】已知函數(shù) f(x) 2|x|，x2，(x2) 2 ，x2，函數(shù) g(x)3f(2x)，則函數(shù) yf(x)g(x)的零點個數(shù)為( ) a2 b3 c4 d5 【練習 2】若定義在 r 上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(x2)f(x)，且當 x0，1時，f(x)x，則函數(shù) yf(x)log 3 |x| 的零點個數(shù)是_ 【練習 3】已知函數(shù) （

6、， ） （1）若 在 上單調(diào)遞減，求 的取值范圍； （2）當 時，判斷關(guān)于 的方程 的解的個數(shù) 【練習 4】已知函數(shù) ( ) ln ,( )af x x a rx= + . （）求函數(shù)( ) f x 在區(qū)間 (0, e 上的最小值； （）判斷函數(shù)( ) f x 在區(qū)間2 , ) e - + 上零點的個數(shù). 四、利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍 1.例題 【例 1】已知方程|x 2 a|x20(a0)有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù) a 的取值范圍是( ) a(0，4) b(4，) c(0，2) d(2，) 【例 2】已知 ) (x f 是定義在 r 上且周期為 3 的函數(shù)，當 x0，3)時，212 ) (2

7、+ - = x x x f 若函數(shù)a x f y - = ) ( 在區(qū)間3，4上有 10 個零點(互不相同)，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 【例 3】已知函數(shù) (1)求曲線 在點 處的切線方程； (2)若函數(shù) 恰有 2 個零點，求實數(shù) 的取值范圍. 已知函數(shù)有零點( 方程有根) 求參數(shù)取值范圍常用的方法： (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍 (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決 (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】若函數(shù) f(x)ax 2

8、x1 有且僅有一個零點，則實數(shù) a 的取值為( ) a0 b 14 c0 或14 d2 【練習 2】已知函數(shù)xx x f - =31log ) (2，若實數(shù)0x 是方程0 ) ( = x f 的解，且0 10 x x + -=1 , log 11 , 1 2) (2x xxx fx，則函數(shù) ) (x f 的零點為( ) a 12 ，0 b2，0 c 12 d0 7已知函數(shù)f(x) 2 x 1，x0，x 2 2x，x0，若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_ 8已知函數(shù) f(x) 2 x a，x0，x 2 3axa，x0有三個不同的零點，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 9.已知函數(shù) 的兩個零點為 （1）求實數(shù) m 的取值范圍； （2）求證： 10、已知函數(shù) ( ) ( )xf x e x a a r = - - . （1）當 0 a = 時，求證： ( ) f x x ； （2）討論函數(shù) ( ) f x 零點的個數(shù). 11.【2021 課標 1，理 21】已知函數(shù)2( ) ( 2)x xf x ae a e x = + - - . （1）討論 ( ) f x 的單調(diào)性； （2）若 ( ) f x 有兩個零點，求 a 的取值范圍. 12.已知函數(shù) f（x）=31, ( ) ln4x