高中數(shù)學蘇教版高二選修2-2學業(yè)分層測評：第二章_推理與證明_12含解析

1、高中數(shù)學蘇教版高二選修2-2學業(yè)分層測評：第二章推理 與證明_12含解析學業(yè)分層測評（十二）（建議用時：45分鐘）學業(yè)達標一、填空題 .,底X禺 1 .已知扇形的弧長為1,半徑為r,類比三角形的面積公式：S=,可推知扇形面積公式5扇=.1r【解析】扇形的弧長類比三角形的底，扇形的半徑類比三角形的圖，所以 S扇形=芻.1r【答案】2ai + 2a2 + 3a3 + + nan 2 . （2015晉州模擬）數(shù)列an是正項等差數(shù)列，若bn=-1+2 + 3+.+ n-,則數(shù)列bn 也為等差數(shù)列，類比上述結(jié)論，正項等比數(shù)列 Cn,若dn=,則數(shù)列dn也為等比數(shù) 列.【解析】二根據(jù)等差數(shù)列構(gòu)造的新的等差

2、數(shù)列是由原來的等差數(shù)列和下標一致的數(shù)字倍的和，除以下標的和，根據(jù)等比數(shù)列構(gòu)造新的等比數(shù)列，乘積變化為乘方C1C2c3Cn,原來的C O1除法變?yōu)殚_方（C1C2cB-pn，23n.2+3+ +n1【答案】（C1C2c3Cn）1+2+ 3+ + n3 .由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則： “mn= nm” 類比得 “ ab=b a” ； “ （m+n）t= mt+nt” 類比得 “（a+b）c= ac+bc” ； “ |m n|= |m| |n|" 類比得 “ |a b|=|a| |b|” ； .=a”類比得“ a-c=. bc bb c b以上的式子中，類比得到的結(jié)論正

3、確的序號是 .【解析】均正確，不正確.【答案】14 .已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的1，把這個結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是3【導學號:01580034】【解析】原問題的解法為等面積法，即正三角形的面積S= 1ah=3X 1ar? r = 1h.223類比，用等體積法，V = ：Sh= 4X：rS? r = ；h. 3341【答案】正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的4 ex-e x ex+e x, 一，、一5 . （2016日照模擬）已知雙曲正弦函數(shù)sh x=e"也一和雙曲余弦函數(shù)ch x=e一與我們 學過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)，請類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角公式，寫出

4、 雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個類比的正確結(jié)論 .【解析】類比結(jié)論為ch（x y）= ch xch ysh xsh y.證明：右邊=ex +e x ey+ e y ex e x ey e-y2222=泉ex-y+ e- x+y + e- x-y- ex+y+ ex- y+ e- x+y e-x-y)1( )ex- y + e-»y)=42ex_y+ 2e_(x-y) =2= ch(x- y)=左邊.【答案】ch(x y)=ch xch y-sh xsh y(答案不惟一)6 .已知bn為等比數(shù)列，b5=2,則b1b2b3b9=29若an為等差數(shù)列，a5 = 2,則an的 類似結(jié)論為.【解

5、析】結(jié)合等差數(shù)列的特點，類比等比數(shù)列中b1b2b3-b9=29可得，在an中，若a5 =2,則有 aI + a2+a3+ a9 = 2x9.【答案】a + a2+a3+ a9 = 2 x 97 . （2016日照高二檢測）二維空間中圓的一維測度（周長）l=2% 二維測度（面積）S= <2, 觀察發(fā)現(xiàn)S' =l;三維空間中球的二維測度（表面積）S= 4疔2,三維測度（體積）V=（<3,觀察發(fā)3現(xiàn)V' =5已知四維空間中“超球”的三維測度V=87f3,猜想其四維測度 W=.第3頁共7頁【解析】因為V=8<3,所以W= 2作4,滿足 W =V.【答案】2，8 . (

6、2016安徽阜陽一中檢測)對于等差數(shù)列an有如下命題：“若an是等差數(shù)列，ai=0, s, t是互不相等的正整數(shù)，則有(s- 1)at = (t1)as”類比此命題，給出等比數(shù)列bn相應的一 個正確命題是：“'【解析】 首先，需要類比寫出bi = 1,然后寫出bt=qt- bs=qs-即可發(fā)現(xiàn)：法-1=bS-1.【答案】若bn為等比數(shù)列，b1=1, s、t是互不相等的正整數(shù)，則有bs bs 1.二、解答題9 .如圖 2-1-10,在三棱錐 S ABC 中，SAL SB, SB±SC, SAL SC,且 SA, SB, SC和底 面ABC所成的角分別為 a,卬 03,三側(cè)面 S

