九年級數(shù)學(xué)上冊2.5一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教案(新版)北師大版

1、課題：2.5 元二次方法根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)目標1了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會簡單應(yīng)用.2培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力.3滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認識事物的規(guī)律培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神和全面辯證地認識事物的能力教學(xué)重點與難點：重點：根與系數(shù)的關(guān)系的推導(dǎo)、運用.難點：正確歸納、理解、運用根與系數(shù)的關(guān)系.課前準備：多媒體課件.教學(xué)過程：一、 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課活動內(nèi)容：回答下列問題.1一元二次方程的一般形式是什么？ 一元二次方程有實數(shù)根的條件是什么？2一元二次方程的求根公式是什么？處理方式：學(xué)生思考代表回答，教師強調(diào)并引導(dǎo)：通過一元二次方程的求根

2、公式我們發(fā) 現(xiàn)“一元二次方程的根可以由它的二次項系數(shù)a次項系數(shù)b常數(shù)項c來確定，求根公式反映了根與系數(shù)的一種關(guān)系”.除此之外，一元二次方程的根與系數(shù)之間還存在什么樣的關(guān)系呢？這節(jié)課我們共同探究2.5一元二次方法根與系數(shù)的關(guān)系教師板書課題.設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)公式法解一元二次方程的相關(guān)知識，有利于學(xué)生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡(luò)，為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊，同時又自然的引出本節(jié)課的課題.二、 探究學(xué)習(xí)，感悟新知活動內(nèi)容1:我們已經(jīng)學(xué)過用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程方法，你能用合適的方法解下列方程嗎？(多媒體出示)1.用合適的方法解下列方程，并填表21 x -2x+1=02 x2-2 3x

3、 -1 =0(3)2x2-3x 1 =0一兀二次方程X1X2X1+X2X1.X222(1 jx _2x+1 =0(2卜22寸3x1 = 0(3)2x23x十1 =02.方程（1）的二 次項系 數(shù)、一次 項系數(shù) 、常數(shù) 項分別 是多少？兩根 之和、 兩根之積 與它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項之間有什么關(guān)系？方程（2）和方程（3）呢？3.對于任何一個一元二次方程，這種關(guān)系都成立嗎？舉例驗證你的猜想.處理方式：留3分鐘的時間先讓學(xué)生獨立解方程，三個學(xué)生板書解方程的過程并填表，教師巡視指導(dǎo)填表后讓學(xué)生思考問題2，找到方程（1）的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是多少，然后觀察表格，發(fā)現(xiàn)為X2與它

4、的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)有關(guān)系；XX2與它的二次項系數(shù)和常數(shù)項有關(guān)系有什么關(guān)系？方程（1）和方程（2）不是太明顯，分析方程（3）的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項得出兩根之和與它的二次項系數(shù)和一次項系 數(shù)的關(guān)系，兩根之積與它的二次項系數(shù)和常數(shù)項的關(guān)系.然后教師引導(dǎo)學(xué)生舉例驗證自己的猜想；學(xué)生感受對于任何一個一元二次方程這種關(guān)系都成立.設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)鞏固了解一元二次方程的方法，并感受可以根據(jù)方程的特點選擇適當?shù)姆椒?這一過程注重引導(dǎo)學(xué)生分析這三個方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項和兩根之和、兩根之積的關(guān)系。利用表格清晰的展示方程的根、兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān) 系.同時在這個活動中使學(xué)生經(jīng)

5、歷觀察猜想和驗證的過程.活動內(nèi)容2:通過上面的探究過程，我們得出了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，這一結(jié)論對所有的一元二次方程都成立嗎？你能借助一元二次方程一般式ax2bx 0（a = 0）說明兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關(guān)系嗎？問題：如果一元二次方程ax2 bx c = 0（a =0,b24ac _0）的兩個根用為和乂2表示，請 你計算兩根的和、兩根的積.（多媒體出示）處理方式：學(xué)生嘗試寫出推導(dǎo)過程，教師巡視指導(dǎo)。教師利用多媒體出示推導(dǎo)過程，師生共同經(jīng)歷一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的說理過程，提醒學(xué)生注意兩根之和公式里存在“一”號.教師強調(diào)使用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的公式時是將一元二次方程化成

6、一般 式，并且適用在一元二次方程有根的時候，所以我們在用根與系數(shù)的關(guān)系時（1）將方程化成一般式，（2）確定二次項系數(shù)a、一次項系數(shù)b、常數(shù)項c的值，（3）利用b2-4ac_0判 斷一元二次方3程是否有根.(多媒體出示)一元二次方程ax bx c =0(a =0)的兩根為：-b + Jb?_4ac_b _4acXi,x2:2a2a兩根之和為-b+Jb2-4ac -b -Jb2_4ac -2bbx-x?2a2a2a a兩根之積為-b + Jb24ac -b _Jb2_4ac (-b)2_(Jb2_4ac)2b2_b2+4ac cx1.x2.2 2二2a2a4a4aa教師強調(diào)總結(jié)：一元二次方程根與系

