高中物理競賽培優(yōu)教程第五章角動量第一節(jié)

1、第五章角動量第一節(jié)力矩和角動量一、知識要點1.力矩的定義(1)對軸的力矩定義：對軸的力矩可推動物體繞軸轉(zhuǎn)動或改變物體繞著轉(zhuǎn)動的角速度。大 小：不僅與力的大小和方向有關(guān)，而且與力的作用點有關(guān)。當(dāng)力的作用線垂直于軸的平面P上時，力矩t的大小與力的作用點P和軸 的距離r成正比，與力在垂直于r方向上的分量F?成正比，因為力在r方向上的 分量F?對物體的繞軸轉(zhuǎn)動無作用，于是有?FF?sin式中是F與r的夾角，r就是從軸與平面p的交點O?指向P點的矢量。由 于?sin ?d就是力的作用線與軸的距離，則公式可寫成Fdd常稱為力臂，這正是大家所熟知的力矩表達式。當(dāng)力的作用線不在垂直于軸的平面P上時，可將力分解

2、為平行于軸的分量 F和垂直于軸的分量F?兩部分，F(xiàn)對軸的力矩可寫成其中F對物體繞軸轉(zhuǎn)動不起作用.而F?就是在垂直于 軸的平面上的投影。故?F?sin。這里式中是F?與r的夾角。方向：由于在力矩作用下引起的轉(zhuǎn)動有兩個可能的方向，力矩也有正、負 兩種取向。例如，先任意規(guī)定軸的正方向，當(dāng)逆著軸的正方向去看力矩作用下 所引起的物體的轉(zhuǎn)動時，若物體沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，對應(yīng)的力矩就取為正，反 之為負。2、對于參考點的力矩在選定的參考系中，從參考點O指向力的作用點P的矢量r與作用力F的 矢積稱為作用力對于參考點的力矩，即r?F也可稱為作用點相對參考點的位矢。當(dāng)參考點是坐標(biāo)原點時,r就是力的作 用點的位矢，根據(jù)

3、矢積的意義，力矩的大小等于以r和F兩矢量為鄰邊所構(gòu)成 的平行四邊形的面積，方向與r、F所在平面垂直并與r、F成右手螺旋。二、作用于質(zhì)點的力矩和作用于質(zhì)點系的力矩1、作用于質(zhì)點的力矩當(dāng)質(zhì)點m受力F作用時,F對參考點O的力距即為質(zhì)點受到的力矩。這時， 力矩表示中的r就是參考點O指向質(zhì)點的矢量，當(dāng)參考點為坐標(biāo)原點時，r就是 質(zhì)點的位矢。當(dāng)質(zhì)點受F1,F2?FNN個力同時作用時,各力對某參考點的力矩的 矢量和等于合力F?F1?F2?FN對同一參考點的力矩，即r?Fl?r?F2r?FN?r?(Fl?FlFN)?r?F2、作用于質(zhì)點系的力矩力矩概念也可應(yīng)用于作用于質(zhì)點系的作用力。一般來講質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點受

4、到的作用力有外力和內(nèi)力的區(qū)別。因此應(yīng)分別考察外力的力矩和內(nèi)力的力矩。(1)外力的力矩當(dāng)質(zhì)點系受多個外力作用時。若第i個質(zhì)點受到的合外力為Fi。該質(zhì)點相 對于某一給定參考系的位矢為ri,則其力矩為?i外?ri?Fi,各質(zhì)點所受力矩的矢 量和，即質(zhì)點系的所受總力矩為?外？i由于各外力作用在不同質(zhì)點上，各質(zhì)點的位矢H各不相同，因而外力對質(zhì) 點系的總力矩一般不能通過外力矢量和的力矩來計算。但當(dāng)質(zhì)點系處在重力場中時，各質(zhì)點所受重力與質(zhì)點的質(zhì)量成正比，方向 有都相同，因而作用于質(zhì)點系的重力相對某一參考點的力矩，i?ri?Fii?ri?mig?（?mrii）?g?rc?Mg既作甫于質(zhì)點系的重力相對某參考點的

5、力矩等于重力的矢量和作用于質(zhì)心 上時對該參考點的力矩。在平動非慣性系中的慣性力顯然也具有這種性質(zhì)。2、內(nèi)力的力矩若fi為作用于質(zhì)點系中第i個質(zhì)點上的合內(nèi)力，ri為該質(zhì)點的位矢，則內(nèi)力 的總力矩為ii?內(nèi) ri?firifijiij?i由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)，因而上式可改寫成?內(nèi)?苗?何?可?）iO來說，力矩根據(jù)牛頓第三定律，任意一對內(nèi)力必定等值反向，且沿同一 直線，因而且對任意給定參考點也必等值反向兩者相互抵消，即ri?fij?rj?fji?O因而內(nèi)力的總力矩為零r?fii?jij?ij?fji?O這一結(jié)果與內(nèi)力的沖量相似，但與內(nèi)力的做功不同。三、沖量矩1、定義：力矩與時間的乘積2、公式：？L?

