初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中定方程的整數(shù)解問(wèn)題定方程的整數(shù)解問(wèn)題

1、 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中不定方程的整數(shù)解問(wèn)題 1. 利用整數(shù)分離 在解決不定方程問(wèn)題時(shí)，首先逆用分式的加減法，將分式拆分成一個(gè)整數(shù)與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和或差的形式，然后利用整數(shù)整除的性質(zhì)通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單分式的分析來(lái)解決問(wèn)題。這種方法是處理含有分式不定方程的整數(shù)解問(wèn)題的一種有效途徑。例1. 方程的整數(shù)解共有幾組？2. 因式分解法 當(dāng)不定方程的一邊容易化為兩個(gè)一次因式的乘積，另一邊是一個(gè)整數(shù)時(shí)，通常用分解因式法解決不定方程的整數(shù)解問(wèn)題。例2. 方程的所有不同的整數(shù)解共有幾組?例3. 設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a, b,斜邊長(zhǎng)為c. 若a,b,c均為正整數(shù)，且，求滿(mǎn)足條件的直角三角形的個(gè)數(shù)？3. 判別式

2、法 在一個(gè)二元不定方程中，若把其中一個(gè)未知數(shù)當(dāng)作參數(shù)后，該方程變?yōu)殛P(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，于是，可利用0，求出參數(shù)的范圍，然后求解。例4 關(guān)于x,y的方程的整數(shù)解（x,y）有幾組？4. 放縮法 是指根據(jù)已知條件將不定方程中某些未知數(shù)放大或縮小，從而確定某個(gè)未知數(shù)的取值范圍，進(jìn)而確定該未知數(shù)的整數(shù)解，然后將其代入原方程求其他未知數(shù)的整數(shù)解一種解題方法。例5 當(dāng)時(shí)，求方程的正整數(shù)解。5. 利用整除和同余例6 關(guān)于x,y的方程的所有正整數(shù)解為多少？6. 參數(shù)法 在一個(gè)二元不定方程中，若把其中一個(gè)未知數(shù)當(dāng)作參數(shù)后，該方程變?yōu)殛P(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程，則可利用設(shè)參數(shù)法，即設(shè)=，然后求出方程

3、的解，再利用數(shù)論的相關(guān)知識(shí)求解，或通過(guò)因式分解，直接從=求解例7.設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且。求a,b的值。練習(xí)題1. 求方程的整數(shù)解。2. 求滿(mǎn)足方程的整數(shù)對(duì)（x,y）的組數(shù)有多少？3. 方程的非負(fù)整數(shù)解（x,y）的組數(shù)為幾組？4. 求方程的正整數(shù)解。5.關(guān)于m,n的方程是否存在整數(shù)解？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一組解；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中與質(zhì)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題1常用知識(shí)與結(jié)論 （1）除2以外所有的質(zhì)數(shù)均為奇數(shù)。 （2）因子分解唯一性定理。 （3）已知p,q均為質(zhì)數(shù)，若pq,則p=q. （4）已知p為質(zhì)數(shù)，a,b為整數(shù)，若pab，則pa,或pb. 推論 若p，則pa.2例題 1. 連續(xù)的n個(gè)正

4、整數(shù)，在每個(gè)數(shù)寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)因數(shù)乘積分解式后，每個(gè)質(zhì)因數(shù)都是奇數(shù)次冪，這樣的n個(gè)連續(xù)正整數(shù)稱(chēng)為一個(gè)“連n奇異組”(如n=3時(shí)，則22,23,24就是一個(gè)連3奇異組)則連n奇異組中n的最大可能值是多少？2. 滿(mǎn)足方程的質(zhì)數(shù)對(duì)（a,b）的個(gè)數(shù)是幾對(duì)？3. 已知a,b,c,d都是質(zhì)數(shù)（允許a,b,c,d相同），且abcd是35個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和。則求a+b+c+d的最小值。4. 求滿(mǎn)足的所有質(zhì)數(shù)p和正整數(shù)m.5. 求大于2的質(zhì)數(shù)p，使得拋物線(xiàn)上有點(diǎn)滿(mǎn)足為正整數(shù)，為質(zhì)數(shù)的平方。6. 已知正整數(shù)a,b滿(mǎn)足a-b是質(zhì)數(shù)，且ab是完全平方數(shù)，當(dāng)a2012時(shí)，求a的最小值。練習(xí)題1. 若a,b都是整數(shù)，方程的相異兩根都是質(zhì)數(shù)，則求的值。2. 能否將2010寫(xiě)出k個(gè)互不相等的質(zhì)數(shù)的平方和?如果能，求k的最大值；如果不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。3設(shè)p與5p2-2同為質(zhì)數(shù)。求p的值。4.設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且9(2a+b)2=509（4a