7、BC, ASAC, 4SAB的面積分別為S, S2, S3. 類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個猜想.g圖 2-1-10【解】在4DEF中，由正弦定理，徨一d = e= f住 sin D sin E sin F.于是，類比三角形中的正弦定理,在四面體SABC中，猜相 S1 - S2 - S3成立伯心 sin asin 以 sin 03Ml 乂.10 .在RtABC中，ABLAC, ADLBC于D,求證：親=親 十 上.那么在四面體 ABCD 中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.第3頁共7頁【解】 證明：如圖所示，由射影定理， AD2=BD DC, AB2 = BDBC,

8、AC2=BCDC,第8頁共7頁 1 _1 AD2=BD DC_2_2_BC2_ BC2=BD BC DC BC = AB2 AC2.又 BC2=AB2+AC2,1 AB2 + AC211AD2= AB2 AC2 =超十公猜想四面體 ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE，平面BCD.1111則 AEAB2+AC+AD2.證明：如圖，連接BE并延長交CD于F,連接AF.ABJAC, AB1AD,. AB,平面ACD. ABJAF,在 RtMBF 中，AEJBF,111 AE2=AB2+AF2.在 RtACD 中，AF JCD, AF2=AC+ Ad.712=712+712+71AE AB 丁

9、 AC AD .能力提升1.下面使用類比推理恰當?shù)男蛱柺?.（填序號）“若 a 3= b 3,則 a = b” 類推出 “ a c= b c,則 a=b” ； “ (a b) c= a (b c)” 類推出 “(a b) c=a (b c)” ； “(a+b)c=ac+ bc” 類推出 “C=C+C(cw0)” ； "(ab)n=anbn” 類推出 “(a+b)n = an+bn” .【解析】均錯.【答案】2 . (2016溫州高二檢測)如圖2-1-11所示，橢圓中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，當FB，AB 時，其離心率為一5尹，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃

10、金 雙曲線”的離心率e等于.圖 2-1-1122【解析】如圖所示，設雙曲線方程為 /y2= 1(a>0, b>0),則 F(-c,0), B(0, b), A(a,0),所以FB=(c, b), AB=( a, b).又因為FBiAB,所以FB AB=b2ac= 0,所以 c2a2 ac= 0, 所以 e2 e 1 = 0,1+V51-V5所以 e- 2或 e: 2(舍去).【答案】3 .在平面幾何里，由勾股定理：設 ABC的兩條邊BC, AC互相垂直，則BC2+AC2 =AB2.拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理， 研究三棱錐的側(cè)面積和底面積的關(guān)系，可以得出 的正確結(jié)論是：“設三

11、棱錐 A-BCD的三個側(cè)面ABC, ACD, ADB兩兩垂直，則 :C2222【斛析】線的關(guān)系類比到面的關(guān)系，猜測 S ZBCD= SABC+S 3CD+S3DB.證明如下:如圖作 AECD連接BE,則BEJCD,S2BCD = 1CD2 BE2= 1CD2(AB2 + AE2) = ：(AC2+ AD2)(AB2 + AE2) = 4(AC2AB2 + AD2AB2 +AC2AE2 + AD2AE2)AB2 + AD2AB2+ CD2AE2) = S2ABC+ S2ACD + S2ADB【答案】S2 BCD = S2ABC + S2ACD + S2ADB4 .我們知道三角形的性質(zhì)：如圖 2-1-12,過 ABC的底邊AB上任一點O分別作OAi/0Al OB1AC, OB1/BC,分別父BC, AC于Ai, Bi,則記+瓦為定值1.那么你能類比此性質(zhì)，猜想四面體中所具有的性質(zhì)嗎？試證明你的猜想是否正確.c圖 2-1-12【解】 猜想的性質(zhì)為：如圖，過四面體 VABC的底面ABC上任一點0分別作0A1MA, OB1MB, OC1MC, A1, B1, C1分別是所作直線與側(cè)面的交點，則 畿 + 器+妥為定VA VB VC值1.證明如下:設平面 OAiVAn BC=M,平面 OBiVBAAC=N,平面 OCiVCAAB=