6、t? （?外+?內(nèi)）？t?（?外?0）?t 外?t?L總=L=外t此式對質(zhì)點系適用3、方向：與合外力力矩的方向相同，單位:N?m?s在一段時間內(nèi)對質(zhì)點或質(zhì)點系所受的沖量矩為這段時間內(nèi)的沖量矩的累加?L總=L=外t四、質(zhì)點的角動量1、定義：從給定參考點指向質(zhì)點的矢量r和質(zhì)點動量P?mv的矢積稱為質(zhì) 點對于參考系的動量矩，又稱為角動量，用1表示。單位為kg?ni/s2、公式：l?r?p3、角動量是矢量，它是r與p的，矢積因而既垂直于r,又垂直于p,即垂 直于r與P所組成的平面，其指向由右手定則決定。4、質(zhì)點的角動量是相對于給定的參考點定義的，因此同一質(zhì)點對不同參考 點的角動量是不同的。例如，一圓錐

7、擺的擺球以恒定的角速度?作圓周運動，圓 周運動的半徑為R,擺的懸線長r,擺球?qū)A心O的角動量l?mvR?m?R,其大 小和方向都恒定不變。但擺球?qū)覓禳cO?的角動量1?則不同，盡管其大小22lmvr?rm?R保持不變，但方向卻隨時間而變。做直線運動的質(zhì)點，對于不在該直線上的不同參考點的角動量也不同。通 常把考察轉(zhuǎn)動的參考點取為坐標(biāo)原點。二、例題例1如圖所示，質(zhì)量為m的小球自由落下，某時刻具有速度v,此時小球與圖 中的A, B,C三點恰好位于某長方形的四個頂點，且小球與A,C點的距離分別為 11,12,試求(1)小球所受重力相對A,B,C三點的力矩Ml,M2,M3 ;(2)小球相對A, B, C

8、三點的角動量L1,L2,L3.?解(1)小球所受重力mg豎直朝下，以A為參考點的小球位矢11,水平向右,mg與11兩者夾角90.可得Ml ：大小:Ml?llmgsin90?,方向:垂直圖平面朝內(nèi)以B為參考點，小球的位矢r是從B指向小球所在位置，力臂長距離h即為B 到C的距離11，因此有M2 ：大小:M2?hmg?llmg,方向:垂直圖平面朝內(nèi)以C為參考點，小球的位矢恰與mg反向，即有180,因此得M3?0(2)小球動量p?mv,豎直向下，與(1)問解答類似地可得？L1 ：大小:Ll?Umvsin9011mv方向:垂直圖平面朝內(nèi)L2 ：大小:L2?llmv方向:垂直圖平面朝內(nèi)例2質(zhì)量為m,長I的

9、勻質(zhì)細桿,繞著過桿的端點且與桿垂直的軸以角速度？ 轉(zhuǎn)動時，它的動能和相對端點的角動量大小分別為Ek?其中，I?L3?0 12I?, L?I? 212ml,今如圖所示，將此桿從水平位置靜止釋放，設(shè)此桿能繞著過A的固定光滑水平細軸無摩3擦地擺下，當(dāng)擺角從零達時，試求：(1)細桿轉(zhuǎn)動角速度?和角加速度?；(2)固定的光滑細軸為桿提供的支持力N。121Imgsin 2212 將 I?ml代入后，可得3解(1)因無摩擦，機械能守恒，有以A為坐標(biāo)原點建立垂直于圖平面朝內(nèi)的z軸，細桿各部位相對A點角動 量均沿軸方向，疊加后所得細桿的總角動量L也必沿z軸方向，大小則為L?I?固定的光滑細軸為細桿提供的支持力N

10、相對A點力矩為零，細桿重力相對 A點力矩為M 的大小:M?mg Icos 2方向：沿z軸由剛體定軸轉(zhuǎn)動時的角動量變化量與沖量矩相同，得到MtL ?L?I?I? ?t?t3gcos 所以 21(2)如圖所示，將N分解為Nn和N?,支持力與重力合成為細桿質(zhì)心提 供加速度，可建立下述方程因為Nn?mgsin ?maCnmgcos ?NmaC?其中aCn和aC?分別為質(zhì)心作國周運動的向心和切向加速度.所以aCn?可得 Nn?121?, aC? 2251mgsin Nmgcos 24例3質(zhì)量為M,半徑為R-的勻質(zhì)圓盤,繞著過圃心且與圓盤垂直的軸以角 速度?旋轉(zhuǎn)時的角動量大小為L?I?, I71MR2 2