7、數(shù)的關(guān)系：如果一元二次方程ax2bx 0(- 0)bc有兩個實數(shù)根x!, x2，那么x-1x2, x-1.x2.這一結(jié)論習(xí)慣上稱為韋達定aa理”.學(xué)生理解并識記根與系數(shù)的關(guān)系公式.設(shè)計意圖：本活動的設(shè)計意在引導(dǎo)學(xué)生通過解出3個特殊的一元二次方程基礎(chǔ)上再對一元二次方程的一般式ax bx 0(a = 0)求兩根之和兩根之積的探索，滲透由特殊到一般的教學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神和全面辯證地認識事物的能力三、例題解析，應(yīng)用新知活動內(nèi)容：根據(jù)前面的說理過程，我們得出了一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數(shù)的關(guān)系公式，那么你能應(yīng)用這一關(guān)系公式解決實際問題嗎？例利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下

8、列方程的兩根之和、兩根之積：(多媒體出示)2；(1) x 7x 6 = 0；2(2) 2x-3x -0.處理方式：教師引導(dǎo)用兩根之和、兩根之積公式，是將一元二次方程化成一般式，必須保證在方程有根的條件下，所以我們在用根與系數(shù)的關(guān)系時先將方程化成一般式，再確定二次項系數(shù)a、一次項系數(shù)b、常數(shù)項c的值，判斷一元二次方程是否有根一名學(xué)生代表口 述解題過程，教師板書(1)的解題過程。然后請一名學(xué)生代表板書(2)解題過程，其他學(xué)4生獨立完成，教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生完成后教師可借助多媒體展示，讓學(xué)生進一步理解并規(guī)范5如何使用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系公式進行解題. 解題過程展示：解： 這里a =1,b =：7

9、,c=：6.2 2.：=b -4ac=7 -4 1 6 =49-24=250.方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩根實數(shù)根是X|, x2，那么(4)(2x 5) x 1 = x 7.X1+X2=_X|x2= -7,xx2=6(2)這里a =2,b - 3c - -2.2 2.:二b4ac二 一3 4 2 -2；=9 16 =25 0.-方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩根實數(shù)根是,x2，那么x1x2,x1.x2=-1.2教師強調(diào)總結(jié)：用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系公式解題的一般步驟.（1）把方程化為一般形式，進而確定a、b, c的值.（注意符號）求出b2-4ac的值.（先判別方程是否有根）在b2-4ac0的前

10、提下，把a、b、c的直代入兩根之和兩根之積公式求解.鞏固訓(xùn)練：課件展示）x2-3x -1 =0X1+X2=_；X1X2=_2(2)3x22x -5 =0;X1+X2= _X1X2=(3)x(3x -1) -1 =0；X1+X2=X1X2=X1X2=6處理方式：留給學(xué)生3分鐘在練習(xí)本上完成， 教師巡視，適時點撥，找4名學(xué)生代表說 出答案教師強調(diào)對于第（3）（4）小題，一定先化成一般式，再求解.設(shè)計意圖：例1的設(shè)計主要是直接利用根與系數(shù)的關(guān)系，讓學(xué)生體會解答分三步： 先把方程化為一般形式，進而確定a、b, c的值，再判斷方程的根的情況，最后根據(jù)一元二次方 程的根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和、兩根之積又

11、通過鞏固訓(xùn)練加深對知識的理解與應(yīng)用.拓展延伸：1.利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2X2_3X_2=：0 的兩個根的倒數(shù)和.2已知方程 3X2kx_5=0的一個根為1，求它的另一個根及k的值.處理方式：（1）先讓學(xué)生思考1分鐘，再交流討論。這里將倒數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩根和與積 的代數(shù)式，教師提示：丄 =亠竺.（2）注意解題方法不唯一，可以利用韋達定理解X1X2X1X?題，也可以用方程的解的定義代入求出k的值后再解方程求另一個根.學(xué)生代表板演，其余學(xué)生在練習(xí)本上完成.完成后，讓學(xué)生對板演的同學(xué)進行評價，教師及時點評表揚.設(shè)計意圖：進一步鞏固根與系數(shù)的關(guān)系，使學(xué)生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化

12、解題方法，增強擇優(yōu)能力.學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中進行學(xué)習(xí)，獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生思維嚴謹性和批判性.四、回顧反思，提煉升華通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？有何感想？學(xué)會了哪些方法？先想一想，再分享給大家.處理方式：學(xué)生暢談自己的收獲， 教師鼓勵學(xué)生回顧本節(jié)課知識方面以及與之相聯(lián)系的知識有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高并作適當評價.教師強調(diào)：如果一元二次方程ax2，bx c=O（a =0）有兩個實數(shù)根X1,X2，那么bcX1X2, X1.X2：aa設(shè)計意圖：通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學(xué)生個人已有的知識體系中，使學(xué)生養(yǎng)成反思與總結(jié)的習(xí)慣，培養(yǎng)自我反饋，自主發(fā)展的意識.五、達標檢測，反饋提高師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們的收獲真多！收獲的質(zhì)量如何呢？請完成導(dǎo)學(xué)案中的達 標檢測題.（同時多媒體出示）A組：71若人,X2是一元二次方程x22x_3=o的兩個根，則X/2的值是_2若3是關(guān)于X的方程x2_5x c = 0的一個根，則這個方程的另一個根是 _ B組（選做）3如果關(guān)于x的一元二次方程x2px 0的兩個根分別為x1=2，x2=1那么p,q的值分別是_ 。114已知m和n是方程 2X2_5X_3=0 的兩根，則 +=_mn處理方式：學(xué)生做完后，教師出示答案，指導(dǎo)學(xué)生校對，并統(tǒng)計學(xué)生答題情況學(xué)生根據(jù)答案進行糾錯.設(shè)計意圖：學(xué)以