11、有如圖所示系統(tǒng)，細絕質(zhì)量可略，細繩與圓盤間無相對滑動，定滑輪與中 央軸之間光滑接觸，有關(guān)參量已在圖中標(biāo)出試求a解以轉(zhuǎn)軸上某點為參考點，定滑輪轉(zhuǎn)動角動量方向沿轉(zhuǎn)軸朝外，大小為 L?I?.設(shè)左、右繩中張力分別為Tl、T2,它們相對轉(zhuǎn)軸力矩之和，方向軸朝外， 大小為 MT1?T2?R 又因為 ML?I?I? ?t?t有?T1?T2?R?I?對 in 1 ,m2 有方程 m 1 g?T 1 ?m 1 a, T2?m2g?m2aa與?的關(guān)系為aR可解得a?2?ml?m2?g 2ml?m2?M三、鞏固習(xí)題1 .質(zhì)量為M的質(zhì)點固定不動，在萬有引力作用下，質(zhì)量為m的質(zhì)點繞著它 作半徑為R的圓周運動，取圓軌道上

12、的P點為參考點，如圖所示，試求：(1)在圖中點1處，所受萬有 引力相對P點的力矩大小Ml和m相對于P點的角動量大小L1; (2)在圖中點 2處，m所受萬有引力相對于P點的力矩大小M2和m相對于P點的角動量大 小L2O2 .電子的質(zhì)量為9.1710核的軌道角動量為?31 kg,在半徑為5.3?10?llm的圓周上繞氫核作勻速圓 周運動，已知電子相對室h (h為普朗克常量，等于6.63?10?34J?s),求電子的 角速度大小 2?3 .在光滑的水平面上，兩個質(zhì)量分別為ml和m2的小球，用長為1的輕線 連接。開始時，線正好拉直，ml和m2的速度分別為vl和v2 (vl?v2),它們的方向相同，且垂

13、直于連線 試問：(1)系統(tǒng)相對質(zhì)心的角動量為多大？(2)線中張力多大？4 .圖中兩根勻質(zhì)金屬細捧AO,BO的質(zhì)量為m,長度均為1,?AOB為直角,O點 為兩棒的、焊接點，也是懸掛點.開始時此焊接體AOB靜止，在圖平面代表的某豎直面內(nèi)、且BO棒 處于水平位置，而后它將無摩擦地繞者過O點且與圖平面垂直的水平固定細軸旋 轉(zhuǎn).試求：(1)當(dāng)焊接體AOB順時針轉(zhuǎn)動角時,AOB的轉(zhuǎn)動角速度?以及角加速 度?;(2)在？45?時，轉(zhuǎn)軸承受的水平分力與堅直分力的大小和方向。5 .若將地球繞大陽的公轉(zhuǎn)看作是以大陽為中心的圓周運動，試求地球相對太 陽中心的角動量，已知地球的質(zhì)量 Mc?6.0?10kg,軌道半徑

14、R?1.49?1011mo6 .質(zhì)量為m的小球在?xl,0,0?點由靜止釋放.設(shè)重力加速度沿?z方向。試求： 小球受到的重力相對于7 點O的力矩;(2)小球相對于原點O的角動量隨時間的變化關(guān)系。7.一質(zhì)量m?2kg的質(zhì)點由靜止開始作半徑R?5m的圓周運動,其相對圄心的 角動量隨時間的變化關(guān)系為L?3t2,角動量L的單位為kg?m/s,t的單位為s試求:(1)質(zhì)點受到的相對于 圓心的力矩;(2)質(zhì)點運動角速度隨時間的變化關(guān)系答案解析1. (1) M1=O質(zhì)點做圓周運動，萬有引力提供向心力：224Mmv2G2?m RR則 Ll?mv?2R由上式可得Ll?2 (2) M2?F?R?GMm RL2?mv?R?hhl6?4.13?10rad/s 得，22?2?mrm21m(1) L?m I v 1 m2v212(v 1 ?v2) m 1 ?m2m 1 ?m2m 1 ?m22.由題意,mr?r?vl?v2 (2)由牛頓第二定律101加2?丫1?丫2?得丁？01?1111124.(1)由機械能守恒定律:22?TT? ml m2lllm2?sin ?mgl?cos 2?I?2?ml22 223得1122 由角動量定理 mg?cos ?mg?sin ?2I?ml 2233g 得?cos ?sin ?